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相关试卷

1、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $A A_{1} = 2$ ，其外接球的体积为 $36 π$ ，则此长方体的表面积为.

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2、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $\forall x \in R$ ，都有 $f (- 3 + x) + f (- 1 - x) = 0$ ， $f (- \frac{3}{2} + x) = f (- \frac{1}{2} - x)$ ， $f (- 5) = - 2$ ， $f (\frac{7}{2}) = - \frac{3}{4}$ ，当 $x \in [- 1, 0]$ 时， $f (x) =$ $a x^{2} + b x$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- 2, 0)$ 对称 B、 $f (1) = 2$ C、 $f (2023) + f (2024) + f (2025) = 2$ D、函数 $f (x)$ 与函数 $y = | \ln | x | |$ 的图象有8个不同的公共点

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3、如图，若长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是边长为2的正方形，高为 $4, E$ 是 $D D_{1}$ 的中点，则正确的是（）

A、 $B_{1} E ⊥ A_{1} B$ B、平面 $B_{1} C E / /$ 平面 $A_{1} B D$ C、三棱锥 $C_{1} - B_{1} C E$ 的体积为 $\frac{8}{3}$ D、三棱锥 $C_{1} - B_{1} C D$ 的外接球的表面积为 $24 π$

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4、下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（）

A、这10年粮食年产量的极差为16 B、这10年粮食年产量的第70百分位数为35 C、这10年粮食年产量的平均数为33.7 D、前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差

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5、已知 $a > 0$ 、 $b > 0$ ，直线 $l_{1} : x + (a - 4) y + 1 = 0$ ， $l_{2} : 2 b x + y - 2 = 0$ ，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{2 b}$ 的最小值为（）

A、 $2$ B、 $4$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6、一个暗箱中装有若干个大小相同的红球、白球和黑球，每次从中摸出1个球，直到摸出的球有三种颜色为止，若小明第4次摸球后终止摸球，则他摸球的情形有（）

A、9种 B、12种 C、18种 D、24种

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7、已知复数 $z$ 满足 $z (1 + 2 i) = 5$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 2$ B、5 C、 $- 2 i$ D、2

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8、下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（）

A、 $f (x) = \frac{x^{2} - 2}{x - \sqrt{2}}$ 与 $g (x) = x + \sqrt{2}$ B、 $f (x) = \frac{1}{2} {log}_{3} x^{2}$ 与 $g (x) = {log}_{3} x$ C、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ 与 $g (x) = x$ D、 $f (x) = \sqrt[3]{{(x - 1)}^{3}}$ 与 $g (x) = x - 1$

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9、已知集合 $A = \{x |- x^{2} + x \geq 0\}$ ， $B = \{x |x - 1 < 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）.

A、 $\{x |x < 1\}$ B、 $\{x |x \leq 1\}$ C、 $\{x |0 \leq x < 1\}$ D、 $\{x |0 \leq x \leq 1\}$

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10、已知函数 $f (x) = \log_{a} \frac{2 + 3 x}{2 - 3 x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的定义域，判断 $f (x)$ 的奇偶性并给出证明；

(2)、若 $f (2 m - 1) + f (3 m - 2) < 0$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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11、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $A B = 8$ ， $C D = 3$ ， $A D = 6$ ， $E$ 在线段 $B C$ 上．

(1)、若 $C E = 2 E B$ ，用向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{A D}$ 表示 $\vec{C B}$ ， $\vec{A E}$ ；

(2)、若AE与BD交于点F， $\vec{D F} = x \vec{D B} (0 < x < 1)$ ， $\cos ∠ D A B = \frac{1}{3}$ ， $|\vec{C F}| = 2 \sqrt{2}$ ，求 $x$ 的值．

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12、如图，在高为2的正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2, D$ 是棱 $A B$ 的中点．

(1)、求该正三棱柱的体积；

(2)、求三棱锥 $D - A_{1} B_{1} C$ 的体积；

(3)、设 $E$ 为棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点， $F$ 为棱 $B B_{1}$ 上一点，求 $A F + E F$ 的最小值．

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13、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 ${sin}^{2} A + {sin}^{2} B < {sin}^{2} C$ ．

(1)、证明： $△ A B C$ 为钝角三角形．

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{7}}{4}, sin C = \frac{3 \sqrt{7}}{8}, c = 3$ ，求 $a, b$ ．

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14、若函数 $f (x) = |2^{x} - 3| - 1 - m$ 只有1个零点，则 $m$ 的取值范围是．

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15、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (1, λ)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ =$ ；若 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{π}{4}$ ，则 $|\vec{b}| =$ ．

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16、函数 $f (x) = {cos}^{2} x + \frac{1}{2 {cos}^{2} x}$ 是（填入“奇”或“偶”或“非奇非偶”）函数，当 $f (x)$ 取得最小值时， $cos 2 x =$ ．

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17、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D, A D ⊥ A B, C D = 2, A D = 4, A B = 5, E, F$ 分别在线段 $A D, A B$ 上，且线段 $D E$ 与线段 $B F$ 的长度相等，则（）

A、 $\vec{C E} \cdot \vec{C F}$ 的最小值为 $- 4$ B、 $\vec{C E} \cdot \vec{C F}$ 的最大值为18 C、 $\vec{C E} \cdot \vec{E F}$ 的最大值为 $- 1$ D、 $△ C E F$ 的面积的最大值为 $\frac{41}{8}$

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18、已知复数 $z = \frac{6 + 8 i}{1 - 3 i}$ 则（）

A、 $\bar{z}$ 的虚部为 $- \frac{13}{5}$ B、 $|z| = \sqrt{10}$ C、 $z - 2 i$ 为实数 D、 $z + \frac{9}{5}$ 为纯虚数

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19、在高为3的正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} = 4$ ，且上底面的面积为 $\sqrt{3}$ ，则（）

A、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的下底面的面积为 $4 \sqrt{3}$ B、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的下底面的面积为 $3 \sqrt{3}$ C、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $7 \sqrt{3}$ D、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $8 \sqrt{3}$

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20、永丰文塔位于湖南省双峰县城永丰镇，修建于清朝同治年间，巍巍七层文塔，塔形呈六角形，塔底用高达五尺八寸的青条石奠基，永丰文塔与双峰书院遥相呼应，象征双峰文运昌隆．如图，某测绘小组为了测量永丰文塔的实际高度 $A B$ ，选取了与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C, D$ ，现测得 $∠ C B D = 120 °, ∠ B D C = 47 °, C D = 10 \sqrt{3} m$ ，在点 $C$ 测得塔顶A的仰角为 $71.6 °$ ，则塔高 $A B =$ （）（取 $tan 71.6 ° = 3$ ， $sin 47 ° = 0.73$ ）

A、 $44.3 m$ B、 $44.1 m$ C、 $43.6 m$ D、 $43.8 m$

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