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相关试卷

1、函数 $f (x)$ 的定义域为 $(a, b)$ ，导函数 $f^{'} (x)$ 在 $(a, b)$ 内的图象如图所示，则（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上只有一个极小值点 B、函数 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上有两个极大值点 C、函数 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上可能没有零点 D、函数 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上一定不存在最小值

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2、若 $m > 1, n > 1$ ，且 $\frac{m + 1}{e^{m}} = \frac{n + 2}{e^{n} + 1}$ ，则（）

A、 $lg m > lg n$ B、 $lg m < lg n$ C、 ${(m - 2)}^{2} < {(n - 2)}^{2}$ D、 ${(m - 2)}^{2} > {(n - 2)}^{2}$

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3、某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数 $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}$ （例如01001），其中 $a_{k} (k = 1, 2, 3, 4, 5)$ 出现0的概率为 $\frac{1}{3}$ ，出现1的概率为 $\frac{2}{3}$ ，记 $X = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}$ ，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（）

A、 $P (X = 1) = \frac{2}{243}$ B、 $E (X) = \frac{5}{3}$ C、 $D (X) = \frac{10}{3}$ D、五位二进制数 $10100$ 与 $10001$ 出现的概率相同

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4、曲线 $y = x cos \frac{x}{2}$ 在点 $(π, 0)$ 处的切线方程为（）

A、 $π x + 2 y - π^{2} = 0$ B、 $π x - 2 y - π^{2} = 0$ C、 $π x + y - π^{2} = 0$ D、 $π x - y - π^{2} = 0$

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5、 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则常数项为（）

A、160 B、20 C、 $- 160$ D、 $- 1120$

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6、某市共10000人参加一次物理测试，满分100分，学生的抽测成绩 $X$ 服从正态分布 $N (70, 10^{2})$ ，则抽测成绩在 $[80, 90]$ 的学生人数大约为（）
（若 $ξ \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - δ \leq ξ \leq μ + δ) = 0.6827, P (μ - 2 δ \leq ξ \leq μ + 2 δ) = 0.9545$ ）

A、1359 B、2718 C、3414 D、4773

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7、甲乙两人独立破译密码，甲能破译出密码的概率为 $\frac{1}{5}$ ，乙能破译出密码的概率为 $\frac{1}{4}$ ，则密码被成功破译的概率为（）

A、 $\frac{1}{20}$ B、 $\frac{9}{20}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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8、以下八个数据： $72, 60, 68, 63, 58, 61, 70, 71$ 的第80百分位数是（）

A、68 B、70 C、71 D、70.5

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9、18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brook Taylor）发现的泰勒公式（又称麦克劳林公式）有如下特殊形式：当 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的 $n (n \in N^{*})$ 阶导数都存在时， $f (x) = f (0) + f^{'} (0) \cdot x + \frac{f^{″} (0)}{2!} \cdot x^{2} + \frac{f^{(3)} (0)}{3!} \cdot x^{3} + \dots + \frac{f^{(n)} (0)}{n!} \cdot x^{n} + \dots$ ．其中， $f^{″} (x)$ 表示 $f (x)$ 的二阶导数，即为 $f^{'} (x)$ 的导数， $f^{(n)} (x) (n \geq 3)$ 表示 $f (x)$ 的 $n$ 阶导数．

(1)、根据公式估计 $cos \frac{1}{2}$ 的值；（结果保留两位有效数字）

(2)、由公式可得： $sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \dots + {(- 1)}^{n - 1} \frac{x^{2 n - 1}}{(2 n - 1)!} + \dots$ ，当 $x > 0$ 时，请比较 $sin x$ 与 $x - \frac{x^{3}}{6}$ 的大小，并给出证明；

(3)、已知 $n \in N^{*}$ ，证明： $\sum_{k = 1}^{n} \frac{sin (\frac{1}{n + k})}{ln (n + k + 1) - ln (n + k)} > n - \frac{1}{12 n + 9}$ ．

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10、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以8个顶点中的任意两个作为向量 $\vec{a}$ 的起点和终点.

