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相关试卷

1、下列函数中，是奇函数且在 $R$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x}$ B、 $g (x) = 2^{x} - 2^{- x}$ C、 $h (x) = x - \frac{1}{x}$ D、 $φ (x) = \sin x$

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2、已知等边 $△ A B C$ 的边长为 $1, \vec{B C} = \vec{a}, \vec{C A} = \vec{b}, \vec{B A} = \vec{c}$ ，那么 $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3、若向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (2, - x), \vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、 $- 4$ D、4

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4、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C, A B = B C = 1, ∠ A B C = 120 °, P A = A C$ ， $D$ 为 $P C$ 的中点．

(1)、求证： $B D ⊥ A C$ ；

(2)、求 $B D$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值．

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5、如图所示，已知 $△ A B C$ 中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若 $B C = 8$ ， $\vec{A P} \cdot \vec{A R} = 20$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} =$ .

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6、学校为促进学生课外兴趣发展，积极开展各类校园社团活动，某同学计划从美术、街舞等五个社团中选择三个参加，若美术和街舞中最少选择一个，则不同的选择方法共有（）

A、7种 B、8种 C、9种 D、10种

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7、已知集合 $M = \{θ_{1}, θ_{2}, \dots, θ_{n}\}$ ， $n \in N^{*}$ ，设函数 $f_{n} (x) = \sin^{2} (x - θ_{1}) + \sin^{2} (x - θ_{2}) + \dots + \sin^{2} (x - θ_{n})$ .

(1)、当 $M = \{0, \frac{π}{2}\}$ 时，证明：函数 $f_{2} (x)$ 是常数函数；

(2)、已知 $M \subseteq \{θ | θ = \frac{k π}{9}, k \in N, k \leq 9\}$ ，写出所有使函数 $f_{3} (x)$ 是常数函数的集合 $M$ ；

(3)、当 $n$ 为奇数时，写出函数 $f_{n} (x)$ 是常数函数的一个充分条件，并说明理由.

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8、已知 $\sin (α + β) = \frac{2}{3}, \sin (α - β) = \frac{1}{5}$ ．则 $\frac{\tan α}{\tan β} =$ ．

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9、已知函数 $f (x) = k a^{x} - a^{- x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 是奇函数，且 $f (1) > 0$ ．

(1)、求实数 $k$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；

(3)、求不等式 $f (x^{2} + 2 x) + f (x - 4) > 0$ 的解．

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10、株洲市某路无人驾驶公交车发车时间间隔 $t$ （单位：分钟)）满足 $5 \leq t \leq 20$ ， $t \in N$ ．经测算，该路无人驾驶公交车载客量 $p (t)$ 与发车时间间隔 $t$ 满足： $p (t) = \{\begin{array}{l} 60 - {(t - 10)}^{2}, 5 \leq t < 10 \\ 60, 10 \leq t \leq 20 \end{array}$ ，其中 $t \in N$ ．

(1)、求 $p (6)$ ，并说明 $p (6)$ 的实际意义；

(2)、若该路公交车每分钟的净收益 $y = \frac{3 p (t) + 108}{t} - 10$ （元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．

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11、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ ；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在 $[0, \frac{π}{3}]$ 上的值域.

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12、已知函数 $f (x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x$ ， $x \in R$ ．

(1)、求 $f (\frac{π}{3})$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的最小正周期及其单调递增区间．

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13、已知集合 $A = {x | 2 a + 1 \leq x \leq 3 a + 5}$ ， $B = {x | x \leq - 2$ 或 $x \geq 5}$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求 $A \cup B$ ；

(2)、若“ $x \in B$ ”是“ $x \in A$ ”的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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14、求下列各式的值：

(1)、 ${(\sqrt{2} - 1)}^{0} + 8^{\frac{1}{3}} + \log_{2} 3 \times \log_{3} 4$ ；

(2)、已知 $\sin (α + π) = \frac{3}{5}$ ，求 $\cos 2 α$ 的值．

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15、已知函数 $f (x) = - x^{2} - 4 x + 6$ ， $g (x) = \log_{a} x (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ，若对任意的 $x_{2} \in [3, 5]$ ，存在 $x_{1} \in [- \frac{3}{2}, 1]$ ，使得 $f (x_{1}) < g (x_{2})$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16、若 $\tan α = 3$ ，则 $\frac{2 \cos (π - α) - 3 \sin (π + α)}{4 \cos (- α) + \sin (2 π - α)} =$ .

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17、幂函数 $y = x^{\frac{1}{2}}$ 的定义域为.

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18、已知函数 $f (x) = \ln \frac{2 - x}{2 + x}$ ，则下列说法正确的是（　　）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $(- 2, 2)$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、 $f (x)$ 在定义域上是减函数 D、 $f (x)$ 为偶函数

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19、已知 $\sin α - \cos α = \frac{1}{5}$ ， $0 \leq α \leq π$ ，则下列选项中正确的有（）

A、 $\sin α \cos α = \frac{12}{25}$ B、 $\sin α + \cos α = - \frac{7}{5}$ C、 $\sin α = \frac{4}{5}$ D、 $\tan α = \frac{4}{3}$

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20、若 $f (x) = \{\begin{array}{l} a x - 2 a, x \leq 2 \\ \log_{a} (x^{2} - a x), x > 2 \end{array}$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{3}{4}, 1)$ B、 $(1, \frac{3}{2}]$ C、（1，2） D、 $(1, 2]$

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