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相关试卷

1、已知直线 $l : 2 x - y + m - 2 = 0$ ，圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 20$ ．

(1)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 无公共点，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且 $△ A B C$ （ $C$ 为圆 $C$ 的圆心）为直角三角形，求实数 $m$ 的值．

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = λ a_{n} - 4$ （ $λ > 1$ ， $n \in N^{*}$ ），且 $a_{2} + 2$ 是 $a_{1}$ 和 $a_{2} + 6$ 的等差中项．

(1)、求实数 $λ$ 的值；

(2)、求证：数列 $\{a_{n} - 2\}$ 是等比数列，并求出 $\{a_{n}\}$ 的通项公式．

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3、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一条渐近线方程为 $y = \sqrt{2} x$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线C的左、右焦点，过 $F_{2}$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点，若 $△ M N F_{1}$ 的周长为108，则双曲线C的方程为．

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4、如图，以等腰直角三角形斜边 $B C$ 上的高 $A D$ 为折痕折成四面体 $A B C D$ ．当四面体 $A B C D$ 中满足平面 $A B D ⊥$ 平面 $A C D$ 时，则
（1） $B D ⊥ A C$ ；
（2）平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ；
（3） $△ A B C$ 为等腰直角三角形
以上结论中正确的是（填写你认为正确的结论序号）．

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5、“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点 $O (0, 0)$ ，将军从山脚下的点 $P (1, 1)$ 处出发返回军营，河岸线所在直线方程为 $x - y + 2 = 0$ ．则返回总路程最短为．

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6、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} = 27$ ，则 $a_{2} =$ ．

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7、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且 $b^{2} = a c$ （ $c$ 为双曲线 $C$ 的半焦距），点 $P$ 在双曲线 $C$ 的左支上，点 $I$ 为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，若 $S_{△ I P F_{1}} = S_{△ I P F_{2}} + λ S_{△ I F_{1} F_{2}} (λ \in R)$ 成立，则下列结论正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的离心率 $e = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ B、 $λ = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ C、点 $I$ 的横坐标为定值 $- a$ D、当 $P F_{1} ⊥ x$ 轴时， $\tan ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{1}{2}$

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8、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点O为线段BD的中点，点P在线段 $C C_{1}$ 上，下列说法正确的是（）

A、 $A_{1} D$ 与平面ABCD所成角为 $60 °$ B、平面ABD与平面 $A_{1} B D$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、当点P是线段 $C C_{1}$ 的中点时， $O P ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ D、当点P与点C重合时，点P到平面 $A_{1} B D$ 的距离最小

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9、已知两直线 $l_{1} : 2 m x + y - 2 m + 1 = 0$ ， $l_{2} : x - m y - m - 2 = 0 (m \in R)$ ，则下列说法正确的是（）

A、对任意实数m，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的方向向量都不可能平行 B、存在实数m，使直线 $l_{1}$ 垂直于x轴 C、存在实数m，使直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 互相垂直 D、当 $m = 0$ 时，直线 $l_{2}$ 的方向向量不存在

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10、数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{1}{n (n + 1)}$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ，则下列说法一定正确的是（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 B、数列 $\{a_{n}\}$ 是递减数列 C、 $S_{n}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ D、 $S_{n}$ 有可能大于1

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11、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点为P，左焦点为F，直线PF与C的另一个交点为Q，若 $| P F | = 3 | Q F |$ ，则C的离心率 $e =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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12、如图，空间四边形OABC中，点M是OA的中点，点N在BC上，设 $\vec{M N} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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13、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为7，则 $|P F| =$ （）

A、8或20 B、20 C、6或22 D、22

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14、 $p :$ $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是三个不共面的单位向量， $q :$ $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 可为空间的一个基底，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，准线为l，则点F到l的距离为（）

A、1 B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足点 $(n, a_{n})$ 在直线 $y = 2 x - 1$ 上，则 $a_{2} =$ （）

A、3 B、2 C、1 D、0

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17、直线 $\sqrt{3} x + y - 2024 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2π}{3}$ D、 $\frac{5π}{6}$

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18、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，且 $A C = B C = C C_{1} = 2$ ，点P为线段 $B_{1} C$ 上的动点．

(1)、当P为线段 $B_{1} C$ 中点时，求证：平面 $A B P ⊥$ 平面 $A B_{1} C$ ；

(2)、当直线AP与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正切值为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 时，求二面角P-AB-C的余弦值．

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19、在△ $A B C$ 中，其内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且满足___________．
① $\sqrt{3} \tan B \tan C - \tan B - \tan C = \sqrt{3}$
② $\sqrt{3} \sin (B + C) = 1 + 2 \sin^{2} \frac{A}{2}$
③ $b \sin \frac{B + C}{2} = a \sin B$
请从上述所给的三个条件中任选一个，补充到上面的横线上，并解答下列问题：

(1)、求角A的大小；

(2)、已知△ $A B C$ 外接圆的半径为 $\sqrt{2}$ ，如图所示，AD是 $∠ B A C$ 的角平分线，且 $A D = 1$ ，求△ $A B C$ 的面积．

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20、某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组： $[20, 25)$ ，第二组： $[25, 30)$ ，第三组： $[30, 35)$ ，第四组： $[35, 40)$ ，第五组： $[40, 45]$ ，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、根据频率分布直方图，估计这20人的年龄的中位数和众数；

(2)、若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和 $\frac{5}{2}$ ，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中35～45岁所有人的年龄的方差．

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