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相关试卷

1、某校从参加高一年级期中数学考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段 $[90, 100)$ ， $[100, 110)$ ， $[110, 120)$ ， $[120, 130)$ ， $[130, 140)$ ， $[140, 150]$ ，后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

(1)、求分数在 $[120, 130)$ 内的频率，并补全这个频率分布直方图；

(2)、估计本次考试的平均分、中位数及 $80 %$ 分位数的值.

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2、设 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，满足 $\vec{A G} \cdot \vec{B G} = 0$ .若 $\frac{1}{tan A} + \frac{1}{tan B} = \frac{λ}{tan C}$ ，则实数 $λ$ 的值为.

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3、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E, F$ 分别是棱 $A_{1} D_{1}, A_{1} B_{1}$ 的中点， $P$ 是侧面正方形 $B C C_{1} B_{1}$ 内一点（含边界），若 $F P / /$ 平面 $A E C$ ，则线段 $F P$ 长度的取值范围是．

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4、已知 $α$ 是第三象限角，且 $cos 2 α = - \frac{3}{5}$ ，则 $cos (\frac{π}{2} + α) =$ ， $tan (\frac{π}{4} + 2 α) =$ .

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5、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点 $P$ 为平面 $A B C D$ 内一动点，则下列说法正确的是（）

A、若点 $P$ 在棱 $A D$ 上运动，则 $A_{1} P + P C$ 的最小值为 $2 + 2 \sqrt{2}$ B、若点 $P$ 是棱 $A D$ 的中点，则平面 $P B C_{1}$ 截正方体所得截面的周长为 $2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{2}$ C、若点 $P$ 满足 $P D_{1} ⊥ D C_{1}$ ，则动点 $P$ 的轨迹是一条直线 D、若点 $P$ 在直线 $A C$ 上运动，则 $P$ 到棱 $B C_{1}$ 的最小距离为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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6、如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条不同的直径， $\overset{⃑}{B F} = 2 \overset{⃑}{F O}$ ，则（）

A、 $\overset{⃑}{B F} = \frac{1}{3} \overset{⃑}{F C}$ B、 $\overset{⃑}{F D} \cdot \overset{⃑}{F E} = - \frac{8}{9}$ C、 $- 1 < \cos < \overset{⃑}{F D}, \overset{⃑}{F E} > \leq - \frac{4}{5}$ D、满足 $\overset{⃑}{F C} = λ \overset{⃑}{F D} + μ \overset{⃑}{F E}$ 的实数 $λ$ 与 $μ$ 的和为定值4

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7、若正数 $a, b$ 满足 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $\frac{1}{a - 1} + \frac{4}{b - 1}$ 的最小值为（）

A、4 B、6 C、9 D、16

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8、若 $\frac{\sin α + \cos α}{\sin α - \cos α} = 2$ ，则 $\sin (α - 5 π) \cdot \sin (\frac{3}{2} π - α)$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\pm \frac{3}{10}$ D、 $- \frac{3}{10}$

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9、如图，正三角形 $A B C$ 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形面积是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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10、已知复数 $z = \frac{2 - i}{1 + i}$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2} i$

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11、设 $\vec{a}, \vec{b}$ 均为单位向量，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{4}$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| =$ （）

A、 $3$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $6$ D、 $9$

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12、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} - x + 2 a \ln x$ （其中 $a$ 是实数）.
（1）若 $a = \frac{1}{2}$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；
（2）求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（3）设 $g (x) = \ln x - b x - c x^{2}$ ，若函数 $f (x)$ 的两个极值点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 恰为函数 $g (x)$ 的两个零点，且 $y = (x_{1} - x_{2}) g^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ 的范围是 $[\ln 2 - \frac{2}{3}, + \infty)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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13、放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数 $x_{i}$ 与该机场飞往A地航班放行准点率 $y_{i}$ （ $i = 1 ， 2 ， \dots ， 10$ ）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.
$\bar{x}$
$\bar{y}$
$\bar{t}$
$\sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i}$
$\sum_{i = 1}^{10} t_{i}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{10} t_{i} y_{i}$
2017.5
80.4
1.5
40703145.0
1621254.2
27.7
1226.8
其中 $t_{i} = \ln (x_{i} - 2012)$ ， $\bar{t} = \frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10} t_{i}$

(1)、根据散点图判断， $y = b x + a$ 与 $y = c \ln (x - 2012) + d$ 哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率.

(2)、已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A、B两地）航班放行准点率的估计值分别为 $80 %$ 和 $75 %$ ，试解决以下问题：
（i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；
（ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地、B地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.
附：（1）对于一组数据 $(u_{1}, v_{1})$ ， $(u_{2}, v_{2})$ ， …， $(u_{n}, v_{n})$ ，其回归直线 $v = α + β u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \cdot \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$
参考数据： $\ln 10 \approx 2.30$ ， $\ln 11 \approx 2.40$ ， $\ln 12 \approx 2.48$ .

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14、已知 $f (x) = {(2 x - 3)}^{n}$ 展开式的二项式系数和为512，且 ${(2 x - 3)}^{n} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + \dots + a_{n} {(x - 1)}^{n}$ .

(1)、求 $a_{3}$ 的值；

(2)、求 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}$ 的值；

(3)、求 $f (6) - 6$ 被8整除的余数.

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15、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4}$ ， $S_{3}$ ， $S_{5}$ 成等差数列.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项 $a_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = \{\begin{cases} a_{n}, n = 2 k - 1 \\ q n + 1, n = 2 k \end{cases}, k \in N^{*}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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16、对于三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ ，给出定义：设 $f^{'} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导数， $f^{″} (x)$ 是函数 $f^{'} (x)$ 的导数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x - \frac{5}{12}$ ，请你根据上面的探究结果，解答以下问题：
①函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x - \frac{5}{12}$ 的对称中心坐标为；
②计算 $f (\frac{1}{2024}) + f (\frac{2}{2024}) + f (\frac{3}{2024}) + \dots + f (\frac{2023}{2024}) =$ .

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17、已知 $(x + \frac{1}{x}) {(2 x - 1)}^{5}$ 的展开式中含 $x^{3}$ 的项的系数为.

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18、从1，2，3，6，9中任取两个不同的数相乘，则不同的乘积结果有种，乘积为偶数的取法有种.

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19、有甲、乙两个小组参加某项测试，甲组的合格率为70%，乙组的合格率为90%．已知甲、乙两组的人数分别占这两组总人数的70%，30%．从这两组组成的总体中任选一个人，用事件 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别表示选取的该人来自甲、乙组，事件 $B$ 表示选取的该人测试合格，则（）

A、 $P (A_{1} B) = 0.49$ B、 $P (B| A_{1}) = 0.9$ C、 $P (A_{2} B) = 0.21$ D、 $P (B) = 0.76$

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20、甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）

A、如果甲、乙必须相邻，那么不同的排法有24种 B、最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C、甲、乙不相邻的排法种数为72种 D、甲在乙左边的排列的排法有30种

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$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{t}$	$\sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{10} t_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} t_{i} y_{i}$
2017.5	80.4	1.5	40703145.0	1621254.2	27.7	1226.8