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相关试卷

1、已知 $\{a_{n}\}$ 是公比为 $q (q \neq 1)$ 的等比数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和.若对任意的 $n \in N^{*}$ ， $S_{n} < \frac{a_{1}}{1 - q}$ 恒成立，则（）

A、 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 B、 $\{a_{n}\}$ 是递减数列 C、 $\{S_{n}\}$ 是递增数列 D、 $\{S_{n}\}$ 是递减数列

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2、“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之间”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（）

A、120种 B、180种 C、240种 D、300种

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3、已知圆 $C : x^{2} + 2 x + y^{2} - 1 = 0$ ，直线 $m x + n (y - 1) = 0$ 与圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点.若 $△ A B C$ 为直角三角形，则（）

A、 $m n = 0$ B、 $m - n = 0$ C、 $m + n = 0$ D、 $m^{2} - 3 n^{2} = 0$

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4、设 $θ \in (0, π)$ ，则“ $θ < \frac{π}{6}$ ”是“ $\sin θ < \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、已知函数 $f (x) = a \ln x + \frac{1}{x} (a \neq 0)$ .
（1）求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（2）若存在两条直线 $y = a x + b_{1}$ 、 $y = a x + b_{2}$ $(b_{1} \neq b_{2})$ 都是曲线 $y = f (x)$ 的切线，求实数 $a$ 的取值范围；
（3）若 $\{x |f (x) \leq 0\}$ $\subseteq (0, 1)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $\sin B + \sin C = 2 \sin A \cos B$ .

(1)、证明： $a^{2} - b^{2} = b c$ ；

(2)、如图，点 $D$ 在线段 $A B$ 的延长线上，且 $|A B| = 3$ ， $|B D| = 1$ ，当点 $C$ 运动时，探究 $|C D| - |C A|$ 是否为定值？

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7、在测试中，客观题难度的计算公式为 $P_{i} = \frac{R_{i}}{N}$ ，其中 $P_{i}$ 为第 $i$ 题的难度， $R_{i}$ 为答对该题的人数， $N$ 为参加测试的总人数 $.$ 现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题 $.$ 测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：
题号
1
2
3
4
5
考前预估难度 $P_{i}$
$0.9$
$0.8$
$0.7$
$0.6$
$0.4$
测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：
题号
1
2
3
4
5
实测答对人数
16
16
14
14
4

(1)、根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；

(2)、从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、试题的预估难度和实测难度之间会有偏差 $.$ 设 $P_{i}^{'}$ 为第 $i$ 题的实测难度，请用 $P_{i}$ 和 $P_{i}^{'}$ 设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．

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8、已知三棱锥 $P - A B C$ (如图1)的平面展开图（如图2）中，四边形 $A B C D$ 为边长等于 $\sqrt{2}$ 的正方形， $Δ A B E$ 和 $Δ B C F$ 均为正三角形，在三棱锥 $P - A B C$ 中：
（1）证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ；
（2）若点 $M$ 在棱 $P A$ 上运动，当直线 $B M$ 与平面 $P A C$ 所成的角最大时，求二面角 $P - B C - M$ 的正切值．

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9、电子计算机是二十世纪最伟大的发明之一，当之无愧地被认为是迄今为止由科学和技术所创造的最具影响力的现代工具，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进行数的计算和处理加工时，内部使用的是二进制计数制，简称二进制．一个十进制数 $n (n \in N^{*})$ 可以表示成二进制数 ${(a_{0} a_{1} a_{2} \dots a_{k})}_{2}$ ， $n = a_{0} \times 2^{k} + a_{1} \times 2^{k - 1} + a_{2} \times 2^{k - 2} +$ $\dots + a_{k - 1} \times 2^{1} + a_{k} \times 2^{0}$ ，其中 $a_{0} = 1$ ， $a_{i} \in {0, 1}$ ， $i = 0, 1, 2, \dots, k, k \in N$ ．用 $f (n)$ 表示十进制数n的二进制表示中1的个数，则 $f (7) =$ ；对任意 $r \in N^{*}$ ， $\sum_{n = 2^{r}}^{2^{r + 1} - 1} 2^{f (n)} =$ ．

