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相关试卷

1、设 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_{3} = a_{4} - 2 ， S_{2} = a_{3} - 2$ ，则公比 $q =$ （）

A、2 B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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2、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $\cos ⟨3 \vec{a} + 4 \vec{b}, \vec{a} + \vec{b}⟩ =$ （）

A、0 B、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ D、1

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3、复数 $\frac{5 i}{i - 2}$ 的虚部是（）

A、 $i$ B、1 C、 $- 2 i$ D、 $- 2$

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4、对于正整数m，n，存在唯一的自然数a，b，使得 $m = a n + b$ ，其中 $a \in N, 0 \leq b < n, b \in N$ ，我们记 $a = D (m, n), b = M (m, n)$ ．对任意正整数 $i$ ，定义 $i$ 的生成数列为 $\{T {(i)}_{n}\}$ ，其中 $T {(i)}_{n} =$ $\frac{M (i, 3^{n}) - M (i, 3^{n - 1})}{3^{n - 1}}$ ．

(1)、求 $D (2024, 9)$ 和 $M (2024, 9)$ ．

(2)、求 $\{T {(100)}_{n}\}$ 的前3项．

(3)、存在 $n_{0}$ ，使得 $T {(i)}_{n_{0}} \neq 0$ ，且对任意 $n > n_{0}, T {(i)}_{n} = 0$ 成立．考虑 $T {(i)}_{n_{0}}$ 的值：当 $T {(i)}_{n_{0}} = 1$ 时，定义数列 $\{T {(i)}_{n}\}$ 的变换数列 $\{T^{'} {(i)}_{n}\}$ 的通项公式为 $T^{'} {(i)}_{n} = \{\begin{array}{l} 2, n = n_{0}, \\ T {(i)}_{n}, n \neq n_{0} . \end{array}$ 当 $T {(i)}_{n_{0}} = 2$ 时，定义数列 $\{T {(i)}_{n}\}$ 的变换数列 $\{T^{'} {(i)}_{n}\}$ 的通项公式为 $T^{'} {(i)}_{n} = \{\begin{cases} 1, n = n_{0} + 1, \\ T {(i)}_{n - 1}, 1 < n \leq n_{0}, \\ 0, n = 1 或 n > n_{0} + 1. \end{cases}$ 若数列 $\{T^{'} {(i)}_{n}\}$ 和数列 $\{T {(j)}_{n}\}$ 相同，则定义函数 $f (i) = j$ ，其中函数 $f (i)$ 的定义域为正整数集．
（ⅰ）求证：函数 $f (i)$ 是增函数．
（ⅱ）求证： $f (f (i)) = 3 i$ ．

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5、如图，抛物线 $Γ : y^{2} = 2 p x (p > 0), M (2, 1)$ 是抛物线内一点，过点 $M$ 作两条斜率存在且互相垂直的动直线 $l_{1}, l_{2}$ ，设 $l_{1}$ 与抛物线 $Γ$ 相交于点 $A, B, l_{2}$ 与抛物线 $Γ$ 相交于点 $C$ ， $D$ ，当 $M$ 恰好为线段 $A B$ 的中点时， $| A B | = 2 \sqrt{6}$ ．

(1)、求抛物线 $Γ$ 的方程；

(2)、求 $\vec{A C} \cdot \vec{D B}$ 的最小值．

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6、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E$ 为侧棱 $B B_{1}$ 的中点．

(1)、求证：平面 $A_{1} E C ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ．

(2)、若 $A A_{1} = A_{1} B_{1}$ ，求平面 $A_{1} E C$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 所成二面角的大小．

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7、若不等式 $x y + y^{2} + z^{2} \geq k (x + y) z$ 对任意满足 $y + z \geq x$ 的正实数x，y，z均成立，则实数 $k$ 的最大值为．

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8、已知 $α, β \in R$ ，则下列等式成立的是（）

A、 $\cos (α + β) \cdot \cos (α - β) = \cos^{2} α - \cos^{2} β$ B、 $\cos (α + β) \cdot \cos (α - β) = \cos^{2} α - \sin^{2} β$ C、 $\sin (α + β) \cdot \sin (α - β) = \cos^{2} α - \sin^{2} β$ D、 $\sin (α + β) \cdot \sin (α - β) = \sin^{2} α - \sin^{2} β$

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9、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (3, m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 4$ B、 $4$ C、 $- 6$ D、 $6$

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10、已知集合 $A = \{x | |x| < 3\}, B = \{x \in N ∣ x^{2} < 11\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{1, 2\}$

