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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1, - 3)$ ， $\vec{b} = (λ, 2, μ)$ ，若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线，则 $λ - μ =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 10$ D、10

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2、某研究所进行新型作物种植实验，已知在第一次的试种中，种植300株植物，存活180株，由此估计，若试种2000株该植物，则可存活（）

A、1000株 B、1200株 C、1500株 D、1800株

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3、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上有不共线的三点 $A 、 B 、 C$ ，且 $A B 、 B C 、 A C$ 的中点分别为 $D$ ､ $E 、 F$ ，若 $O D 、 O E 、 O F$ 的斜率之和为 $- 2$ ，则 $\frac{1}{k_{A B}} + \frac{1}{k_{B C}} + \frac{1}{k_{A C}} =$ .

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4、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上的一点，则 $|P F_{1}| \cdot (|P F_{2}| + 2)$ 的最大值为.

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5、一个袋子中有红､黄､蓝､绿四个小球，有放回地从中任取一个小球，将“三次抽取后，红色小球，黄色小球都取到”记为事件M，用随机模拟的方法估计事件M发生的概率.利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表红､黄､蓝､绿四个小球，以每三个随机数为一组，表示取小球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
110
321
230
023
123
021
132
220
001
231
130
133
231
031
320
122
103
233
由此可以估计事件M发生的概率为.

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6、如图，设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点，点 $P$ 是以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长 $P F_{2}$ 与椭圆交于点 $Q$ ，若 $| P F_{1} | = 4 | Q F_{2} |$ ，则直线 $P F_{2}$ 的斜率为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $1$

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7、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为线段 $D D_{1}$ 的中点， $F$ 为线段 $B B_{1}$ 的中点.直线 $F C_{1}$ 到平面 $A B_{1} E$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (m > 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{n} - y^{2} = 1 (n > 0)$ 有共同的焦点，则直线 $m x + n y = 1$ 必过定点（）

A、 $(\frac{1}{5}, - \frac{1}{5})$ B、 $(\frac{1}{3}, - \frac{1}{3})$ C、 $(1, - 1)$ D、 $(3, - 3)$

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9、高考结束后，为了分析该校高三年级1000名学生的高考成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法中正确的是（）

A、100名学生是个体 B、样本容量是100 C、每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D、1000名学生是样本

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10、已知函数 $y = a^{x - 3} - 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图像过定点 $(s, t)$ ，正实数 $m$ ， $n$ 满足 $m s - n t = 1$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{3}{n}$ 的最小值为.

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11、函数 $f (x) = \frac{3 \cos x + 1}{x}$ 的部分图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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12、已知函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，对任意 $x \in R$ ，都有 $f (2 - x) = f (x) + f (2)$ 成立，则 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2024) =$ （）

A、4 B、2 C、 $- 2$ D、0

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13、已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数， $x \geq 0$ 时 $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则 $f ({log}_{\frac{1}{2}} 3) =$ （）

A、2 B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- 2$

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14、设集合 $A = \{x |\frac{x - 1}{x} \leq 0\}$ ， $B = \{x |3 x^{2} - 7 x \leq 10\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(0, \frac{10}{3})$ C、 $[0, 1]$ D、 $(0, 1]$

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15、如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ b ＞ 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 $F_{1}, F_{2}$ 为顶点的三角形的周长为 $4 (\sqrt{2} + 1)$ .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 $P$ 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 $P F_{1}$ 和 $P F_{2}$ 与椭圆的交点分别为 $A 、 B$ 和 $C 、 D$ .
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线 $P F_{1}$ 、 $P F_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，证明 $k_{1} · k_{2} = 1$ ；
（Ⅲ）是否存在常数 $λ$ ，使得 $|A B| + |C D| = λ |A B| · |C D|$ 恒成立？若存在，求 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由.

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16、如图1，在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别为 $A B$ ， $A C$ 的中点， $O$ 为 $D E$ 的中点， $A B = A C =2 \sqrt{5}$ ， $B C =4$ ．将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ A_{1} D E$ 的位置，使得平面 $A_{1} D E ⊥$ 平面 $B C E D$ ，如图2．

(1)、求证： $A_{1} O ⊥ B D$ ；

(2)、求直线A₁E和平面A₁OC所成角的正弦值；

(3)、线段 $A_{1} C$ 上是否存在点 $F$ ，使得直线 $D F$ 和 $B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ？若存在，求出 $\frac{A_{1} F}{A_{1} C}$ 的值；若不存在，说明理由．

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17、已知点 $P (1, m)$ 在抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上， $F$ 为焦点，且 $|P F| = 3$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $T (4, 0)$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点，求 $\overset{⃑}{O A} \cdot \overset{⃑}{O B}$ 的值.

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18、设等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，已知a₃=12，且S₁₂>0，S₁₃<0.
（1）求公差d的取值范围；
（2）问前几项的和最大，并说明理由.

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19、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 8$ 内有一点 $P (- 1, 2)$ ，直线过点P且和圆C交于A，B两点，直线l的倾斜角为 $α$ .

(1)、当 $a = 135 °$ 时，求 $A B$ 的长；

(2)、当弦 $A B$ 被点P平分时，求直线l的方程.

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20、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是 $C$ 上的点， $P F_{2} ⊥ x$ 轴， $∠ P F_{1} F_{2} = 30 °$ ，则椭圆 $C$ 的离心率等于．

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