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相关试卷

1、瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作 $△ A B C$ ， $A B = A C$ ，点 $B (−1,3)$ ，点 $C (4,−2)$ ，且其“欧拉线”与圆 $M : {(x +3)}^{2} + y^{2} = r^{2}$ 相切，则下列结论正确的是（）

A、 $△ A B C$ 的“欧拉线”方程为 $y = x −1$ B、圆 $M$ 上点到直线 $x + y +2=0$ 的最大距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、若点 $(x, y)$ 在圆 $M$ 上，则 $x + \sqrt{3} y$ 的最小值是 $−3−4 \sqrt{2}$ D、若点 $(x, y)$ 在圆 $M$ 上，则 $\frac{y −1}{x}$ 的最大值是 $7$

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2、直线 $l$ 的方程为： $(a - 2) y = (3 a - 1) x - 1$ ，若直线 $l$ 不经过第二象限，则实数 $a$ 的取值范围为（　　）

A、 $a > 2$ B、 $- 2 \leq a \leq 3$ C、 $a \geq 2$ D、 $a \geq 4$

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3、下列各组函数中，是同一个函数的有（）

A、 $f (x) = x^{2}$ 与 $g (x) = {(x + 1)}^{2}$ B、 $f (x) = \frac{1}{x}$ 与 $g (t) = \frac{t}{t^{2}}$ C、 $f (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ 与 $g (x) = |x|$ D、 $f (x) = x$ 与 $g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$

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4、已知平行四边形 $A B C D$ 的顶点 $A, C$ 在椭圆 $E : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上，顶点 $B, D$ 分别为 $E$ 的左、右焦点，则该平行四边形的周长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、 $4 \sqrt{3}$ D、8

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5、已知集合 $A = \{x| x^{2} - 2 x - 3 \leq 0\}$ ，集合 $B = \{x| y = \log_{2} (x - 1)\}$ 则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 3]$ B、 $[1, 3]$ C、 $(2, 3]$ D、 $[- 1, + \infty)$

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6、已知函数 $f (x)$ 的定义域 $D \subseteq (0, + \infty)$ ，且对任意 $x_{1}, x_{2} \in D$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时， $f (x_{1}) - f (x_{2}) > {log}_{2} \frac{x_{1}}{x_{2}}$ 恒成立，则称 $f (x)$ 为 $D$ 上的 $T$ 函数.

(1)、若定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $g (x)$ 为减函数，判断 $g (x)$ 是否为 $(0, + \infty)$ 上的 $T$ 函数，并说明理由；

(2)、若 $f (x)$ 为 $(0, + \infty)$ 上的 $T$ 函数，且 $f (2) = 5$ ，求不等式 $f (2 x) > {log}_{2} (32 x)$ 的解集；

(3)、若 $k (x) = ({log}_{2} x + a^{3}) {log}_{2} x$ 为 $[\frac{1}{2}, 2]$ 上的 $T$ 函数，求 $a$ 的取值范围.

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7、在 $n \times n$ 的方格中，我们规定：棋子从初始方格开始，每一次移动只能朝上、下、左、右四个方向移动到相邻格子，且不能移动到 $n \times n$ 方格外区域，同一格不能重复经过，走完所有格子视为“胜利”.

(1)、如图1，在 $3 \times 3$ 的方格中，用 $a_{i j}$ 表示方格位置为自上向下的第 $i$ 行，自左向右的第 $j$ 列.已知，棋子初始位置为 $a_{11}$ 格，经过一次移动来到 $a_{12}$ 格，在此基础上，试画出所有完整的能达成“胜利”的不同路线；

(2)、如图2，在两张不同的 $5 \times 5$ 的方格中，有一些格子被涂黑，视为移动过程中，不能进入.在此条件下，能否找到一种移动方法，达成“胜利”?若能，请画出路线；若不能，请说明理由 $. ($ 初始方格任意选择 $)$

(3)、在 $6 \times 6$ 的方格中，涂黑n个互不同行，也互不同列的格子后，仍能达成“胜利”，求n的最大值 $($ 初始方格任意选择 $) .$

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8、等轴双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的顶点，到其渐近线的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{2} .$ 过点 $T (- 3 ， 0)$ 作斜率为 $k (k > 0)$ 的直线l，l与 $Γ$ 的左、右支分别交于点A $， B .$

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、若 $k = \frac{1}{2} ，$ 且 $λ \vec{T A} = \vec{A B} ，$ 求 $λ$ 的值；

(3)、过点A再作斜率为 $\frac{1}{k}$ 的直线交双曲线于另一点C，若满足 $\frac{S_{△ O A B}}{S_{△ T A C}} > 2 (O$ 是坐标原点 $) ，$ 求k的取值范围.

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9、已知 $a > 0 ，$ 函数 $f (x) = \frac{e^{x} (a x - 1)}{x - 1} .$

(1)、若 $a = 2 ，$ 求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(2, + \infty)$ 上不单调，求 $a$ 的取值范围.

