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相关试卷

1、如图，抛物线 $C$ ： $x^{2} = 4 y$ 上异于坐标原点 $O$ 的两不同动点 $A$ 、 $B$ 满足 $O A ⊥ O B$ .

(1)、求证：直线 $A B$ 过定点；

(2)、过点 $A$ ， $B$ 分别作抛物线 $C$ 的切线交于点 $M$ ，求 $△ M A B$ 的面积的最小值.

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2、甲、乙两个工厂加工一批同一型号的零件，甲工厂加工的次品率为 $6 %$ ，乙工厂加工的次品率为 $5 %$ ，现将加工出来的零件混放在一起，其次品率为 $5.25 %$ ；

(1)、求混放在一起的零件中来自甲工厂的零件个数的占比；

(2)、从混放在一起的零件中有放回地抽5个作为样本，记样本中来自甲工厂的零件个数为 $X$ .
（i）求 $X$ 的分布列和数学期望：
（ii）若用样本中来自甲工厂的零件个数的占比，估计总体中来自甲工厂的零件个数的占比，求误差的绝对值不超过0.1的概率.

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3、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，求 $d_{n}$ 及其最小值.

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4、在三棱锥 $A - B C D$ 中，且 $A B = B C = B D = 1$ ， $A D = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ， $∠ C B A = ∠ D B C = 120 °$ .

(1)、求证：平面 $A B C ⊥$ 平面BCD.

(2)、求二面角 $A - B D - C$ 的余弦值.

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5、已知 $a < 5$ 且 $a e^{5} = 5 e^{a}$ ，则函数 $y = a^{|x - 1|}$ 的单调增区间为.

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = \frac{3}{5}$ ，且 $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ ，则 $\frac{\frac{1}{a_{n + 1}} - 1}{\frac{1}{a_{n}} - 1} =$ ；满足 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n}} < 2024$ 的最大整数 $n$ 的值为.

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7、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，长轴长为4，点 $P (\sqrt{2}, 1)$ 在椭圆 $C$ 外，点 $Q$ 在椭圆 $C$ 上，则（）

A、 $b$ 的取值范围是 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、当椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时， $|Q F_{1}|$ 的取值范围是 $[2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3}]$ C、存在点 $Q$ 使得 $\vec{Q F_{1}} \cdot \vec{Q F_{2}} = 0$ D、 $\frac{1}{|Q F_{1}|} + \frac{1}{|Q F_{2}|}$ 的最小值为1

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8、函数 $f (x) = - cos (2 x + \frac{π}{2})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上的最小值为 $\frac{1}{2}$ C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{6}]$ 上单调递增 D、直线 $x = π$ 为 $f (x)$ 图象的对称轴

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9、设正整数 $n = a_{0} \cdot 2^{0} + a_{1} \cdot 2 + \cdot \cdot \cdot + a_{k - 1} \cdot 2^{k - 1} + a_{k} \cdot 2^{k}$ ，其中 $a_{i} \in \{0, 1\}$ ，记 $ω (n) = a_{0} + a_{1} + \cdot \cdot \cdot + a_{k}$ .则下列结论错误的是（）

A、 $ω (2 n) = ω (n)$ B、 $ω (2 n + 3) = ω (n) + 1$ C、 $ω (8 n + 5) = ω (4 n + 3)$ D、 $ω (2^{n} - 1) = n$

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10、已知圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 2$ ，直线 $l : y = k x - 2$ ，若直线 $l$ 上存在点 $P$ ，过点 $P$ 引圆的两条切线 $l_{1}, l_{2}$ ，使得 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[0, 2 - \sqrt{3}) \cup (2 + \sqrt{3}, + \infty)$ B、[ $2 - \sqrt{3}$ ， $2 + \sqrt{3}$ ] C、 $(- \infty, 0)$ D、 $[0 ， + \infty$ ）

