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相关试卷

1、已知复数 $z = 3 + m i (m \in R)$ ， $z_{1} = (1 + 3 i) z$ ，且 $z_{1}$ 为纯虚数．

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、设 $z$ 、 $z^{2}$ 在复平面上对应的点分别为A、B，O为坐标原点．求向量 $\vec{O A}$ 在向量 $\vec{O B}$ 上的投影向量的坐标．

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2、如图所示，隔河可以看到对岸两目标 $A, B$ ，但不能到达，现在岸边取相距 $4 k m$ 的两点 $C, D$ ，测得 $∠ A C B = 75^{°}, ∠ B C D = 45^{°}, ∠ A D C = 30^{°}, ∠ A D B = 45^{°}$ （ $A, B, C, D$ 在同一平面内），则两目标 $A, B$ 间的距离为 $k m$ .

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3、在 $△ A B C$ 中，若 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = b c$ ，则 $A =$ ．

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4、点 $O$ 在△ $A B C$ 所在的平面内，则以下说法正确的有（）

A、若动点 $P$ 满足 $\vec{O P} = \vec{O A} + λ (\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} | \sin B} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} | \sin C}) (λ > 0)$ ，则动点 $P$ 的轨迹一定经过△ $A B C$ 的垂心； B、若 $\vec{O A} \cdot (\frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |} - \frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |}) = \vec{O B} \cdot (\frac{\vec{B C}}{| \vec{B C} |} - \frac{\vec{B A}}{| \vec{B A} |}) = 0$ ，则点 $O$ 为△ $A B C$ 的内心； C、若 $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot \vec{A B} = (\vec{O B} + \vec{O C}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，则点 $O$ 为△ $A B C$ 的外心； D、若动点 $P$ 满足 $\vec{O P} = \vec{O A} + λ (\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} | \cos B} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} | \cos C}) (λ > 0)$ ，则动点 $P$ 的轨迹一定经过△ $A B C$ 的重心.

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5、定义： $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 两个向量的叉乘 $\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ ，则以下说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} \times \vec{b} = 0$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ B、 $λ (\vec{a} \times \vec{b}) = (λ \vec{a}) \times \vec{b}$ C、若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于 $\vec{A B} \times \vec{A D}$ D、若 $\vec{a} \times \vec{b} = \sqrt{3}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 的最小值为 $\sqrt{7}$

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6、已知棱长均相等的四面体 $A - B C D$ 的外接球的半径为 $\sqrt{6}$ ，则这个四面体的棱长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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7、已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 3, A C = 4, \cos A = \frac{5}{8}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8、在 $△ A B C$ 中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且 $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{E C}$ ，则 $\vec{E D} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$

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9、设复数 $z$ 满足 $z \cdot (1 + 2 i) = 5$ ，则 $z =$ （）

A、2 B、 $1 + 2 i$ C、 $- 2$ D、 $1 - 2 i$

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10、如图， $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 是 $△ O A B$ 的直观图，则 $△ O A B$ 是（）

A、正三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形

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11、已知 $\vec{m} = (1, x)$ ， $\vec{n} = (4, 2)$ ，若 $\vec{m} // \vec{n}$ ，则 $x =$ （）

A、2 B、4 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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12、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，

(1)、求证： $A B / /$ 平面 $A_{1} D C B_{1}$ ；

(2)、求直线 $A_{1} B 与 B_{1} C$ 所成的角的大小；

(3)、求证： $B C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} D C B_{1}$ .

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13、某工程队有6辆不同的工程车，按下列方式分给工地进行作业，每个工地至少分1辆工程车，则下列结论正确的是（）

A、分给甲､乙､丙三地每地各2辆，有120种分配方式 B、分给甲､乙两地每地各2辆，分给丙､丁两地每地各1辆，有180种分配方式 C、分给甲､乙､丙三地，其中一地分4辆，另两地各分1辆，有60种分配方式 D、分给甲､乙､丙､丁四地，其中两地各分2辆，另两地各分1辆，有1160种分配方式

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14、摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色。如图1，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min.

(1)、如图2，建立平面直角坐标系，游客甲在P处坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；

(2)、求游客甲在开始转动10min后距离地面的高度；

(3)、如图2，若甲、乙两人先后分别坐在两个相邻的座舱里，两人的位置分别用点A，B表示，在运行一周的过程中，求经过tmin后，乙距离地面的高度 $H_{2}$ 的函数解析式，并求出两人距离地面高度相等的时刻t(精确到0.1).
（参考公式： $\sin θ + \sin φ = 2 \sin \frac{θ + φ}{2} \cos \frac{θ - φ}{2}$ )

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15、已知锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为 $a, b, c, (a - b + c) \sin B = (b - a) \sin A$ $+ c \sin C$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $c = 4, M$ 为 $△ A B C$ 外心，D为 $A C$ 中点， $D M = \sqrt{3} - 1$ ，求边a的大小.

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16、已知 $- 2 + i$ 是关于x的方程 $x^{2} + p x + q = 0, (p, q \in R)$ 的一个根.

(1)、求p，q的值及方程的另一个根；

(2)、若实系数一元二次方程 $a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0 (a_{2} \neq 0)$ 在复数集C内的两根为 $x_{1}, x_{2}$ ，请猜想两根 $x_{1}, x_{2}$ 与实系数 $a_{0}, a_{1}, a_{2}$ 有怎样的结论?并用方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的根进行验证；

(3)、若 $z = x + y i (x, y \in R)$ ，则复平面内满足 $| z - (p + q i) | = 3$ 的动点 $Z (x, y)$ 的集合是什么图形?

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17、已知函数 $f (x) = \sin x \sin (x + \frac{π}{3}) - \sin^{2} x (x \in R)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的对称中心；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{3}]$ 上的最大值和最小值.

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18、已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是同一平面的三个向量， $\vec{a} = (4, 3)$ .

(1)、若 $| \vec{b} | = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $\vec{b}$ 的坐标；

(2)、若 $| \vec{c} | = 5 \sqrt{3}$ ，且 $(\vec{a} + \vec{c}) ⊥ (2 \vec{a} - \vec{c})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 夹角 $θ$ 的余弦值.

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19、已知 $\tan (α + β) = \frac{1}{3}, \tan (α - β) = \frac{1}{2}$ ，则 $\tan 2 β =$ .

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20、若向量 $\vec{a} = (1, - \sqrt{3})$ ，则与 $\vec{a}$ 方向相同的单位向量是.

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