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相关试卷

1、已知A是非空数集，如果对任意 $x, y \in A$ ，都有 $x + y \in A$ ， $x y \in A$ ，则称A是封闭集．

(1)、判断集合 $S = \{- 1, 0, 1\}$ ， $T = {x ∣ x = 2 k, k \in Z}$ ，是否为封闭集，并说明理由；

(2)、判断命题“若非空集合 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 是封闭集，则 $A_{1} \cup A_{2}$ 也是封闭集”的真假，并说明理由；

(3)、若非空集合A是封闭集合，且 $A \underset{\neq}{\subset} R$ ，求证： $∁_{R} A$ 不是封闭集．

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2、回答下列问题：

(1)、已知不等式 $a \leq \frac{3}{4} x^{2} - 3 x + 4 \leq b$ 的解集是 $\{x| a \leq x \leq b\} (a \neq b)$ ，求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、对于二次函数 $y = \frac{3}{4} x^{2} - 3 x + 4$ ，当 $a \leq x \leq b$ 时， $y$ 的最小值是 $a$ ，最大值是 $b (a \neq b)$ ，求 $a$ ， $b$ 的值.

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3、对于非空正数集 $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}\} (n \in N^{*})$ ，其所有元素的几何平均数记为 $G (A)$ ，即 $G (A) = \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{n}}$ ，若非空正数集B满足下列两个条件：（1） $B \subseteq A$ ；（2） $G (B) = G (A)$ ．则称B为A的一个“稳定子集”．根据以上信息，集合 $\{1, 2, 4, 8, 16\}$ 的“稳定子集”有（）

A、5个 B、6个 C、7个 D、8个

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ A B C = 60^{\circ}, P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E, F$ 分别为线段 $P B, C D$ 的中点， $P F = B F$ ．

(1)、求证： $P B ⊥$ 平面 $A E F$ ；

(2)、求二面角 $P - B F - A$ 的余弦值．

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5、已知实数x，y，则“ $x > y$ ”是“ ${(x + 1)}^{3} > {(y + 1)}^{3}$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为.

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7、直线 $x = \tan 20 °$ 的倾斜角为（）

A、 $0 °$ B、 $20 °$ C、 $90 °$ D、不存在

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8、在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且 $a \cos B + (2 c - b) \cos A = c$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形

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9、已知命题p： $\exists x > 1$ ，使得 $m \geq x + \frac{4}{x - 1}$ 成立；命题q：正数a，b满足 $2 a + b = 1$ ，不等式 $m \leq \frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 恒成立.

(1)、若命题p真命题，求实数m的取值范围；

(2)、若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围.

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10、已知圆 $O_{1}$ 过 $A (- 2 \sqrt{3}, 4)$ ， $B (0, 2)$ ， $C (2 \sqrt{3}, 8)$ 三点．

(1)、求圆 $O_{1}$ 的方程；

(2)、求圆 $O_{1}$ 与圆 $O_{2}$ ： ${(x + 3)}^{2} + y^{2} = 13$ 的公共弦长；

(3)、已知 $M (0, - 1)$ ， P为圆 $O_{1}$ 上任意一点，在y轴上是否存在定点N（异于点M），使得 $\frac{|P N|}{|P M|}$ 为定值？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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11、已知函数 $f (x) = \frac{x {}_{2}+ a x + a}{x}, 且 a < 1$ .

(1)、当 $x \in [1, + \infty)$ 时，判断 $f (x)$ 的单调性并证明；

(2)、在（1）的条件下，若 $m$ 满足 $f (3 m) > f (5 - 2 m)$ ，试确定 $m$ 的取值范围.

(3)、设函数 $g (x) = x \cdot f (x) + | x^{2} - 1 | + (k - a) x - a, k$ 为常数.若关于 $x$ 的方程 $g (x) = 0$ 在 $(0, 2)$ 上有两个解 $x_{1}, x_{2}$ ，求 $k$ 的取值范围，并比较 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 与4的大小.

