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相关试卷

1、统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.

(1)、现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用 $ξ$ 表示其中A种鱼的条数，请写出 $ξ$ 的分布列，并求 $ξ$ 的数学期望 $E (ξ)$ ；

(2)、另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.
（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.
（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.

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2、如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设 $\overset{⃑}{A B} = \overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{A C} = \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{A D} = \overset{⃑}{c}$ .

(1)、求证EG⊥AB；

(2)、求异面直线AG和CE所成角的余弦值．

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3、已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面ABCD为边长是2的正方形， $D D_{1} = 2 C D$ ， E，F分别为棱AB， $C C_{1}$ 的中点，则过 $D_{1}$ ， E，F的平面截长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面所得截面的面积为.

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4、将函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 在 $(0, π)$ 上都恰好存在两个零点，则 $ω$ 的取值范围是．

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5、设 $a = C_{19}^{0} + C_{19}^{1} 7 + C_{19}^{2} 7^{2} + \dots + C_{19}^{19} 7^{19}$ ，则 $a$ 除以9所得的余数为．

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6、曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x, f (x))$ 处的曲率 $K (x) = \frac{|f^{″} (x)|}{{[1 + {(f^{'} (x))}^{2}]}^{1.5}}$ ，其中 $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导函数．下面说法正确的是（）

A、若函数 $f (x) = x^{3}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- a, - a^{3})$ 与点 $(a, a^{3})$ 处的弯曲程度相同 B、若 $f (x)$ 是二次函数，则曲线 $y = f (x)$ 的曲率在顶点处取得最小值 C、若函数 $f (x) = \sin x$ ，则函数 $K (x)$ 的值域为 $[0, 1]$ D、若函数 $f (x) = \frac{1}{x} (x > 0)$ ，则曲线 $y = f (x)$ 上任意一点的曲率的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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7、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，过F且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线l与抛物线相交于A，B两点， $|A B| = 12$ ，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q．则下列结论正确的是（）

A、 $Q A ⊥ Q B$ B、若 $M (1, 1)$ ， P是抛物线上一动点，则 $|P M| + |P F|$ 的最小值为 $\frac{5}{2}$ C、 $△ A O B$ （O为坐标原点）的面积为 $3 \sqrt{2}$ D、 $M (- \frac{p}{2}, 0)$ ，则 $\tan ∠ A M B = 2 \sqrt{2}$

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8、下列说法正确的是（）

A、 $z \cdot \bar{z} = {|z|}^{2}$ ， $z \in C$ B、 $i^{2024} = - 1$ C、若 $|z| = 1$ ， $z \in C$ ，则 $|z - 2|$ 的最小值为1 D、若 $- 4 + 3 i$ 是关于x的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的根，则 $p = 8$

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9、在某款计算器上计算 $\log_{a} b$ 时，需依次按下“Log”､“（”､“a”､“，”､“b”､“）”6个键.某同学使用该计算器计算 $\log_{a} b$ （ $a > 1$ ， $b > 1$ ）时，误将“Log”､“（”､“b”､“，”､“a”､“）”这6键，所得到的值是正确结果的 $\frac{4}{9}$ 倍，则（）

A、 $2 a = 3 b$ B、 $a^{3} b^{2} = 1$ C、 $a^{2} = b^{3}$ D、 $a^{3} = b^{2}$

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10、斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如下图是重庆千厮门嘉陵江大桥，共有 $10$ 对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距 $|P_{i} P_{i + 1}| (i = 1, 2, 3, \dots, 9)$ 均为 $3.4 m$ ，拉索下端相邻两个锚的间距 $|A_{i} A_{i + 1}| (i = 1, 2, 3, \dots, 9)$ 均为 $16 m$ ．最短拉索的锚 $P_{1}$ ， $A_{1}$ 满足 $|O P_{1}| = 66 m$ ， $|O A_{1}| = 86 m$ ，则最长拉索所在直线的斜率为（）

A、 $\pm 0.47$ B、 $\pm 0.45$ C、 $\pm 0.42$ D、 $\pm 0.40$

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11、已知 $|\vec{a}| = 5$ ， $|\vec{b}| = 4$ ，若 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{5}{8} \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、60° B、120° C、135° D、150°

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12、如图所示的多面体由一个四棱锥和一个三棱柱组合而成，四棱锥 $P - A B B_{1} A_{1}$ 与三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都为2， $∠ C_{1} C A = ∠ C_{1} C B = 120 °$ ．

(1)、求直线AB与平面 $P A_{1} B_{1}$ 的距离；

(2)、求平面 $P B B_{1}$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 夹角的余弦值．

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13、已知函数 $f (x) = \sin 2 ω x \cos φ + \cos 2 ω x \sin φ (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $φ = \frac{π}{6}$ B、 $ω = 2$ C、 $f (x + \frac{π}{6})$ 为偶函数 D、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 的最小值为 $- \frac{1}{2}$

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14、已知复数z，则（）

A、 $|z| = |\bar{z}|$ B、 $|z + \bar{z}| = |z| + |\bar{z}|$ C、 $z^{2} = |\bar{z}|$ D、 $z \cdot \bar{z} = {|z|}^{2}$

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15、若集合 $A, B, C$ ， $D$ 满足 $A, B, C$ 都是 $D$ 的子集，且 $A \cap B$ ， $B \cap C$ ， $A ∩ C$ 均只有一个元素，且 $A ∩ B ∩ C = \emptyset$ ，称 $(A, B, C)$ 为 $D$ 的一个“有序子集列”，若 $D$ 有5个元素，则有多少个“有序子集列”.

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16、函数 $f (x) = 2^{2 x} - 2^{x + 1} + 2$ 的定义域为 $M$ ，值域为 $[1, 2]$ ，下列结论中一定成立的结论的序号是（）

A、 $M \subseteq (- \infty, 1]$ B、 $M \supseteq [- 2, 1]$ C、 $1 \in M$ D、 $0 \in M$

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17、若函数 $y = f (x)$ 满足对 $\forall x \in R$ 都有 $f (x) + f (2 - x) = 2$ ，且 $y = f (x) - 1$ 为R上的奇函数，当 $x \in (- 1, 1)$ 时， $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{2^{x}} + s i n (\frac{π}{6} x) + 1$ ，则集合 $A = {x | f (x) = l o g_{3} x}$ 中的元素个数为（）

A、11 B、12 C、13 D、14

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18、已知数列 $A : a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{N} (N \geq 3)$ 的各项均为正整数，设集合 $T = {x ∣ x = a_{j} - a_{i}$ ， $1 \leq i < j \leq N}$ ，记 $T$ 的元素个数为 $P (T)$ .

(1)、若数列A：1，3，5，7，求集合 $T$ ，并写出 $P (T)$ 的值；

(2)、若 $A$ 是递减数列，求证：“ $P (T) = N - 1$ ”的充要条件是“ $A$ 为等差数列”；

(3)、已知数列 $A : 2, 2^{2}, ⋯, 2^{N}$ ，求证： $P (T) = \frac{N (N - 1)}{2}$ .

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19、已知集合 $A = {x | y = \sqrt{x} + \sqrt{1 - x}}$ ， $B = {y | y = \frac{1}{1 - \sqrt{1 - x}}}$ ，那么 $∁_{R} (A \cap B) =$ ．

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20、将函数 $f (x) = 2 s i n (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3 ω}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若 $y = g (x)$ 在 $[0, \frac{π}{4}]$ 上为增函数，则 $ω$ 的值可能为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、2 C、3 D、4

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