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相关试卷

1、已知复数 $z_{1} = 1 - i, z_{2} = 2 - i$ ，则复数 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2、已知非零向量 $\overset{⃑}{a} ， \overset{⃑}{b}$ 满足 $|\overset{⃑}{a}| = 2 |\overset{⃑}{b}|$ ，且 $（ \overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b} ） ⊥ \overset{⃑}{b}$ ，则 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角为

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2π}{3}$ D、 $\frac{5π}{6}$

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3、将 $f (x) = cos 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列结论正确的是（）

A、 $g (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $g (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、 $\frac{π}{4}$ 是 $g (x)$ 的一个零点 D、 $[\frac{π}{3}, \frac{5 π}{12}]$ 是 $g (x)$ 的一个单调减区间

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4、已知集合 $A = \{x |\frac{2 x + 1}{x - 1} < 1\}$ ， $B = \{x |2 x^{2} + (m - 2) x - m < 0\}$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、已知“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的必要条件，求实数m的取值范围.

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5、在① $\frac{\sin A}{\sin B - \sin C} = \frac{b + c}{b - a}$ ；② $\frac{c}{a} = \frac{\cos C + 1}{\sqrt{3} \sin A}$ ，这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答，在 $△ A B C$ ，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，边长 $c = 2$ ， $S$ 为 $△ A B C$ 的面积，若______（填条件序号）

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $G$ 为 $△ A B C$ 内一点且 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ，求 $G C$ 长度最大值；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $△ A B C$ 的内切圆半径的取值范围.

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6、为绘制海底地貌图，测量海底两点 $C$ ， $D$ 间的距离，海底探测仪沿水平方向在 $A$ ， $B$ 两点进行测量， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得 $∠ B A C = 30^{\circ},$ $∠ D A C = 45^{\circ},$ $∠ A B D = 45^{\circ},$ $∠ D B C = 75^{\circ},$ $A$ ， $B$ 两点的距离为海里.
（1）求的面积；
（2）求 $C$ ， $D$ 之间的距离.

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7、设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是不共线的非零向量，且 $\vec{a} = \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ ．

(1)、若 $4 \vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}} = λ \vec{a} + u \vec{b}$ ，求 $λ$ ， u的值．

(2)、若 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是互相垂直的单位向量，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ．

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8、(1)已知复数 $- 1 + 3 i$ 是关于x的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ $(p, q \in R)$ 的一个根，求 $p + q$ 的值；
(2)已知复数 $z_{1} = 5 - 10 i$ ， $z_{2} = 3 + 4 i$ ， $\frac{1}{z} = \frac{1}{z_{1}} + \frac{1}{z_{2}}$ ，求 $| z |$ ．

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9、在△ABC中，A＝60°，b＝1，S_△_ABC＝ $\sqrt{3}$ ，则 $\frac{a}{\cos A}$ ＝.

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10、已知平面向量 $\vec{a} = (1, m)$ ， $\vec{b} = (- 2, 4)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $m =$ .

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11、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则（）

A、 $A = 30 °$ ， $b = x$ ， $a = 3$ ，若 $△ A B C$ 有两解，则 $3 < x < 2 \sqrt{3}$ B、若 $\tan A \tan B = 1$ ，则 $△ A B C$ 为直角三角形 C、若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B + \cos^{2} C < 1$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 D、若 $a^{2} - b^{2} = b c$ ，则 $A = 2 B$

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12、已知平面向量 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (- 3, 4)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为 $\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{a}$ C、与 $\vec{b}$ 共线的单位向量的坐标为 $(\frac{- 3}{5}, \frac{4}{5})$ D、若向量 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 与向量 $\vec{a} - λ \vec{b}$ 共线，则 $λ = 0$

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13、已知复数 $z_{1}, z_{2}$ ，下列结论正确的有（）

A、若 $z_{1} - z_{2} > 0$ ，则 $z_{1} > z_{2}$ B、若 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ ，则 $|z_{1}| = |z_{2}|$ C、 $|z_{1} \cdot z_{2}| = |z_{1}| \cdot |z_{2}|$ D、若 $|z_{1}| = 1$ ，则 $|z_{1} + 2 i|$ 的最大值为3

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14、已知点 $O$ 是 $△ A B C$ 的重心，过点 $O$ 的直线与边 $A B, A C$ 分别交于 $M, N$ 两点， $D$ 为边 $B C$ 的中点．若 $\vec{A D} = x \vec{A M} + y \vec{A N} (x, y \in R)$ ，则 $x + y =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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15、正方形 $A B C D$ 边长为2，点 $E$ 为 $B C$ 边的中点， $F$ 为 $C D$ 边上一点，若 $\overset{⃑}{A F} \cdot \overset{⃑}{A E} = | \overset{⃑}{A E} |^{2}$ ，则 $| \overset{⃑}{A F} | =$ （）

A、3 B、5 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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16、已知函数 $f (x) = 3 \sin x + \sqrt{3} \cos x$ ，若 $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 时，函数 $f (x)$ 的值域为（）

A、 $[- 3, 2 \sqrt{3}]$ B、 $[- 3, 3]$ C、 $[- \frac{\sqrt{3}}{2}, 1]$ D、 $[- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}]$

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17、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, - 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （　　）

A、 $\sqrt{5}$ B、5 C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{31}$

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18、已知 $\sin α + 3 \cos α = 0$ ，则 $\tan 2 α =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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19、若复数 $z = - \frac{1}{2} (1 + i)$ ，则 $z$ 的共轭复数的虚部是（）

A、 $- \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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20、已知函数 $f (x) = 2 \ln (x + 1) + \sin x + 1$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若不等式 $f (x) \leq a (x + 1) + \sin x$ 恒成立，求整数 $a$ 的最小值；

(3)、证明：当 $x \geq 0$ 时，有 $f (x) \leq {(x + 1)}^{2} e^{x}$ ．

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