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12、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是边长为2的正三角形， $A A_{1} = 2$ ， $D$ 为 $A C$ 上的点，过 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $D$ 的截面交 $B C$ 于 $E$

(1)、证明： $D E / / A B$ ；

(2)、若二面角 $B_{1} - D E - B$ 的大小为 $60 °$ ，求几何体 $C D E - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积.

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13、已知函数 $f (x) = \frac{(\sqrt{3} \cos x - \sin x) \sin 2 x}{2 \cos x} + \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $f (\frac{π}{3})$ 的值.

(2)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递减区间.

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14、设角 $A, B, C$ 是 $△ A B C$ 的三个内角，已知向量 $\vec{m} = (\sin A + \sin C, \sin B - \sin A)$ ， $\vec{n} = (\sin A - \sin C, \sin B)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .
（Ⅰ）求角 $C$ 的大小；
（Ⅱ）若向量 $\vec{s} = (0, - 1), \vec{t} = (\cos A, 2 \cos^{2} \frac{B}{2})$ ，试求 $|\vec{s} + \vec{t}|$ 的取值范围

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15、某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形 $A B C D$ 和 $E F G H$ 构成面积为 ${200m}^{2}$ 的十字形区域，且计划在正方形 $M N P K$ 上建一座花坛，其造价为 $4200$ 元/ $m^{2}$ ，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为 $210$ 元/ $m^{2}$ ，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为 $80$ 元/ $m^{2}$ .

(1)、设 $A D$ 的长为 $x$ 米，试写出总造价 $Q$ (单位：元)关于 $x$ 的函数解析式，并写出 $x$ 的取值范围；

(2)、问：当 $x$ 取何值时，总造价最少？求出这个最小值.

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16、已知△ABC的外接圆圆心为O，且 $2 \overset{⃑}{A O} = \overset{⃑}{A B} + \overset{⃑}{A C}$ ， $|\overset{⃑}{O A}| = |\overset{⃑}{A B}|$ ，则向量 $\overset{⃑}{B A}$ 在向量 $\overset{⃑}{B C}$ 上的投影向量为．

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17、如图1所示，四边形 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形， $E$ 、 $F$ 、 $M$ 分别为 $B C$ 、 $C D$ 、 $B E$ 的中点，分别沿 $A E$ 、 $A F$ 及 $E F$ 所在直线把 $△ A E B$ 、 $△ A F D$ 和 $△ E F C$ 折起，使 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 三点重合于点 $P$ ，得到如图2所示的三棱锥 $P - A E F$ ，则下列结论中正确的有（）

A、三棱锥 $M - A E F$ 的体积为 $\frac{1}{3}$ B、异面直线 $A M$ 与 $E F$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{34}}{34}$ C、过点 $M$ 的平面截三棱锥 $P - A E F$ 的外接球，所得截面的面积的最小值为 $\frac{π}{4}$ D、过点 $M$ 的平面截三棱锥 $P - A E F$ 的外接球，所得截面的面积的最大值为 $\frac{3 π}{2}$

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18、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 6$ ， $∠ B A C = 60^{o}$ ， $D$ 是边 $B C$ 上的一点，则（）

A、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 6$ B、 $△ A B C$ 外接圆的半径是 $\frac{2 \sqrt{7}}{3}$ C、若 $\vec{D C} = 2 \vec{B D}$ ，则 $\vec{A B} = \frac{3}{2} \vec{A D} - \frac{1}{2} \vec{A C}$ D、若 $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线，则 $A D = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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19、已知 $f (x) = - x^{2} + 2 |x| + 1$ ，若方程 ${[f (x)]}^{2} + m f (x) + n = 0 (m, n \in R)$ 恰好有三个互不相等的实根，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $m < - 3$ B、 $m \leq - 2$ C、 $m < - 3$ 或 $m > - 2$ D、 $m = - 2$ 或 $m < - 3$

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20、设 $a = sin 7$ ，则（）

A、 ${log}_{2} |a| < a^{2} < 2^{a}$ B、 ${log}_{2} |a| < 2^{a} < a^{2}$ C、 $a^{2} < {log}_{2} |a| < 2^{a}$ D、 $a^{2} < 2^{a} < {log}_{2} |a|$

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