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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 5 - 2^{|x - 2|}, (x \geq 0) \\ \frac{2 x + 3}{x + 1}, (x < 0) \end{matrix}$ ，若函数 $g (x) = f^{2} (x) - (m + 2) |f (x)| + 2 m$ 有7个不同的零点，则实数m的取值范围为（）

A、 $(1, 2] \cup [3, 4)$ B、 $(1, 2] \cup (3, 4)$ C、 $(2, 3) \cup (4, + \infty)$ D、 $(4, + \infty)$

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x + \frac{2 m - 1}{x}, x \geq 1 \\ (m + 1) x - 1, x < 1 \end{matrix}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数m的取值范围为（）

A、 $(- 1, 0]$ B、 $[0, 1]$ C、 $[0, \frac{1}{2}]$ D、 $[0, + \infty]$

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3、已知 $\cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $\cos (2 α - \frac{2 π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4、函数 $f (x) = \frac{\ln |x|}{e^{x} - e^{- x}}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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5、设a是不等于1的正数，则“ $a > 2$ ”是“ $\log_{a} 2 < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、函数 $f (x) = \ln x + x - 7$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(3, 4)$ B、 $(4, 5)$ C、 $(5, 6)$ D、 $(6, 7)$

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7、函数 $f (x) = tan 2 x$ 的最小正周期等于（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π$ C、 $\frac{3 π}{2}$ D、 $2 π$

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8、已知 $a b \neq 0$ ，则“ $a > b$ ”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M, N$ 分别在线段 $A D_{1}$ 和 $B_{1} C_{1}$ 上，则下列结论中错误的结论（）

A、 $M N$ 的最小值为2 B、四面体 $N M B C$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ C、有且仅有一条直线 $M N$ 与 $A D_{1}$ 垂直 D、存在点 $M, N$ ，使 $△ M B N$ 为等边三角形

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10、布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔．该理论中有如下定义：对于函数 $f (x)$ ，若其定义域中存在一个 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，那么我们称该函数为“不动点函数”，而称 $x_{0}$ 为该函数的一个“不动点”．现新定义：若 $x_{0}$ 满足 $f (x_{0}) = - x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的“次不动点”．

(1)、判断函数 $f (x) = x^{2} - 6$ 是否是不动点函数，若是，求出其不动点，若不是，请说明理由；

(2)、已知函数 $g (x) = 2 x \sin x$ ，若非零实数a是 $g (x)$ 在 $x \in (- 1, 1)$ 内的次不动点，求a的值；

(3)、若函数 $h (x) = \log_{\frac{1}{2}} (4^{x} - b \cdot 2^{x})$ 在 $[0, 1]$ 上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b的取值范围．

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11、函数 $f (x) = \cos (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、若 $α \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{12}]$ ， $f (α) = \frac{2}{3}$ ，求 $f (α + \frac{π}{6})$ 的值．

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12、已知函数 $f (x) = m x^{2} - (m + 2) x + 2$ ， $m \in R$ ．

(1)、若 $f (x) \geq 0$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、解关于x的不等式 $f (x) \geq 0$ ．

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13、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $2 x + y = 1$ ．

(1)、求xy的最大值；

(2)、求 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值．

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14、如图，平行于 $y$ 轴的直线分别与函数 $y_{1} = \log_{2} x$ 及 $y_{2} = \log_{2} x + 2$ 的图像交于点 $B$ 和 $C$ ，点 $A (m, n)$ 为函数 $y_{2}$ 图像上一点．若 $△ A B C$ 为正三角形，则 $2^{n} =$ ．

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15、已知 $\sin 2 α = \frac{3}{4}$ ，则 $\cos^{2} (α + \frac{π}{4}) =$ ．

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16、已知函数 $f (x) = (m^{2} + m - 1) x^{m}$ 是幂函数，且该函数是奇函数，则 $m$ 的值是．

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17、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，对称中心是 $(1, 0)$ ，且满足 $f (x + 1) = f (3 - x)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (3) = 0$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 C、 $f (x + 1) - f (x - 1) = 0$ D、若函数 $g (x)$ 满足 $g (x) + f (x + 3) = 2$ ，则 $g (1) + g (2) + \dots + g (2024) = 2024$

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18、下列计算或化简结果正确的是（）

A、若 $\sin α \cos α = \frac{1}{2}$ ，则 $\tan α + \frac{\cos α}{\sin α} = 2$ B、若 $\tan α = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{2 \sin α}{\cos α - \sin α} = 2$ C、若 $\sin α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $\tan α = 2$ D、若 $α$ 为第二象限角，则 $\frac{\cos α}{\sqrt{1 - \sin^{2} α}} + \frac{\sin α}{\sqrt{1 - \cos^{2} α}} = 0$

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19、已知函数 $f (x) = \frac{2}{x - 1}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的定义域是 $(- \infty, 1) \cup (1, + \infty)$ B、 $f (x)$ 的值域是R C、 $f (x + 1)$ 是奇函数 D、 $f (x)$ 在 $(- \infty, 1)$ ， $(1, + \infty)$ 上单调递减

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20、设函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 在区间 $(0, π)$ 恰有三个最值点和两个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{7}{4}, \frac{9}{4})$ B、 $[\frac{7}{4}, \frac{13}{4})$ C、 $(\frac{9}{4}, \frac{11}{4}]$ D、 $(\frac{9}{4}, \frac{13}{4}]$

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