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相关试卷

1、已知 $m > 0$ ， $n > 0$ ，关于 $x$ 的不等式 $(2 m + t) x^{2} - (n - t) x - 1 < 0$ 的解集为 $(- 1, \frac{1}{3})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $2 m + n = 1$ B、 $m n$ 的最大值为 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{m} + \frac{m}{n}$ 的最小值为4 D、 $\frac{1}{m + 1} + \frac{1}{n + 2}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$

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2、享有“数学王子”称号的高斯是德国著名的数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家．以他的名字命名的函数 $f (x) = [x]$ 为“高斯函数”，也叫做取整函数．它的函数值表示不超过 $x$ 的最大整数．例如， $[0.5] = 0$ ， $[2.3] = 2$ ．下列说法正确的是（）

A、 $f (- 1.3) = - 1$ B、若 $f (a) = f (b)$ ，则 $|a - b| < 1$ C、函数 $g (x) = x - [x]$ 的值域是 $[0, 1)$ D、不等式 ${[x]}^{2} - [x] - 2 < 0$ 的解集为 ${x ∣ 0 \leq x < 2}$

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3、下列说法错误的是( ).

A、函数 $f (x + 1)$ 的定义域为 $[- 2, 2)$ ，则函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 1, 3)$ B、函数 $y = \frac{x^{2} + 3 x + 3}{x + 1} (x > - 1)$ 的最小值为3 C、 $f (x) = \frac{x^{2}}{x}$ 和 $g (x) = x$ 表示同一个函数 D、函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}$ 在 $(- 2, 0) \cup (0, 2)$ 上单调递减

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4、定义非空数集 $M$ 的“和睦数 $H$ ”如下：将 $M$ 中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果．例如，集合 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 的“和睦数”是 $5 + 4 - 3 + 2 - 1 = 7$ ， $\{2, 4\}$ 的“和睦数”是 $4 + 2 = 6$ ， $\{1\}$ 的“和睦数”是1．对于集合 $A = \{n |\frac{6 - n}{n} \in N, n \in N}$ ，其所有子集的“和睦数”的总和为（）

A、82 B、74 C、12 D、70

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5、数学来源于生活，又服务于生活．钦钦和莎莎均两次购买同一种文娱用品时，钦钦不考虑物品价格的升降，每次购买这种学习用品的数量一定；莎莎不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．假设所购物品的价格发生波动，则（）

A、两位中省钱小能手是钦钦 B、两位中谁是省钱小能手与价格升降有关 C、两位中省钱小能手是莎莎 D、两位中谁是省钱小能手与购买数量有关

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6、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (1 - x) = f (3 + x)$ ，且在 $(- \infty, 2]$ 上单调递增， $a = f (π)$ ， $b = f (\sqrt{3})$ ， $c = f (0)$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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7、定义：函数 $M (x) = max {f (x) ， g (x)}$ ，即 $M (x)$ 表示函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的较大者．已知函数 $f (x) = x^{2} - 2$ ， $g (x) = x + 4$ ，则 $M (x)$ 的最小值为（）

A、0 B、7 C、4 D、2

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8、已知命题 $p$ ：关于 $x$ 的不等式 $(a - 1) x^{2} - a x + a + 1 \geq 0$ 的解集为 $R$ ．那么，其成立的一个必要不充分条件是（）

A、 $a > 1$ B、 $a \geq \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \leq a \leq \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $a < - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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9、命题“实数不都是有理数”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x \notin Q$ B、 $\exists x \in R$ ， $x \in Q$ C、 $\forall x \in R$ ， $x \in Q$ D、 $\forall x \in R$ ， $x \notin Q$

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10、已知集合 $A = \{x ∣ y = \sqrt{x - 1}\}$ ， $B = \{y ∣ y = \sqrt{x + 1}\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $\emptyset$ D、 $[- 1, + \infty)$

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11、若幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 1) x^{m - \frac{1}{3}}$ 为偶函数，则 $m$ 的值为（）

A、-2或1 B、-2 C、1 D、多个取值

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12、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ．左顶点为 $A$ ，下顶点为 $B ， C$ 是线段 $O B$ 的中点（O为原点）， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆的方程．

(2)、过点C的动直线与椭圆相交于 $P ， Q$ 两点．在 $y$ 轴上是否存在点 $T$ ，使得 $\vec{T P} \cdot \vec{T Q} \leq 0$ 恒成立．若存在，求出点 $T$ 纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．

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13、若函数 $f (x)$ 在定义域 $[a, b]$ 上的值域为 $[f (a), f (b)]$ ，则称 $f (x)$ 为“ $Ω$ 函数”．已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 5 x, 0 \leq x \leq 2 \\ x^{2} - 4 x + m, 2 < x \leq 4 \end{cases}$ 是“ $Ω$ 函数”，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[4, 10]$ B、 $[4, 14]$ C、 $[10, 14]$ D、 $[10, + \infty)$

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14、如图（1），已知菱形 $A B C D$ 中 $A B = 2$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，沿对角线 $B D$ 将其翻折，使 $∠ A B C = 90 °$ ，设此时 $A C$ 的中点为 $O$ ，如图（2）.

(1)、求证：点 $O$ 是点 $D$ 在平面 $A B C$ 上的射影；

(2)、求直线 $A D$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值.

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15、如图，在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对边长分别为 $a ， b ， c ， ∠ B = \frac{π}{4}$ ，满足 $(a + b) (sin A - sin B) = c (sin B + sin C)$ .

(1)、求 $∠ A$ ；

(2)、点 $D$ 在 $B C$ 上， $A D ⊥ A C ， A D = \sqrt{6}$ ，求 $A B$ .

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16、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的正三角形，BC＝AB＝2AD，AD $/ /$ BC，AB⊥BC，设平面PAB∩平面PCD＝l.

(1)、作出l（写出作法，并保留作图痕迹）；

(2)、线段PB上是否存在一点E，使l $/ /$ 平面ADE？请说明理由.

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17、已知复数 $z_{1} = 1 + 2 i ， z_{2} = 3 - 4 i$ 对应的向量分别为 $\vec{O A}$ 和 $\vec{O B}$ ，其中 $O$ 为复平面的原点.

(1)、若复数 $z_{1} + λ z_{2}$ 在复平面内对应的点在第二象限，求实数 $λ$ 的取值范围；

(2)、求 $\vec{O A}$ 在 $\vec{O B}$ 上的投影向量.

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18、如图，圆柱形开口容器 $（$ 下表面密封 $）$ ，其轴截面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形.现有一只蚂蚁从外壁 $A$ 处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到 $B C$ 中点 $P$ 处，则它所需经过的最短路程为.

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19、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边.已知a＝2，2sinB+2sinC＝3sinA.则cosA的最小值为.

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20、复数 $z = a + b i ， a ， b \in R$ ，且 $b \neq 0$ ，若 $z^{2} - 4 b z$ 是实数，则有序实数对 $(a ， b)$ 可以是．（写出一个有序实数对即可）

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