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相关试卷

1、已知复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = 1 + i$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 的共轭复数的虚部是（）

A、1 B、 $i$ C、 $- 1$ D、 $- i$

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2、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a | x - 2 a | - 2 a x + 1 (a \in R)$

(1)、若函数 $f (x)$ 为偶函数，求 $a$ 的值；

(2)、当 $a > 0$ 时，（ⅰ）函数 $f (x) \geq 4 a | x - \frac{a}{2} | - 10 a^{2} + 1$ ，（ⅱ）若关于x的方程 $f (x) = b$ 有两个不同的实根 $x_{1}, x_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ．求证： $x_{1} - x_{2} < \frac{b - 1}{2 a} + 9 a$ ．

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3、如图，四棱锥 $A - B C E D$ 中，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C E D$ ， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $B C ∥ D E$ ， $B D = C E$ ， $B C = 2 D E = 4 \sqrt{3}$ ， $∠ D A E = \frac{1}{2} ∠ B A C$ ， $A D = A B sin ∠ D A E$ ．设 $B C$ 中点为 $H$ ，过点 $H$ 的平面 $α$ 同时垂直于平面 $B A D$ 与平面 $C A E$ ．

(1)、求平面 $α$ 与平面 $B C E D$ 夹角的正弦值；

(2)、求平面 $α$ 截四棱锥 $A - B C E D$ 所得多边形的周长．

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4、 $A$ 为平面内一定点， $|\vec{α}| = 2$ ， $|\vec{β}| = 3$ ， $\vec{α}$ 与 $\vec{β}$ 夹角为 $60 °$ ， $\vec{A P} = x \vec{α} + y \vec{β}$ ， $0 \leq x$ ， $y \leq 1$ ，则 $P$ 所围成的面积为.

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5、给定正实数 $k$ ，对任意正实数 $a, b$ ，记 $m = min \{a, \frac{b}{k a^{2} + b^{2}}\}$ ，则 $m$ 的最大值为．

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6、已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{6}) + sin (2 x - \frac{π}{6}) + 3 cos 2 x + t$ 的最大值为 $3 \sqrt{3}$ ，则常数 $t$ 的值为， $f (x)$ 的单调递增区间为.

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 4 x, x \leq - 1 \\ ln (x + 1), x > - 1 \end{array}$ ，则 $f (f (e^{- 2} - 1)) =$ ．

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 2 x + 3, & x > 0 \\ 2^{x}, & x \leq 0 \end{cases}$ ，则关于 $x$ 的方程 $f (x) = a x + 2$ 根的个数可能是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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9、已知函数 $f (x) = e^{sin x - cos x} + e^{cos x - sin x}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图像是中心对称图形 B、 $f (x)$ 的图像是轴对称图形 C、 $f (x)$ 是周期函数 D、 $f (x)$ 存在最大值与最小值

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10、饮料瓶的主要成分是聚对苯二甲酸乙二醇酯，简称“PET”．随着垃圾分类和可持续理念的普及，饮料瓶作为可回收材料的“主力军”之一，得以高效回收，获得循环再生，对于可持续发展具有重要意义，上海某高中随机调查了该校某两个班（A班，B班）5月份每天产生饮料瓶的数目（单位：个），并按 $[10, 20), [20, 30), [30, 40), [40, 50), [50, 60), [60, 70]$ 分组，分别得到频率分布直方图如下：下列说法正确的是（）

A、 $A$ 班该月平均每天产生的饮料瓶个数估计为41 B、 $B$ 班5月产生饮料瓶数的第75百分位数 $x_{2} = \frac{160}{3}$ C、已知该校共有学生1000人，则约有150人5月份产生饮料瓶数在 $[40, 50)$ 之间 D、 $m = 0.25$

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11、已知幂函数 $f (x) = (- 3 a + 1) x^{m^{2} - 3 m + 2}$ ，其中 $a, m \in R$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a = - 1$ B、若 $\frac{1}{2} < m < 1$ 时， $f (2) > f (1)$ C、若 $m = 4$ 时， $y = f (x)$ 关于 $y$ 轴对称 D、 $f (x)$ 恒过定点 $(- 1, - 1)$

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12、一个顶点为 $P$ ，底面中心为 $O$ 的圆锥体积为1，若正四棱锥 $O - A B C D$ 内接于该圆锥，平面 $A B C D$ 与该圆锥底面平行， $A, B, C, D$ 这4个点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥 $O - A B C D$ 的体积的最大值是（）

A、 $π$ B、 $\frac{8}{21 π}$ C、 $\frac{8}{π}$ D、 $\frac{8}{27 π}$

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13、设 $△ A B C$ 的内心为 $I$ ，而且满足 $3 \vec{I A} + 5 \vec{I B} + 6 \vec{I C} = \vec{0}$ ，则 $cos ∠ A B C$ 的值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{5}{9}$

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14、设 $a, b$ 为实数，则“ $a \geq b$ ”是“ $a m^{2} \geq b m^{2}$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为 $T$ （单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为 $T_{1}, T_{2}$ ．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的 $\frac{1}{8}$ ，则 $T_{1}, T_{2}$ 满足的关系式为（）

A、 $3 + \frac{512}{T_{1}} = \frac{512}{T_{2}}$ B、 $2 + \frac{512}{T_{1}} = \frac{512}{T_{2}}$ C、 $- 2 + {log}_{2} \frac{512}{T_{1}} = {log}_{2} \frac{512}{T_{2}}$ D、 $2 + {log}_{2} \frac{512}{T_{1}} = {log}_{2} \frac{512}{T_{2}}$

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16、若 $m$ 满足 $2^{2^{m}} = 4^{4^{m}}$ ，则 $m$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $- 1$ D、 $0$

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17、用平面 $α$ 截一个球，所得的截面面积为 $4 π$ ，若 $α$ 到该球球心的距离为 $\sqrt{5}$ ，则球的体积（）

A、 $27 π$ B、 $81 π$ C、 $36 π$ D、 $\frac{32 π}{3}$

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18、已知向量 $\vec{a} = (- 6, t)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则实数 $t$ 的值为（）

A、 $3$ B、 $- 12$ C、 $- 3$ D、 $2$

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19、甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，则甲以4比2获胜的概率为（）

A、 $\frac{1}{54}$ B、 $\frac{10}{729}$ C、 $\frac{40}{243}$ D、 $\frac{160}{729}$

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20、已知 $α, β$ 为钝角，且 $cos α = \frac{- 2 \sqrt{5}}{5}$ ， $sin β = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，则 $α + β =$ （）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{5 π}{4}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{7 π}{4}$

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