(1)、当 $\vec{a} = \vec{A C_{1}}$ 时，求 $\vec{a} \cdot \vec{A C}$ ；

(2)、记事件 $A =$ “ $\vec{a} \cdot \vec{A C} = 0$ ”，求 $P (A)$ .

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11、已知 ${(\sqrt[3]{x} - \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式中的二项式系数之和与各项系数之和的乘积为256.

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中含 $x^{- 4}$ 项的系数.

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12、某学习小组有4个男生和3个女生.从这7人中选3人参加数学竞赛.

(1)、如果男生中的甲和女生中的乙至少要有一人在内，那么有多少种选法?

(2)、如果3人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法?

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13、已知直线 $A B$ 与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 及曲线 $y = - \frac{1}{x}$ 均相切，切点分别为 $A, B$ ，若 $|A B| = 3 \sqrt{2}$ ，则 $p =$

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14、若抛掷一枚质地均匀的骰子两次，落地时朝上的面的点数分别为 $a, b$ .设事件 $A =$ “函数 $f (x) = a - \frac{b}{2^{x} + 1}$ 为奇函数”， $B =$ “函数 $g (x) = \sin (a x + \frac{π}{b})$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上恰有一个最大值点和一个最小值点”，则 $P (B |A) =$ .

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15、已知实数x，y满足 $e^{x + y} + \frac{y}{x} = 0$ （ $e$ 为自然对数的底数， $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ ，则（）

A、当 $y < 0$ 时， $x + y = 0$ B、当 $x < 0$ 时， $x + y = 0$ C、当 $x + y \neq 0$ 时， $y - x > 2$ D、当 $x + y \neq 0$ 时， $- 1 < x y < 0$

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16、对 $\forall x \in R$ ，设 $x^{2023} = a_{1} B_{x}^{1} + a_{2} B_{x}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{k} B_{x}^{k} + \cdot \cdot \cdot + a_{2023} B_{x}^{2023}$ ，其中 $B_{x}^{k} = x (x - 1) \cdot \cdot \cdot (x - k + 1)$ ， $k = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 2023$ ，则（）

A、 $a_{1} = 1$ B、 $a_{1} + a_{2} = 2^{2033}$ C、 $\sum_{k = 2}^{2023} {(- 1)}^{k} k! a_{k} = 0$ D、 $\sum_{k = 2}^{2023} {(- 1)}^{k - 2} (k - 2)! a_{k} = 2022$

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17、满足方程 $C_{5}^{x} = C_{5}^{3}$ 的 $x$ 的值可能为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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18、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = x \sin (x + α)$ ， $α \in (0, 2 π)$ ，记 $f (x)$ 在 $[- π, π]$ 上的 $3$ 个极值点为 $x_{1}, x_{2}, x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，且 $x_{1} + x_{3} = 2 x_{2}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x + \frac{π}{2})$ 为偶函数 C、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 单调递减 D、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, 0)$ 单调递减

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19、设 $a = \frac{1}{4}$ ， $b = \frac{11^{10}}{10^{11}}$ ， $c = \ln \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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20、数学探究课上，某同学发现借助多项式运算可以更好地理解“韦达定理”.若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 为方程 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0 (a \neq 0)$ 的3个实数根，设 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3})$ ，则 $- a (x_{1} + x_{2} + x_{3})$ 为 $x^{2}$ 的系数， $a (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3})$ 为 $x$ 的系数， $- a x_{1} x_{2} x_{3}$ 为常数项，于是有 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1} = \frac{c}{a}$ ， $x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{d}{a}$ .实际上任意实系数 $n$ 次方程都有类似结论.设方程 ${(x - 1)}^{4} + {(x - 1)}^{3} - 7 {(x - 1)}^{2} + 5 = 0$ 的四个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，则（）

A、 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = - 1$ B、 $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} = - 5$ C、 $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} = 5$ D、 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 3$

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