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相关试卷

1、如图，已知多面体 $F A B C D E$ 的底面 $A B C D$ 是边长为3的正方形， $D E ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $D E ∥ A F$ ，且 $F A = 3 D E = 3$ ．

(1)、证明： $C D ⊥$ 平面 $A D E F$ ；

(2)、求四棱锥 $C - A D E F$ 的体积．

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2、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $b \cos A + \frac{\sqrt{3}}{2} a = c$ ．
（1）求B的大小；
（2）若 $c = \sqrt{3}, a + b = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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3、已知向量 $\vec{a} = (1, x), \vec{b} = (2, 3)$ ．

(1)、若 $3 \vec{b} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、若 $\vec{c} = (- 3, - 4), \vec{b} / / (\vec{a} + \vec{c})$ ，求 $3 \vec{b} + \vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角的余弦值．

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4、设复数 $z_{1} = 1 - a i (a \in R), z_{2} = 2 + 3 i$ ， $i$ 为虚数单位.

(1)、若 $a = 2$ ，求 $z_{1} \cdot z_{2}$ ；

(2)、若 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 是纯虚数，求 $|z_{1}|$ .

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5、如图所示，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设 $M, N$ 分别是线段 $D A_{1}$ 、 $B_{1} D_{1}$ 上的动点，若 $M N / /$ 平面 $C C_{1} D_{1} D$ ，则线段 $M N$ 长的最小值为．

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6、向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (2, λ)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ .

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7、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E, F$ 分别是棱 $B_{1} B, C_{1} C$ 上的动点， $A A_{1} = 2 A_{1} B_{1} = 2 A_{1} C_{1} = 4$ ， $∠ A_{1} C_{1} B_{1} = \frac{π}{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $4 \sqrt{3}$ B、直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接球的表面积为 $16 π$ C、若 $E, F$ 分别是棱 $B_{1} B, C_{1} C$ 的中点，则异面直线 $A_{1} F$ 与 $A E$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{4}$ D、 $A E + E F + F A_{1}$ 取得最小值时， $A_{1} F = E F$

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8、已知 $α, β$ 是两个不重合的平面，l，m是两条不同的直线，在下列说法正确的是（）

A、若 $l ∥ α, α ∥ β$ ，则 $l ∥ β$ B、若 $α ∥ β, m \subset α$ ，则 $m ∥ β$ C、若 $l ∥ α, m \subset α$ ，则 $l ∥ m$ D、若 $α \cap β = l, m ∥ l$ ，则m至少与 $α, β$ 中一个平行

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9、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D为 $A_{1} B_{1}$ 的中点， $A B = B C = 2, B B_{1} = 1, A C = 2 \sqrt{2}$ ，则异面直线 $B D$ 与 $A C$ 所成的角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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10、在直角坐标系 $x O y$ 中，向量 $\vec{O A} = (1, - 1), \vec{O B} = (5, m), \vec{O C} = (7, 3)$ ，其中 $m \in R$ ，若 $A$ ， $B, C$ 三点共线，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- 7$ C、 $\frac{5}{3}$ D、2

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11、在 $△ A B C$ 中， $A = 60^{\circ}, B = 75^{\circ}, a = 2$ ，则 $△ A B C$ 中最小的边长为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{6}$

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12、已知复数 $z = i^{2} - i$ ，则 $z$ 对应的点 $Z$ 在复平面的（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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13、如图1，等腰 $△ A F A_{1}$ 中， $F A = F A_{1} = 5$ ， $A A_{1} = 8$ ，点 $B$ ， $C$ ， $D$ 为线段 $A A_{1}$ 的四等分点，且 $B E / / C F / / D G$ .现沿 $B E$ ， $C F$ ， $D G$ 折叠成图2所示的几何体，使 $∠ B C D = 60 °$ .

(1)、证明： $A E / /$ 平面 $D C F G$ ；

(2)、求几何体 $B C D - E F G$ 的体积.

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14、如图在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边， $D$ 是边 $A B$ 上的一点.

(1)、若 $b = \sqrt{2} a = 4$ ， $∠ A C D = \frac{π}{3}$ ， $∠ B C D = \frac{π}{4}$ ， $C D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

(2)、试利用“ $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ ”证明：“ $c \cos B + b \cos C = a$ ”；

(3)、已知 $c \cos B + b \cos C = 2 a \cos C$ ， $C D$ 是 $∠ A C B$ 的角平分线，且 $C D = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ， $c = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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15、函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + \sin^{2} x - \cos^{2} x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递减区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象先向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图象．当 $x \in [0, \frac{π}{4}]$ 时，求函数 $g (x)$ 的值域．

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16、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长是 $1$ .

(1)、求证： $B_{1} D ⊥$ 平面 $A C D_{1}$ ；

(2)、求直线 $D D_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的正弦值.

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17、已知向量 $\vec{a} = (2 cos θ, sin θ)$ ， $\vec{b} = (1, - 2)$

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $\frac{3 \sin θ - 2 \cos θ}{2 \sin θ + \cos θ}$ 的值；

(2)、若 $θ = 90 °$ ，求向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标．

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18、如图，在边长为2的菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $\vec{B P} = \frac{2}{3} \vec{B D}$ ，点Q是 $△ B C D$ 内部（包括边界）的一动点，则 $\vec{A P} \cdot \vec{B Q}$ 的取值范围是.

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19、已知A，B，C三点都在表面积为100π的球O的表面上，若 $A B = 4 \sqrt{3}$ ， $∠ A C B = 60 °$ ，则球心O到平面ABC的距离等于．

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20、方程 $x^{2} + 4 x + 6 = 0$ 在复数范围内的解是．

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