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1、已知平面向量 $\vec{a} = (m, m + 2), m \in R, \vec{b} = (3, 4)$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $\vec{a}, \vec{b}$ 一定可以作为一个基底 B、 $| \vec{a} |$ 一定有最小值 C、一定存在一个实数 $m$ 使得 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ D、 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角的取值范围是 $[0, π]$

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2、“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是 $△ A B C$ 内一点， $△ B M C$ ， $△ A M C$ ， $△ A M B$ 的面积分别为 $S_{A}$ ， $S_{B}$ ， $S_{C}$ ，且 $S_{A} \cdot \vec{M A} + S_{B} \cdot \vec{M B} + S_{C} \cdot \vec{M C} = \vec{0}$ ．以下命题正确的有（）

A、若 $S_{A} : S_{B} : S_{C} = 1 : 1 : 1$ ，则M为 $△ A M C$ 的重心 B、若M为 $△ A B C$ 的内心，则 $B C \cdot \vec{M A} + A C \cdot \vec{M B} + A B \cdot \vec{M C} = \vec{0}$ C、若 $∠ B A C = 45 °$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， M为 $△ A B C$ 的外心，则 $S_{A} : S_{B} : S_{C} = \sqrt{3} : 2 : 1$ D、若M为 $△ A B C$ 的垂心， $3 \vec{M A} + 4 \vec{M B} + 5 \vec{M C} = \vec{0}$ ，则 $c o s ∠ A M B = - \frac{\sqrt{6}}{6}$

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3、已知 $△ A B C$ 中， $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ C = \frac{π}{4}$ ， AD为BC上的高，垂足为 $D$ ，点 $E$ 为AB上一点，且 $A E = 2 E B$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{C E} =$ （）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $- \frac{8}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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4、给定平面上的一组向量 $\vec{e_{1}}$ 、 $\vec{e_{2}}$ ，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（）

A、 $2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 和 $\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ B、 $\vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ 和 $\vec{e_{2}} + 3 \vec{e_{1}}$ C、 $3 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ 和 $2 \vec{e_{2}} - 6 \vec{e_{1}}$ D、 $\vec{e_{1}}$ 和 $\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$

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5、在 $△ A B C$ 中， $B C = 1 ， ∠ A = 6 0^{∘}$ ， $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{A B}, \vec{C E} = \frac{1}{2} \vec{C D}$ ，记 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{A E} =$ ；若 $\vec{B F} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的最大值为．

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6、在边长为1的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为线段 $C D$ 的三等分点， $C E = \frac{1}{2} D E, \vec{B E} = λ \vec{B A} + μ \vec{B C}$ ，则 $λ + μ =$ ； $F$ 为线段 $B E$ 上的动点， $G$ 为 $A F$ 中点，则 $\vec{A F} \cdot \vec{D G}$ 的最小值为．

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7、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (3,4), \overset{⃑}{b} = (1,0), \overset{⃑}{c} = \overset{⃑}{a} + t \overset{⃑}{b}$ ，若 $< \overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{c} > = < \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{c} >$ ，则 $t =$ （）

A、 $- 6$ B、 $- 5$ C、5 D、6

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8、已知向量 $\vec{a} = (1, 1), \vec{b} = (1, - 1)$ ，若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + μ \vec{b})$ ，则（）

A、 $λ + μ = 1$ B、 $λ + μ = - 1$ C、 $λ μ = 1$ D、 $λ μ = - 1$

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9、设向量 $\vec{a} = (x + 1, x), \vec{b} = (x, 2)$ ，则（）

A、“ $x = - 3$ ”是“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”的必要条件 B、“ $x = - 3$ ”是“ $\vec{a} / / \vec{b}$ ”的必要条件 C、“ $x = 0$ ”是“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”的充分条件 D、“ $x = - 1 + \sqrt{3}$ ”是“ $\vec{a} / / \vec{b}$ ”的充分条件

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10、如图所示，已知 $△ A B C$ 满足 $B C = 8, A C = 3 A B$ ， $P$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点.定义点集 $D = {P | \vec{A P} = 3 λ \vec{A B} + \frac{1 - λ}{3} \vec{A C}, λ \in R}$ .若存在点 $P_{0} \in D$ ，使得对任意 $P \in D$ ，满足 $| \vec{A P} | \geq | \vec{A P_{0}} |$ 恒成立，则 $| \vec{A P_{0}} |$ 的最大值为.

