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相关试卷

1、我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图池盆几何体是一个刍童，其中上，下底面均为正方形，且边长分别为8和4，侧面是全等的等腰梯形，且梯形的高为 $2 \sqrt{5}$ ，则该盆中最多能装的水的体积为（）

A、 $\frac{224 \sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{448}{3}$ C、 $224 \sqrt{5}$ D、448

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2、已知 $a$ ， $b$ 为实数，则“ $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ ”是“ $\frac{b + 1}{a + 1} > \frac{b}{a}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、已知一组数据4，8，9，3，3，5，7，9，则（）

A、这组数据的上四分位数为8 B、这组数据没有众数 C、这组数据的极差为5 D、这组数据的平均数为6

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4、已知函数 $f (x) = \log_{2} x$ ，给出三个条件：① $f (a_{n}) = 2^{n}$ ；② $f (a_{n}) = n - 1$ ；③ $f (a_{n}) = \frac{1}{n + 1}$ .从中选出一个能使数列 $\{a_{n}\}$ 成等比数列的条件，在这个条件下，数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} =$ .

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5、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，对任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x + 1) = f (- x)$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{4}, \frac{π}{12})$ 上单调，则 $ω$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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6、已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = {(- 1)}^{k} \frac{m (x - 1)}{x + 1} (m \in R, k \in Z)$ ， $h (x) = f (x) + g (x)$ ．

(1)、当 $m = 3$ 时，讨论函数 $h (x)$ 的单调性；

(2)、当 $k$ 为奇数时，
（ⅰ）若函数 $h (x)$ 在其定义域内是增函数，求实数 $m$ 的取值范围；
（ⅱ）设 $F (x) = x^{2} - p x + 2 - q f (x)$ （ $p$ 、 $q$ 均为实数，且 $q > 0$ ），若函数 $F (x)$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，记 $x_{0}$ 为 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ 的平均数，证明： $F^{'} (x_{0}) > 0$ （其中 $F^{'} (x)$ 是 $F (x)$ 的导函数）．

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7、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为点 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，点 $M (1, \frac{3}{2})$ 在 $E$ 上且 $M F_{2} ⊥ x$ 轴．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $A$ 、 $B$ ，若 $△ O A B$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ， $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O C}$ ，（ $O$ 为坐标原点），求 $|\vec{O C}| \cdot |\vec{A B}|$ 的最大值．

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8、已知各项均为正数的数列 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{n}$ 与1的等差中项等于 $S_{n}$ 与1的等比中项．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式以及 $S_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = \frac{a_{n} + 5}{(\sqrt{S_{n}} + 1) \cdot \sqrt{S_{n}} \cdot 2^{\sqrt{S_{n}}}} (n \in N^{*})$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ；
（ⅰ）求证： $T_{n} < 1 (n \in N^{*})$ ；
（ⅱ）若数列 $\{\frac{1}{1 - T_{n}}\} (n \in N^{*})$ 的前 $n$ 项和为 $M_{n}$ ，对任意 $n \in N^{*}$ ，均有 $λ \cdot M_{n} \geq 4 n^{2} - 14 n$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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9、如图，正方形 $A B C D$ 所在的平面与平面 $A B N M$ 垂直，点 $P$ 为 $A D$ 的中点， $A M ∥ B N$ ， $∠ A B N = 90 °$ ， $A M = A B = \frac{1}{2} B N = 2$ ．

(1)、证明： $N C / /$ 平面 $A M D$ ；

(2)、求平面 $P N C$ 与平面 $A M D$ 夹角的余弦值；

(3)、求点 $D$ 到平面 $P N C$ 的距离．

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10、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $2 a - c = 2 b \cos C$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $c = a + 1$ ， $b = \sqrt{7}$ .
（ⅰ）求 $△ A B C$ 的面积；
（ⅱ）求 $\cos (A - 2 B)$ 的值.

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11、设 $f (x)$ ， $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的两个周期函数， $f (x)$ 的周期为4， $g (x)$ 的周期为2，且 $f (x)$ 是奇函数．当 $x \in (0, 2]$ 时， $f (x) = \sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}$ ， $g (x) = \{\begin{array}{l} k (x + 2), 0 < x \leq 1, \\ - \frac{1}{2}, 1 < x \leq 2, \end{array} (k > 0)$ ．若在区间 $(0, 9]$ 上，关于 $x$ 的方程 $f (x) = g (x)$ 有5个不同的实数根，则实数 $k$ 的取值范围是．

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12、若曲线 $y = x^{n + 1} (n \in N^{*})$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线与 $x$ 轴的交点横坐标为 $x_{n}$ ，则 $\log_{2025} x_{1} + \log_{2025} x_{2} + \cdot \cdot \cdot + \log_{2025} x_{2024} =$ ．

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13、在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A F} = \frac{1}{4} \vec{A D}$ ， $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ ， $C E$ 与 $B F$ 交于点 $O$ ．设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，请用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{B F} =$ ；若 $\vec{A O} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$ ，则 $λ + μ =$ ．

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14、某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中10环的概率是；若此少年射手任取一支气枪进行4次射击（每次射击后将气枪放回），每次射击结果相互不影响，则4次射击中恰有2次射中10环的概率为．

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15、在 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{8}$ 的二项展开式中，常数项为．

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16、 $i$ 为虚数单位，若复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = - 2 i$ ，则 $z$ 的虚部为．

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17、已知双曲线 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线与抛物线 $C_{2}$ ： $x^{2} = 16 y$ 的准线相交于点 $A$ ，点 $A$ 的横坐标为 $\sqrt{2}$ ，双曲线 $C_{1}$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ．若过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交 $C_{1}$ 的左支于 $B$ ， $C$ 两点，且 $|O B| = |O F_{1}|$ （ $O$ 为坐标原点），记点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ ，则 $\frac{d}{a} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{7} + 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{7} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{17} + 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{17} - 1}{2}$

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18、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 是棱 $A B$ 上的点，且 $A M = \frac{1}{4} A B$ ．平面 $M C D_{1}$ 将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为 $V_{1}$ 和 $V_{2} (V_{1} < V_{2})$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} =$ （）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{25}{32}$ C、 $\frac{13}{41}$ D、 $\frac{7}{25}$

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19、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的两条相邻对称轴之间的距离为 $2 π$ ，现将 $f (x)$ 图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 后得到函数 $g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 在区间 $(- m, m)$ 上单调递增，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{π}{6}]$ B、 $(0, \frac{2π}{3}]$ C、 $(0, π]$ D、 $(0, \frac{4π}{3}]$

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20、设 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为函数 $f (x) = x \ln x - 1$ ， $g (x) = x e^{x} - 1$ ， $h (x) = x \sqrt{x} - 1$ 的零点，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $b < c < a$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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