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11、已知过点 $P (1, 2)$ 可作双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 的两条切线，若两个切点分别在双曲线 $C$ 的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为（）

A、 $(\sqrt{5}, + \infty)$ B、 $(1, \sqrt{5})$ C、 $(1, \sqrt{3})$ D、 $(\sqrt{3}, + \infty)$

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12、通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表，并由 $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ 计算得： $χ^{2} \approx 7.822$ ，参照附表，则下列结论正确的是（）
附：
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

A、根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 B、根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C、根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 D、在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关

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13、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $b = 40$ ， $c = 20$ ， $C = 60^{\circ}$ ，则此三角形的解的情况是（）

A、有一解 B、有两解 C、无解 D、有解但解的个数不确定

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14、已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = ln x$ ，若有 $f (m) = g (n)$ ，则 $n$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $[1, + \infty)$

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15、设复数 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ ，则 $z$ 的共轭复数为（）

A、 $i$ B、 $- i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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16、已知函数 $f (x)$ 定义域为 $R$ 且不恒为零，若函数 $y = f (2 x - 1)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称， $y = f (2 - x) + 1$ 的图象关于点 $(0, 1)$ 对称，则（）

A、 $f (x + 6) = f (x)$ B、 $f (10) = 0$ C、 $x = 7$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、 $(56, 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心

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17、电信诈骗是指通过电话、网络和短信方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远程诈骗的犯罪行为．随着 $5G$ 时代的全面来临，借助手机、网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生．为了调查同学们对“反诈”知识的了解情况，某校进行了一次抽样调查．若被调查的男女生人数均为 $20 n (n \in N^{*})$ ，统计得到以下列联表．经过计算，依据小概率值 $α = 0.025$ 的独立性检验，认为该校学生对“反诈”知识的了解与性别有关，但依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，认为该校学生对“反诈”知识的了解与性别无关．
性别
不了解
了解
合计
女生
$10 n$
男生
$5 n$
合计

(1)、求n的值；

(2)、将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取5人，记其中对“反诈”知识了解的人数为X，求X的分布列及数学期望．

(3)、为了增强同学们的防范意识，该校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛．已知全校参加本次竞赛的学生分数 $η$ 近似服从正态分布 $N (80, 25)$ ，若某同学成绩满足 $μ - σ \leq η \leq μ + 2 σ$ ，则该同学被评为“反诈标兵”；若 $η > μ + 2 σ$ ，则该同学被评为“反诈达人”．
（i）试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”；
（ii）若全校共有50名同学被评为“反诈达人”，试估计参与本次知识竞赛的学生人数．（四舍五入后取整）
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.10
0.05
0.025
0.01
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
若 $x ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq x \leq μ + σ) = 0.6827, P (μ - 2 σ \leq x \leq μ + 2 r) = 0.9545, P (μ - 3 σ \leq x \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ ．

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18、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = 2, B C = 2 \sqrt{2}, P B = P C, B P, A P, A C, B C$ 的中点分别为 $D, E, F, O, A D = \frac{\sqrt{22}}{2}, A O = 2 D O, B F ⊥ A O$ ．

(1)、求 $A C$ 的长；

(2)、证明：平面 $A B C ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(3)、求平面 $A O D$ 和平面 $B E F$ 夹角的余弦值．

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19、哈三中高二数学备课组对学生的记忆力 $x$ 和判断力 $y$ 进行统计分析，所得数据如下表所示：
$x$
4
6
8
10
$y$
2
3
5
6
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；
（2）根据（1）中求出的线性回归方程，预测记忆力为9的学生的判断力.
（参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \hat{y} - \hat{b} x$ ）

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20、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} + a_{2} = 26$ ， $a_{5} = 20$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} = 210$ ，求n．

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$α$	0.10	0.05	0.025	0.01	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

性别	不了解	了解	合计
女生		$10 n$
男生	$5 n$
合计

$x$	4	6	8	10
$y$	2	3	5	6