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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} - 2 a x - 1, x < 1 \\ \frac{a}{x}, x \geq 1 \end{array}$ ，满足对任意的实数 $x_{1}, x_{2}$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > - 1$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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2、幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 5) x^{- m}$ 在 $x \in (0, + \infty)$ 上单调递减，则m的值为．

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} |{(\frac{1}{2})}^{x} - 1|, x \leq 1 \\ |{log}_{4} (x - 1)|, x > 1 \end{matrix}$ ，若函数 $y = f (x) - k$ 有四个零点，从小到大依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $k \in (0, \frac{1}{2}]$ B、 $x_{3} + x_{4}$ 的最小值为4 C、 $x_{1} + x_{2} > 0$ D、方程 $f [f (x)] - t = 0$ 最多有10个不同的实根

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4、下列说法正确的有（）

A、当 $0 < x < 10$ 时， $\sqrt{x (10 - x)}$ 的最大值是5 B、当 $x > - 1$ 时， $x + \frac{1}{x + 1} \geq 1$ C、已知正实数 $x, y$ 满足 $x + y = 2$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值是2 D、 $\sqrt{x^{2} + 3} + \frac{2}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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5、下列函数中，既是偶函数，又在 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x}$ B、 $f (x) = x^{4}$ C、 $f (x) = 2^{| x |}$ D、 $f (x) = | x | + \frac{1}{| x |}$

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6、已知函数 $f (x) = \frac{a x + 1 + | 2 x^{2} + a x - 1 |}{2} (a \in R)$ 的最小值为0，则 $a =$ （）

A、 $\pm \frac{1}{4}$ B、 $\pm \frac{1}{2}$ C、 $\pm 1$ D、 $\pm 2$

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7、中国茶文化源远流传，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用 $80 ℃$ 的水泡制，再等到茶水温度降至 $60 ℃$ 时饮用，可以产生最佳口感．为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是 $T_{0}$ ，经过 $t min$ 后的温度是 $T$ ，则 $T - T_{α} = (T_{0} - T_{α}) e^{- \frac{t}{h}} (e \approx 2.71828 \dots)$ ，其中 $T_{α}$ 表示环境温度， $h$ 表示半衰期．该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是 $80 ℃$ ，放在 $20 ℃$ 的室温中， $10 min$ 以后茶水的温度是 $50 ℃$ ，在上述条件下，大约需要放置多长时间能达到最佳饮用口感？（结果精确到0.1，参考数据 $\ln 2 \approx 0.7$ ， $\ln 3 \approx 1.1$ ）（）

A、 $5.7 min$ B、 $5.8 min$ C、 $5.9 min$ D、 $6.0 min$

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8、已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，对任意的 $x$ 满足 $f (- x) = f (x + 2)$ ，且 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 0]$ 上单调递增，若 $a = 1$ ， $b = \frac{3}{2}$ ， $c = 3$ ，则 $f (a), f (b), f (c)$ 的大小关系为（）

A、 $f (c) > f (a) > f (b)$ B、 $f (c) > f (b) > f (a)$ C、 $f (a) > f (b) > f (c)$ D、 $f (a) > f (c) > f (b)$

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9、函数 $y = \frac{|x^{2} - 1|}{x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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10、已知实数 $a > b > 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $a c^{2} > b c^{2}$ C、 $a - \frac{b}{a} > b - \frac{a}{b}$ D、 $\frac{b}{a} > \frac{b + 1}{a + 1}$

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11、已知命题 $p : \forall x \in R$ ， $e^{x} - x + 2 > 0$ ，则（）．

A、 $\neg p : \exists x_{0} \in R$ ， $e^{x_{0}} - x_{0} + 2 > 0$ B、 $\neg p : \exists x_{0} \in R$ ， $e^{x_{0}} - x_{0} + 2 \leq 0$ C、 $\neg p : \forall x \in R$ ， $e^{x} - x + 2 < 0$ D、 $\neg p : \forall x \in R$ ， $e^{x} - x + 2 \geq 0$

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12、已知 $A = \{x ∣ |x| \leq 1\}, B = {x | x < 4, x \in N}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0, 1]$ B、 $(0, 1]$ C、 $\{1\}$ D、 $\{0, 1\}$

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13、对于 $m (m = 2, 3, \dots)$ 项数列 $\{a_{n}\}$ ，若满足 $\sum_{i = 1}^{m} |a_{i}| - |\sum_{i = 1}^{m} a_{i}| = m - 1$ ，则称它为一个满足“绝对值关联”的 $m$ 阶数列．

(1)、对于一个满足“绝对值关联”的 $m$ 阶数列 $\{a_{n}\}$ .证明：存在 $i, j \in {1, 2, \dots, m}$ ，满足 $a_{i} a_{j} < 0$ ；

(2)、若“绝对值关联”的 $m$ 阶数列 $\{a_{n}\}$ 还满足 $|a_{i}| \leq λ (i = 1, 2, \dots, m)$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 为“绝对值 $λ$ 关联”的 $m$ 阶数列．
①请分别写出一个满足“绝对值 $\frac{3}{4}$ 关联”的 $4$ 阶数列和满足“绝对值 $1$ 关联”的 $5$ 阶数列（不必论证，符合要求即可）；
②若存在“绝对值 $λ$ 关联”的 $n$ 阶数列 $(n \geq 2)$ ，求 $λ$ 的最小值（最终结果用常数或含 $n$ 的式子表示）．

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14、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + a x - a x \ln x$ 在 $(0, + \infty)$ 上有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ .

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $\frac{x_{2}}{x_{1}} \in (1, e)$ 时，证明： $2 < e \ln x_{1} + \ln x_{2} < e + 1$ .

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15、如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形ABCD是菱形，四面体 $A_{1} B C_{1} D$ 的体积与四面体 $A_{1} B_{1} B C_{1}$ 的体积之差为 $2, △ A_{1} B D$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ .

(1)、求点 $A$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离；

(2)、若 $A_{1} B = A_{1} D, A_{1} B ⊥ A_{1} C_{1}, B D = 2$ ，求锐二面角 $A_{1} - B D - C_{1}$ 的余弦值．

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16、记首项为1的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = (n + 1) a_{n}$ .

(1)、探究数列 $\{\frac{a_{n}}{n}\}$ 是否为单调数列；

(2)、求数列 $\{a_{n} \cdot 2^{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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17、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + \cos 2 x, x \in (0, π)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{12}, m]$ 上的最小值为 $- 2$ ，求 $m$ 的取值范围.

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18、已知 $P$ 为边长为4的正六边形ABCDEF内部及其边界上的一点，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A B}$ 的取值范围是.

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19、设函数 $f (x) = e^{x} - n x + n^{2}, n \in N_{+}$ ，记 $f (x)$ 的最小值为 $a_{n}$ ，则（）

A、 $a_{1} > a_{2} - 2$ B、 $a_{n} \geq n + 1$ C、 $f (a_{n}) > f (n)$ D、 $a_{n + m} > a_{n} + a_{m}$

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20、三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2 A_{1} B_{1}$ ，设AB的中点为 $E, A A_{1}$ 的中点为 $F, A_{1} E$ 与BF交于点 $G, A_{1} C$ 与 $C_{1} F$ 交于点 $H$ ，则（）

A、直线GH与直线 $B B_{1}$ 异面 B、 $G H / / B C_{1}$ C、线段AE上存在点 $P$ ，使得 $B C_{1} / /$ 平面 $A_{1} P C$ D、线段BE上存在点 $P$ ，使得 $B C_{1} / /$ 平面 $A_{1} P C$

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