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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x ∣ 9 - x > 2\}, B = \{x ∣ x ⩾ 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[3, 7)$ B、 $(3, 7)$ C、 $[3, + \infty)$ D、 $(7, + \infty)$

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2、“ $x = 5$ ”是“ $\sqrt{x} = \sqrt{5}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、已知四个点 $P_{1} (1, 1), P_{2} (0, \sqrt{3}), P_{3} (- 1, \frac{3}{2}), P_{4} (1, \frac{3}{2})$ 中恰有三个点在椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上.

(1)、判断哪个点不在椭圆 $C$ 上，并求出椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设椭圆 $C$ 的左右顶点分别是 $A$ 、 $B$ ，点 $P$ 是直线 $x = 4$ 上一点，直线 $P A$ 、 $P B$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点分别为 $M$ 、 $N$ ，求证：直线 $M N$ 过定点.

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D, A B ⊥ A D, A D / /$ $B C$ ， $P A = B C = 3, A B = A D = 2$ ， $P B = \sqrt{13} . E$ 为 $P D$ 中点，点 $F$ 在 $P C$ 上，且 $P C = 3 F C$ .

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求二面角 $F - A E - D$ 的余弦值；

(3)、线段 $A C$ 上是否存在点 $Q$ ，使得 $D Q / /$ 平面 $F A E$ ？说明理由.

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5、公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中 $A (- 2, 0), B (1, 0)$ 且 $|P A| = 2 |P B|$ .

(1)、求点P的轨迹方程；

(2)、若点P在（1）的轨迹上运动，点M为AP的中点，求点M的轨迹方程；

(3)、若点 $P (x, y)$ 在（1）的轨迹上运动，求 $t = \frac{y + 4}{x - 6}$ 的取值范围.

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6、为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为 $\frac{4}{5}$ ， $\frac{3}{5}$ ；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{3}{4}$ ，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.

(1)、甲在比赛中恰好赢一轮的概率；

(2)、若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.

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7、在平面直角坐标系中，已知三点 $A (- 3, 4), B (3, 2), C (1, 0)$ .

(1)、若直线 $l_{1}$ 过点 $C (1, 0)$ 且与直线BC垂直，求直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{2}$ 经过点 $A$ ，且在 $x$ 轴上的截距是 $y$ 轴上截距的 $2$ 倍，求直线 $l_{2}$ 的方程.

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8、已知 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，若圆 ${(x - a - 1)}^{2} + {(y - 3 a + 2)}^{2} = 4$ 上存在点P满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 5$ ，则 $a$ 的取值范围是

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9、在一个建筑工地上，有一个用来储存材料的圆台形容器．已知该圆台形容器的上底面圆的直径是6米，下底面圆的直径是12米，母线长为5米，不考虑该圆台形容器壁的厚度，则该圆台形容器的容积是立方米．

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10、已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 5, \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ .

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11、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为 $2, M N$ 为正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内切球 $O$ 的直径，点 $P$ 为正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 表面上一动点，则下列说法正确的是（）

A、当 $P$ 为 $B C$ 中点时， $A B_{1}$ 与 $D P$ 所成角余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、当 $P \in$ 面 $B C C_{1} B_{1}, V_{P - A C D_{1}} = \frac{4}{3}$ 时，点 $P$ 的轨迹长度为 $2 \sqrt{2}$ C、 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围为 $[0, 2]$ D、 $A M$ 与 $A C_{1}$ 所成角的范围为 $[0, \frac{π}{3}]$

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12、下面四个结论不正确的是（）

A、已知 $\vec{a} = (1, 1, x)$ ， $\vec{b} = (- 3, x, 9)$ ，若 $x < \frac{3}{10}$ ，则 $\vec{a} 和 \vec{b}$ 的夹角为钝角 B、已知 $\vec{a} = (2, 0, - 1)$ ， $\vec{b} = (3, - 2, 5)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量是 $(\frac{2}{5}, 0, - \frac{1}{5})$ C、若直线 $a x + b y + c = 0$ 经过第三象限，则 $a b > 0$ ， $b c < 0$ D、设 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间向量的一组基底，则 $\{\vec{a} - \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{a} + \vec{c}\}$ 也是空间向量的一组基底

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13、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $2 c$ ，若直线 $k x - 3 y + (k + 8) c = 0$ 恒与椭圆 $Γ$ 有两个不同的公共点，则椭圆 $Γ$ 的离心率范围为（）

A、 $(0, \frac{1}{3})$ B、 $(0, \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{3}, 1)$ D、 $(\frac{1}{2}, 1)$

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14、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $(3 a + b) \cos C + c \cos B = 0$ ，且 $c^{2} - a^{2} - b^{2} = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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15、已知正三棱锥 $S - A B C$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上，棱锥的底面是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的正三角形，侧棱长为 $2 \sqrt{5}$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $10 π$ B、 $25 π$ C、 $100 π$ D、 $125 π$

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16、已知点 $D$ 在 $△ A B C$ 确定的平面内， $O$ 是平面 $A B C$ 外任意一点，正数 $x, y$ 满足 $\vec{D O} = x \vec{O A} + 2 y \vec{O B} - 3 \vec{O C}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $1$ D、 $2$

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17、在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生 $1 \sim 5$ 之间的随机数，当出现 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下：
423   123   423   344   114   453   525   332   152   342
534   443   512   541   125   432   334   151   314   354
则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（     ）

A、0.35 B、0.55 C、0.6 D、0.65

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18、“ $a = 3$ ”是“直线 $l_{1} : (a - 1) x + 2 y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : 3 x + a y - 1 = 0$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、已知 $m, n$ 表示两条不同直线， $α$ 表示平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m ∥ α$ ， $n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m ∥ α$ ， $m 丄 n$ ，则 $n ⊥ α$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ∥ n$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n ∥ α$

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20、已知复数 $z (2 - i) = 4 + 3 i$ ，则 $z$ 的共轭复数是（）

A、 $1 + 2 i$ B、 $- 1 + 2 i$ C、 $1 - 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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