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相关试卷

1、函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a, b, c, d \in R)$ 的图象如图所示，则下列结论正确的有（）

A、 $a > 0$ B、 $b < 0$ C、 $c < 0$ D、 $a + b + c > 0$

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2、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $\sqrt{3}$ ，则点 $A_{1}$ 到面 $A B_{1} D_{1}$ 的距离为（）

A、 $2$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $1$ D、 $\sqrt{5}$

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3、设函数 $f (x)$ 的导函数是 $f^{'} (x)$ .若 $f (x) = f^{'} (π) x^{2} - \cos x$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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4、函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下面说法正确的是（）

A、 $x = 4$ 为函数 $f (x)$ 的极大值点 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(- 2, 1)$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 在区间 $(1, 3)$ 上单调递减 D、函数 $f (x)$ 在区间 $(4, 5)$ 上单调递增

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5、下表是离散型随机变量 $ξ$ 的概率分布，则 $P (ξ \geq 2) =$ （）
$ξ$
1
2
3
4
P
$\frac{a}{24}$
$\frac{a}{8}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{6}$

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{11}{12}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{23}{24}$

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6、已知函数 $f (x) = 2 x + 2 a l n x - \frac{1}{x} (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、已知 $a$ 为整数，若 $f (x)$ 在 $(2, 3)$ 上单调递减，且在 $(4, + \infty)$ 上单调递增，求 $a$ ．

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7、将函数 $f (x) = 2 cos 4 x$ 图象上所有的点向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、 $g (x) = 2 sin 4 x$ B、 $g (x) = - 2 sin 4 x$ C、 $g (x) = 2 sin (4 x - \frac{π}{8})$ D、 $g (x) = 2 sin (4 x + \frac{π}{8})$

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8、某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组 $[45, 55)$ ，第二组 $[55, 65)$ ，第三组 $[65, 75)$ ，第四组 $[75, 85)$ ，第五组 $[85, 95]$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．

(1)、求 $a$ 、 $b$ 的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数；

(2)、在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率．

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9、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，且满足 $2 b \cos C = 2 a - c$

(1)、求角 $B$ ；

(2)、如图，若 $△ A B C$ 外接圆半径为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点，且 $B D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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10、已知向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ 满足 $\overset{⃑}{a} =$ （2，1）， $\overset{⃑}{b} =$ （1，y），且 $\overset{⃑}{a} ⊥ \overset{⃑}{b}$ ，则 $|\overset{⃑}{a} + 2 \overset{⃑}{b}|$ ＝（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $5 \sqrt{2}$ C、5 D、4

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11、如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形， $A B = A D = 4$ ， C为底面圆周上一动点， $∠ B C D = \frac{π}{3}$ ， PA为圆台的母线， $P A = 5$ ，圆台上底面的半径为1．

(1)、求该圆台的表面积；

(2)、求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积的最大值．

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12、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，重新定义两点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 之间的“距离”为 $|A B| = |x_{2} - x_{1}| + |y_{2} - y_{1}|$ ，我们把到两定点 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0) (c > 0)$ 的“距离”之和为常数 $2 a (a > c)$ 的点的轨迹叫“椭圆”．

(1)、求“椭圆”的方程；

(2)、根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；

(3)、设 $c = 1, a = 2$ ，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为 $C, C$ 的左顶点为 $A$ ，过 $F_{2}$ 作直线交 $C$ 于 $M, N$ 两点， $△ A M N$ 的外心为 $Q$ ，求证：直线 $O Q$ 与 $M N$ 的斜率之积为定值．

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13、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为菱形， $∠ B C D = 120 °$ ， $M$ 为 $C D$ 的中点， $P C = P D = \sqrt{3}$ .

(1)、证明：平面 $A P M ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $A D = 2$ ， $P A = 1$ ，求平面 $A P B$ 与平面 $A P D$ 夹角的正切值.

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14、圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 12 y + 1 = 0$ 关于直线 $a x - b y + 6 = 0 (a > 0, b > 0)$ 对称，则 $\frac{2}{a} + \frac{6}{b}$ 的最小值是．

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15、设 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{n} = 3 n^{2}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} =$ .

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16、甲、乙两人准备进行一场乒乓球比赛，规定每球交换发球权，通过抛硬币决定谁先发球．已知两人在自己发球时得分的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，则（）

A、第二次由乙发球的概率为 $\frac{1}{4}$ B、甲先得一分的概率为 $\frac{1}{2}$ C、前两次发球都由乙得分的概率为 $\frac{1}{3}$ D、前两次发球甲、乙各得1分的概率为 $\frac{5}{9}$

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17、已知复数 $z$ 满足 $\bar{z} = (- 1 - i) i$ ，则在复平面内 $z$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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18、已知函数 $f (x) = \ln |x| - x \ln a + 1$ ， $a > 1$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 存在三个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ .
（ⅰ）求实数 $a$ 的取值范围；
（ⅱ）设 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，求证： $x_{1} + x_{2} + x_{3} > \frac{2}{\ln a} - \frac{1}{e}$ .

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19、已知一个口袋中有3个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，6的抽屉内，其中第 $k$ 次取出的球放入编号为 $k$ 的抽屉 $(k = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, 6)$ .
1
2
3
4
5
6

(1)、试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P；

(2)、随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号，求X的数学期望 $E (X)$ 的值.

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20、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x + b$ .

(1)、已知 $f (x)$ 在点 $P (1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = 6 x + 2$ ，求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上的最大值.

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$ξ$	1	2	3	4
P	$\frac{a}{24}$	$\frac{a}{8}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$