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10、已知函数 $f (x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{6}) + 3$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $[1, 5]$ B、 $f (x)$ 的对称中心为 $(\frac{π}{12} + \frac{k π}{2}, 0), k \in Z$ C、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上的递增区间为 $(0, \frac{π}{3})$ D、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{5}{6} π)$ 上的极值点个数为1

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11、设O为坐标原点， $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的两个焦点，点 P在C上， $\cos ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{3}{5}$ ，则 $| O P | =$ （）

A、 $\frac{13}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{2}$ C、 $\frac{14}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{35}}{2}$

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12、在平面四边形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $A D$ ， $B C$ 的中点.若 $A B = 2$ ， $C D = 3$ ，且 $\vec{E F} \cdot \vec{A B} = 4$ ，则 $|\vec{E F}| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{42}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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13、已知直线 $y = a$ 与函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = \ln x$ 的图象分别相交于 $A$ ， $B$ 两点.设 $k_{1}$ 为曲线 $y = f (x)$ 在点 $A$ 处切线的斜率， $k_{2}$ 为曲线 $y = g (x)$ 在点 $B$ 处切线的斜率，则 $k_{1} k_{2}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、1 C、 $e$ D、 $e^{e}$

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14、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ ，弦 $A B$ 过定点 $P (1, 1)$ ，则弦长 $|A B|$ 不可能的取值是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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15、已知 $m, n, l$ 是空间中三条互不重合的直线， $α, β$ 是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）

A、 $m ⊥ α, m ⊥ n$ ，则 $n ∥ α$ B、 $m ∥ n$ 且 $m ⊥ α$ ，则 $n ⊥ α$ C、 $m ∥ α, m ⊥ n$ ，则 $n ⊥ α$ D、 $α ∥ β, l \subset α, n \subset β$ ，则 $l ∥ n$

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16、二项式 ${(x + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中的常数项为．

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17、已知函数 $f (x) = \frac{3 \cdot 2^{x} - 7}{2^{x} - 3}$ ， $g (x) = |\log_{2} x|$ .
（1）当 $x \in [0, 1]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值城
（2）若关于 $x$ 的方程 $g (x) = t$ 有两个不等根 $α, β (α < β)$ ，求 $α β$ 的值；
（3）是否存在实数 $a$ ，使得对任意 $m \in [0 ， 1]$ ，关于 $x$ 的方程 $4 g^{2} (x) - 4 a g (x) + 3 a - 1 - f (m) = 0$ 在区间 $[\frac{1}{8}, 4]$ 上总有3个不等根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，若存在，求出实数 $a$ 与 $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}$ 的取值范围；若不存在，说明理由.

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18、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $B C ∥ A D$ ， $P A ⊥ A D$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ B A D = 120 °$ ，且 $P A = A B = B C = \frac{1}{2} A D = 2$ .

(1)、求证： $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $P A D$ 所成角的正弦值；

(3)、求二面角 $B - P C - D$ 的余弦值.

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19、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $\frac{2 c}{b} = 1 + \frac{\tan A}{\tan B}$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、角 $A$ 的内角平分线交 $B C$ 于点 $M$ ，若 $a = 4 \sqrt{7}$ ， $A M = 3 \sqrt{3}$ ，求 $\sin ∠ A M C$ .

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20、函数 $f (x) = 6 {cos}^{2} \frac{ω x}{2} + \sqrt{3} \sin ω x - 3 (ω > 0)$ 在一个周期内的图象如图所示， $A$ 为图象的最高点， $B$ 、 $C$ 为图象与 $x$ 轴的交点，且 $Δ A B C$ 为正三角形.
（1）求 $ω$ 的值及函数 $f (x)$ 的值域；
（2）若 $f (x_{0}) = \frac{8 \sqrt{3}}{5}$ ，且 $x_{0} \in (- \frac{10}{3}, \frac{2}{3})$ ，求 $f (x_{0} + 1)$ 的值.

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题号	1	2	3	4	5
考前预估难度 $P_{i}$	$0.9$	$0.8$	$0.7$	$0.6$	$0.4$

题号	1	2	3	4	5
实测答对人数	16	16	14	14	4