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11、“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是 $△ A B C$ 内一点， $△ B M C$ ， $△ A M C$ ， $△ A M B$ 的面积分别为 $S_{A}$ ， $S_{B}$ ， $S_{C}$ ，且 $S_{A} \cdot \vec{M A} + S_{B} \cdot \vec{M B} + S_{C} \cdot \vec{M C} = \vec{0}$ ．以下命题正确的有（）

A、若 $S_{A} : S_{B} : S_{C} = 1 : 1 : 1$ ，则M为 $△ A M C$ 的重心 B、若M为 $△ A B C$ 的内心，则 $B C \cdot \vec{M A} + A C \cdot \vec{M B} + A B \cdot \vec{M C} = \vec{0}$ C、若 $∠ B A C = 45 °$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， M为 $△ A B C$ 的外心，则 $S_{A} : S_{B} : S_{C} = \sqrt{3} : 2 : 1$ D、若M为 $△ A B C$ 的垂心， $3 \vec{M A} + 4 \vec{M B} + 5 \vec{M C} = \vec{0}$ ，则 $c o s ∠ A M B = - \frac{\sqrt{6}}{6}$

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12、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = 2 \sqrt{3}$ ，若对于任意实数x ，都有 $| \vec{b} - x \vec{a} | \geq | \vec{b} - \vec{a} |$ 成立，且 $| \vec{c} - \vec{a} | \leq 1$ ，则 $\vec{b} \cdot \vec{c}$ 的最大值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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13、如图，D为 $△ A B C$ 内部一点， $D E ⊥ B C$ 于E ， $A B = A D$ .请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立.① $\vec{C E} = 3 \vec{E B}$ ；② $s i n (B + C) = \sqrt{2} (s i n B - s i n C)$ ；③ $\frac{A D}{D E} + \frac{D E}{A D} + \sqrt{2} = \frac{A E^{2}}{A D \cdot D E}$ .

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14、在四边形 $A B C D$ 中， $\vec{B C} = 2 \vec{A D}$ ，点 $P$ 是四边形 $A B C D$ 所在平面上一点，满足 $\vec{P A} + 10 \vec{P B} + \vec{P C} + 10 \vec{P D} = \vec{0}$ .设 $s, t$ 分别为四边形 $A B C D$ 与 $△ P A B$ 的面积，则 $\frac{t}{s} =$ .

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15、如图所示，在正六边形 $A B C D E F$ 中，下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A C} - \vec{A E} = \vec{B F}$ B、 $\vec{A C} + \vec{A E} = \frac{3}{2} \vec{A D}$ C、 $\vec{A D} \cdot \vec{A B} = | \vec{A B} |^{2}$ D、 $\vec{A D}$ 在 $\overset{⇀}{A B}$ 上的投影向量为 $\overset{⇀}{A B}$

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16、已知 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 为两个不共线的单位向量，则（）

A、 $(\vec{a} + \vec{b}) / / \vec{a}$ B、 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ C、若 $⟨ \vec{a}, \vec{b} ⟩ = \frac{π}{3}$ ，则 $⟨ \vec{a} - \vec{b}, \vec{b} ⟩ = \frac{π}{3}$ D、若 $⟨ \vec{a} + \vec{b}, \vec{a} ⟩ = \frac{π}{4}$ ，则 $⟨ \vec{a}, \vec{b} ⟩ = \frac{π}{2}$

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17、在 $△ A B C$ 中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点．

(1)、分别用向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{A D}$ 表示向量 $\vec{A C}$ ， $\vec{B E}$ ；

(2)、若点N满足 $4 \vec{A N} + 2 \vec{A B} = 3 \vec{A C}$ ，证明：B ， N ， E三点共线．

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18、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b = 4$ ， $A = \frac{π}{3}$ ．

(1)、 $A D$ 是 $B C$ 边上的中线，若 $A D = \sqrt{7}$ ，求 $c$ 的值；

(2)、若 $a = 4 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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19、已知圆 $C : x^{2} - 2 x + y^{2} - 3 = 0$ ，过点 $T (2, 0)$ 的直线l交圆C于A ， B两点，点P在圆C上，若 $C P ∥ A B$ ， $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \frac{1}{2}$ ，则 $| A B | =$ 。

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20、若平面四边形 $A B C D$ 满足 $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{0}$ ， $(\vec{A B} - \vec{A D}) \cdot \vec{A C} = 0$ ，则该四边形一定是.

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