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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x - l n x, x > 0 \\ x + \frac{1}{x}, x < 0 \end{array}$ ，若 $y = f (x) - k x$ 恰有两个零点，则 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(1 - \frac{1}{e}, 1)$ B、 $(1 - \frac{1}{e}, 1]$ C、 $(1 - \frac{1}{e}, + \infty)$ D、 $(1 - \frac{1}{e}, 1) \cup (1, + \infty)$

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2、函数 $f (x) = 2 x^{3} - 6 x + m$ 有三个零点，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[- 4, 4]$ B、 $(- 4, 4)$ C、 $(- \infty, - 4] \cup [4, + \infty)$ D、 $(- ∞, - 4) \cup (4, + ∞)$

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3、函数 $f (x) = x + s i n x - 2$ 的零点所在的大致区间为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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4、已知函数 $f (x) = x^{2} (a l n x - \frac{2}{3} x - \frac{a}{2})$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ．

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、证明： $x_{1} l n x_{1} + x_{2} l n x_{2} > x_{1} + x_{2}$ ．

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5、若不等式 $x e^{x} - x + a \geq l n x - 2$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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6、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} - l n | x | - x + 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\exists m \in R$ ，直线 $y = - x + m$ 与 $f (x)$ 相切 B、 $\exists n \in N^{*}$ ， $f (n) > 1$ C、 $f (x)$ 恰有2个零点 D、若 $x_{1} x_{2} > 0$ 且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 2$ ，则 $x_{1} x_{2} = 1$

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7、已知 $λ > 0$ ，若关于x的方程 $\frac{e^{x - 1}}{x} - λ x + λ l n (λ x) = 0$ 存在正零点，则实数 $λ$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $[1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 3]$ D、 $[3, + \infty)$

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8、已知 $0 < a < 1$ ，若函数 $f (x) = a^{x} l n a - e x$ 有两个不同的零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{e})$ B、 $(\frac{1}{e}, 1)$ C、 $(0, \frac{1}{2 e})$ D、 $(\frac{1}{2 e}, \frac{1}{e})$

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9、已知函数 $f (x) = 2 s i n x + l n (x + 1) - a x$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上零点的个数；

(2)、若 $x \geq 0$ 时，不等式 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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10、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{x} + a l n x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，证明： $f (x) > 1$ ；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上有且只有一个极值点，求实数 $a$ 的取值范围.

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11、已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x + \frac{1}{x}, x > 0 \\ e^{x}, x \leq 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - x + m (m \in R)$ 恰有一个零点，则 $m$ 的取值范围是.

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12、已知函数 $f (x) = m (x + 1) l n x - x + 1$ ，下列说法正确的有（）

A、当 $m = \frac{1}{2}$ 时，则 $y = f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增 B、当 $m = 1$ 时，函数 $y = f (x)$ 有唯一极值点 C、若函数 $y = f (x)$ 只有两个不等于1的零点 $x_{1}, x_{2}$ ，则必有 $x_{1} \cdot x_{2} = 1$ D、若函数 $y = f (x)$ 有三个零点，则 $0 < m < \frac{1}{2}$

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13、已知 $a > 1$ ，若函数 $f (x) = a^{x} l n a - e x$ 有两个不同的零点，则a的取值范围是（）

A、 $(e, + ∞)$ B、 $(1, e)$ C、 $(2 e, + ∞)$ D、 $(e, 2 e)$

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14、已知函数 $f (x) = x e^{x} - a (l n x + x)$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数.

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线的斜截式方程；

(2)、当 $a = e$ 时，求出函数 $f (x)$ 的所有零点；

(3)、证明： $x^{2} e^{x} > (x + 2) l n x + 2 s i n x$ .

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15、已知函数 $f (x) = l n x - \frac{a x}{e^{x}}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，证明： $f (x)$ 有且仅有一个零点；

(2)、当 $x > 0$ 时， $f (x) \leq x$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $a = 0$ 时，证明： $x^{2} f (x) - 2 x e^{x - 2} < 0$ .

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16、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3 + x^{2}} - (k x + b)$ ，给出下列四个结论：
①当 $k = 0$ 时，对任意 $b \in R$ ， $f (x)$ 有1个极值点；
②当 $k > \frac{1}{8}$ 时，存在 $b \in R$ ，使得 $f (x)$ 存在极值点；
③当 $b = 0$ 时，对任意 $k \in R$ ， $f (x)$ 有一个零点；
④当 $0 < b < \frac{1}{3}$ 时，存在 $k \in R$ ，使得 $f (x)$ 有3个零点.
其中所有正确结论的序号是.

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17、函数 $f (x) = e^{x} - a c o s x$ ，下列说法正确的是（）

A、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线的斜率为1 B、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 在 $(- π, + \infty)$ 上单调递增 C、对任意 $a > 0$ ， $f^{^{'}} (x)$ 在 $(- π, + \infty)$ 上均存在零点 D、存在 $a < 0$ ， $f^{^{'}} (x)$ 在 $(- π, + \infty)$ 上有唯一零点

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18、已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - a x^{2} + b$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、从下面两个条件中选一个，证明： $f (x)$ 只有一个零点
① $\frac{1}{2} < a \leq \frac{e^{2}}{2}, b > 2 a$ ；
② $0 < a < \frac{1}{2}, b \leq 2 a$ ．

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19、已知函数 $f (x) = l n (1 + x) + a x e^{- x}$

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 0), (0, + \infty)$ 各恰有一个零点，求a的取值范围．

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20、已知函数 $f (x) = a e^{x} - b x$ ．

(1)、当 $a = 1$ ， $b = 1$ 时，求证 $f (x) \geq 1$ 恒成立；

(2)、当 $a \geq 1$ 时， $f (x) \geq l n x + \frac{4}{5}$ ，求整数 $b$ 的最大值．

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