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11、已知集合 $S_{n} = \{X |X = (x_{1}, x_{2}, \dots x_{n}), x_{i} \in N^{*}, i = 1, 2, \dots n\} (n \geq 2)$ .对于 $A = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}), B = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}) \in S_{n}$ ，给出如下定义：① $\overset{⃑}{A B} = (b_{1} - a_{1}, b_{2} - a_{2}, \dots, b_{n} - a_{n})$ ；② $λ (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) = (λ a_{1}, λ a_{2}, \dots, λ a_{n}) (λ \in R)$ ；③A与B之间的距离为 $d (A, B) = \sum_{i = 1}^{n} |a_{i} - b_{i}|$ .说明： $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ 的充要条件是 $a_{i} = b_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ .

(1)、当 $n = 5$ 时，设 $A = (1, 2, 1, 2, 5), B = (2, 4, 2, 1, 3)$ ，求 $d (A, B)$ ；

(2)、若 $A, B, C \in S_{n}$ ，且存在 $λ > 0$ ，使得 $\overset{⃑}{A B} = λ \overset{⃑}{B C}$ ，求证： $d (A, B) + d (B, C) = d (A, C)$ ；

(3)、记 $I = (1, 1, \dots, 1) \in S_{20}$ .若 $A, B \in S_{20}$ ，且 $d (I, A) = d (I, B) = 13$ ，求 $d (A, B)$ 的最大值.

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12、在 $△ A B C$ 中， $a = 5$ ， $b^{2} - b c + c^{2} = 25$ ．

(1)、求 $∠ A$ 的大小：

(2)、再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 $△ A B C$ 存在且唯一确定，求 $△ A B C$ 的面积．
条件①： $b = 7$ ；条件②： $\sin B = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ；条件③： $A C$ 边上的高 $B H = \frac{9}{2}$ ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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13、已知函数 $f (x) = 2 {cos}^{2} ω x + 2 \sqrt{3} sin ω x cos ω x + a (ω > 0, a \in R)$ . $f (x)$ 的最大值为1，且相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ .求：

(1)、函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、函数 $f (x)$ 在 $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 的单调递增区间.

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14、已知向量 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ 满足 $|\overset{⃑}{a}| = 2$ ， $|\overset{⃑}{b}| = 1$ ，它们的夹角为120°．

(1)、求 $|\overset{⃑}{a} - 2 \overset{⃑}{b}|$ 的值；

(2)、若向量 $2 \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$ 与 $\overset{⃑}{a} - k \overset{⃑}{b}$ 的夹角为锐角，求实数k的取值范围．

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15、函数 $f (x) = \frac{b}{|x| - a} (a > 0, b > 0)$ 的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”.下列命题正确的是.
①“囧函数”的值域为R；
②“囧函数”在 $(0, + \infty)$ 上单调递增
③“囧函数”图象关于y轴对称；
④“囧函数”有两个零点；
⑤“囧函数”的图象与直线 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象至少有一个交点.

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16、已知 $O$ 是 $△ A B C$ 内一点，且满足 $(\overset{⃑}{O A} + \overset{⃑}{O C}) \cdot \overset{⃑}{C A} = (\overset{⃑}{O C} + \overset{⃑}{O B}) \cdot \overset{⃑}{C B} = 0$ ，若 $A C = \sqrt{2}$ ，则 $\overset{⃑}{O A} \cdot \overset{⃑}{A C} =$ .

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17、如图，点 $P_{0} (\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ 为锐角 $α$ 的终边与单位圆的交点， $O P_{0}$ 逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 得 $O P_{1}$ ， $O P_{1}$ 逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 得 $O P_{2}$ ， ……， $O P_{n - 1}$ 逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 得 $O P_{n}$ ，则 $\cos 2 α =$ ，点 $P_{2020}$ 的横坐标为.

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18、向量 $\vec{a} = (cos 50 °, sin 50 °)$ 与 $\vec{b} = (cos 10 °, sin 10 °)$ 的夹角的大小为.

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19、骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的直径均为2， $△ A B E, △ B E C, △ E C D$ 均是边长为2的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中， $\overset{⃑}{A P} \cdot \overset{⃑}{B D}$ 的最大值为（）

A、 $12$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $6 + 2 \sqrt{3}$ D、 $12 + 2 \sqrt{3}$

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x, x \leq a \\ x^{2}, (x > a) \end{cases}$ ，若存在实数 $b$ ，使函数 $g (x) = f (x) - b$ 有两个零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a <0$ B、 $a < 1$ 且 $a \neq 0$ C、 $a < 1$ D、 $a > 0$ 且 $a \neq 1$

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