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10、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中 $， A B ⊥ B C ， \sqrt{2} A B = B C = 2 ，$ 四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 是正方形，且 $∠ A B B_{1}$ 是锐角，已知点A到平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离为 $1.$

(1)、求证： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A B C;$

(2)、求平面 $A C C_{1} A_{1}$ 与平面 $A C B_{1}$ 夹角的余弦值.

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11、已知 $f (x) = sin (x + \frac{π}{3}) + sin (x - \frac{π}{3}) + \sqrt{3} {cos}^{2} \frac{x}{2} - \sqrt{3} {sin}^{2} \frac{x}{2} .$

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若锐角 $△ A B C$ 中，边AC上的高 $h = 3 ，$ 且 $f (A) = \sqrt{3} ，$ 求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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12、函数 $f (x) = 2 x - sin x$ 上存在互异两点A，B，若曲线 $f (x)$ 在A，B处的切线均为直线l，且l在A，B之间与 $f (x)$ 无公共点，则l的斜率为.

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13、如图，椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点A是抛物线 $C_{2} : y^{2} = 2 p x$ 的焦点，过A作x轴的垂线交 $C_{2}$ 于点B，线段BO与 $C_{1}$ 交于点D，F是 $C_{1}$ 焦点 $， D F / / A B ，$ 则 $C_{1}$ 的离心率 $e =$ .

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14、已知 $\vec{b} = (2, 2)$ ， $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量的模为1，则 $\vec{a}$ 坐标可以是 $. ($ 写一个即可 $)$

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15、数学里常研究一些形状特殊的曲线，过程中总要用到数形结合的思想方法.比如形状酷似“星星”的曲线 $C : {|x|}^{\frac{1}{2}} + {|y|}^{\frac{1}{2}} = 2$ 在第一象限内的图象如图所示，则下列关于曲线C的说法正确的有（）

A、共有4条对称轴 B、围成的封闭图形内最大能放入半径为1的圆 C、周长大于25 D、围成的封闭图形的面积小于14

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16、如图，已知四边形 $A B C D$ 中， $A C = B D = 3$ ， $A C$ 与 $B D$ 垂直并相交于点 $O$ ，且满足 $A O = 1$ ， $B O = a (0 < a < 3)$ ，以 $B D$ 为折痕，将四边形翻折，形成三棱锥 $A - B C D$ ，且满足二面角 $A - B D - C$ 大小为 $60^{\circ}$ .则下列对于三棱锥 $A - B C D$ 的说法正确的有（）

A、对任意 $a \in (0, 3)$ ，三棱锥 $A - B C D$ 的体积为定值 B、 $A C ⊥$ 平面 $A B D$ C、当且仅当 $a = 1$ 时，三棱锥 $A - B C D$ 的表面积为 $\frac{9 + \sqrt{6} + \sqrt{15}}{2}$ D、外接球半径的最小值为 $\sqrt{3}$

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17、甲、乙两个班级各有6名候选人参加校学生会干部竞选.其中，甲班中男生2名，乙班中男生3名.则下列说法正确的有（）

A、从12人中选出两人担任主持人，恰好一男一女当选的情况有35种 B、某选手得分是 $9, 9.2, 9.2, 9.3, 9.3, 9.4, 9.4, 9.5$ ，则该选手得分的第70百分位数是 $9.3$ C、从12人中随机选择一人总结会议，已知选到的是女生，则她来自甲班的概率是 $\frac{1}{3}$ D、5名男生随机抽选3人担任男寝楼长，其中甲班男生当选人数为X人，则 $E (X) = \frac{6}{5}$

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18、函数 $f (x) = |ln x| + x + m ， g (x) = x^{3} + x + m ，$ 若 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2}) ， g (x)$ 的零点为 $x_{0} ，$ 则关于 $x_{0}$ 的不等式不能成立的是（）

A、 $x_{1} < x_{0} = x_{2}$ B、 $x_{1} = x_{0} < x_{2}$ C、 $x_{0} < x_{1} < x_{2}$ D、 $x_{1} < x_{0} < x_{2}$

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19、正整数数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \{\begin{cases} \frac{a_{n}}{2}, a_{n} 是偶数 \\ 3 a_{n} + 1, a_{n} 是奇数 \end{cases}$ ，使得 $a_{6} = 4$ 的不同 $a_{1}$ 个数为（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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20、下列四个几何体中，表面积与其他三个不同的是（）

A、底面半径 $r = \frac{1}{2} ，$ 母线 $l = \frac{5}{8}$ 的圆锥 B、底面半径 $r = \frac{1}{4} ，$ 母线 $l = \frac{7}{8}$ 的圆柱 C、半径 $r = \frac{3}{4}$ 的球 D、上、下底面半径分别为 $r^{'} = \frac{1}{4} ， r = \frac{1}{2} ，$ 母线 $l = \frac{1}{3}$ 的圆台

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