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1、在平行四边形 $A B C D$ 中， $3 \vec{B E} = \vec{E D}$ ， $\vec{C E} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D} (λ, μ \in R)$ ， $2 λ + μ =$ ．

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2、如图，在 $4 \times 4$ 方格中，向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 的始点和终点均为小正方形的顶点，则（）

A、 $\vec{a} = \vec{b}$ B、 $| \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{c} |$ C、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、 $\vec{a} \cdot \vec{c} \neq \vec{b} \cdot \vec{c}$

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3、如图， $O$ 是正六边形 $A B C D E F$ 的中心，则（）

A、 $\vec{A D} = 2 \vec{C B}$ B、 $\vec{O B} + \vec{O D} + \vec{O F} = \vec{0}$ C、 $\vec{A D} - \vec{A F} + \vec{D C} = \vec{C F}$ D、 $\vec{O A} \cdot \vec{O C} = \vec{O B} \cdot \vec{O D}$

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4、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 为非零向量，下列说法正确的有（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ B、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $2 \vec{a} + \vec{b} = (3, 2)$ ，则 $\vec{b} = (1, 2)$ C、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{b}$ 和 $\vec{c}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量相等 D、已知 $\vec{A B} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{B C} = - 5 \vec{a} + 6 \vec{b}$ ， $\vec{C D} = 7 \vec{a} - 2 \vec{b}$ ，则点A ， B ， D一定共线

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5、在梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ，且 $A B = 2 C D$ ，点 $M$ 是 $B C$ 的中点，则 $\vec{A M} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A D}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$ C、 $\vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$

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6、在梯形 $A B C D$ 中， $\vec{D C} = 3 \vec{A B}, E$ 为线段 $A D$ 的中点， $\vec{D F} = 2 \vec{F C}$ ，则 $\vec{E F} =$ （）

A、 $- \vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{B C}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{B A} + \vec{B C}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{B C}$ D、 $- \vec{B A} + \frac{3}{2} \vec{B C}$

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7、已知等边 $△ A B C$ 的边长为1，点 $D, E$ 分别为 $A B, B C$ 的中点，若 $\vec{D F} = 3 \vec{E F}$ ，则 $\vec{A F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{5}{6} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{3}{2} \vec{A C}$

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8、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (4, 3)$ ， $\vec{a} - 2 \vec{b} = (10, - 5)$ ，则（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$ B、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ C、 $| \vec{a} | > | \vec{b} |$ D、 $\vec{a} ∥ \vec{b}$

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9、设平面向量 $\vec{a} = (s i n θ, 1)$ ， $\vec{b} = (c o s θ, \sqrt{3})$ ，若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不能组成平面上的一个基底，则 $t a n θ =$ ．

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10、设 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，若 $\vec{A O} = \vec{A B} + 2 \vec{A C}$ ，则 $s i n ∠ B A C$ 的值为.

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11、已知在等边△ $A B C$ 中， $A B = 2$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点， $E$ 为 $B D$ 的中点，延长 $C E$ 交 $A B$ 占 $F$ ，则（）

A、 $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ B、 $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ C、 $\vec{B E} \cdot \vec{A C} = \frac{3}{2}$ D、 $S_{△ D E C} = 2 S_{△ B E F}$

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12、在 $△ A B C$ 中， $D$ 为边 $A C$ 上一点且满足 $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{D C}$ ，若 $P$ 为边 $B D$ 上一点，且满足 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ， $λ$ ， $μ$ 为正实数，则下列结论正确的是（）

A、 $λ μ$ 的最小值为1 B、 $λ μ$ 的最大值为 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{3 μ}$ 的最大值为12 D、 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{3 μ}$ 的最小值为4

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13、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，点 $M, N$ 分别在双曲线 $C$ 的左、右两支上，且满足 $∠ M F_{2} N = \frac{π}{3}$ ， $\vec{N F_{2}} = 2 \vec{M F_{1}}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\frac{7}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{5}{2}$

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14、如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A ， B）， $D C ⊥ B C$ ， $D C = B C$ ， $| A B | = 2$ ， $| \vec{C A} - \vec{B C} | =$ ； $\vec{O C} \cdot \vec{O D}$ 的最大值为．

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15、已知等边 $△ A B C$ 的边长为4，点D ， E满足 $\vec{B D} = 2 \vec{D A}$ ， $\vec{B E} = \vec{E C}$ ， $A E$ 与CD交于点 $O$ ，则（）

A、 $\vec{C D} = \frac{2}{3} \vec{C A} + \frac{1}{3} \vec{C B}$ B、 $\vec{B O} \cdot \vec{B C} = 8$ C、 $\vec{C O} = 2 \vec{O D}$ D、 $| \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} | = \sqrt{3}$

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16、已知 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 的重心， $c o s A = \frac{1}{5}$ ， $A O = 2$ ，则（）

A、 $\vec{A O} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} \leq 3$ C、 $△ A B C$ 的面积的最大值为 $3 \sqrt{6}$ D、 $a$ 的最小值为 $2 \sqrt{5}$

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17、若平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，且 $t = \frac{1}{2}$ 时， $| \vec{a} - t \vec{b} |$ 取得最小值，则 $⟨ \vec{a}, \vec{b} ⟩ =$ （）

A、0 B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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18、如图，在平行四边形ABCD中， $A D = 2 \sqrt{3}, c o s ∠ B A D = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， E是边BC的中点，F是CD上靠近D的三等分点，若 $\vec{A E} \cdot \vec{B F} = 6$ ，则 $| \vec{A B} | =$ （）

A、4 B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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19、设 $A$ ， $B$ ， $C$ 是 $△ A B C$ 的三个内角， $△ A B C$ 的外心为 $O$ ，内心为 $I$ ． $\vec{O I} \neq \vec{0}$ 且 $\vec{O I}$ 与 $\vec{B C}$ 共线．若 $k t a n A = \frac{1}{t a n \frac{B}{2}} + \frac{1}{t a n \frac{C}{2}}$ ，则 $k =$ ．

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20、已知 $▱ A B C D$ 在平面直角坐标系中， $\vec{A B} = (4, 2), \vec{D A} = (0, - 3)$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B D}$ ．

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