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相关试卷

1、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，左、右顶点分别为 $A, B$ ，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、离心率 $e = \frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为1 C、以线段 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与直线 $x + y - 1 = 0$ 相切 D、 $k_{P A} \cdot k_{P B}$ 为定值 $- \frac{1}{2}$

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2、下列说法中正确的是（）

A、函数 $y = \sin (x + \frac{π}{2})$ 是偶函数 B、存在实数 $α$ ，使 $\sin α \cos α = 1$ C、直线 $x = \frac{π}{8}$ 是函数 $y = \sin (2 x + \frac{5 π}{4})$ 图象的一条对称轴 D、若 $α$ ， $β$ 都是第一象限角，且 $α > β$ ，则 $\sin α > \sin β$

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3、已知 $f (x) = a \ln x + \frac{1}{2} x^{2}$ ，若对任意两个不等的正实数 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 2$ 成立，则实数a的取值范围是

A、 $[1, + \infty)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, 1]$

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4、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} > 0$ ， $S_{8} = S_{10}$ ，则 $S_{n}$ 中最大的是（）

A、 $S_{7}$ B、 $S_{8}$ C、 $S_{9}$ D、 $S_{10}$

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5、已知点 $M (0, a)$ ， $N (3, 4)$ 到同一直线的距离分别为2和3，若这样的直线恰有2条，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(- 8, 0)$ C、 $(0, 8)$ D、 $(8, + \infty)$

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6、设 $z = \frac{3 - i}{1 + 2 i}$ ，则 $|z|$ =

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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7、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，它的短轴长为 $2 \sqrt{2}$ ，一个焦点 $F$ 的坐标为 $(c, 0) (c > 0)$ ，点 $M$ 的坐标为 $(\frac{10}{c} - c, 0)$ ，且 $\vec{O F} = 2 \vec{F M}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程及离心率；

(2)、若过点 $M$ 的直线与椭圆相交于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $O P ⊥ O Q$ ，求直线 $P Q$ 的方程.

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8、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，椭圆 $E$ 的四个顶点构成的四边形的面积是4，若直线 $l$ 过点 $P (3, 0)$ 且与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $M$ ， $N$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、若 $|M N| = \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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9、如图，在三棱锥 $D - A B C$ 中，侧面 $D A C ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A D = D C$ ， $A B = B C$ ．

(1)、求证： $A C ⊥ B D$ ；

(2)、已知 $A B = \sqrt{5}$ ， $A C = 2$ ， $A D = \sqrt{2}$ ， $F$ 是线段 $B D$ 上一点，当 $A F ⊥ B D$ 时，求平面 $F A C$ 与平面 $A B C$ 夹角的余弦值．

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10、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ ， $N$ ， $P$ 分别为 $A B$ ， $B C$ ， $A_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $B P //$ 平面 $C_{1} M N$ ；

(2)、若 $A B ⊥ A C, A A_{1} = A B = A C = 2$ ，求直线 $B_{1} C_{1}$ 与平面 $C_{1} M N$ 所成角的正弦值．

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11、已知直线 $l : x + y + a = 0$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点.若圆 $O$ 上存在一点 $P$ ，使得四边形 $O A P B$ 为菱形，则实数 $a$ 的值是.

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12、曲线 $E : \frac{x^{2}}{m + 2} + \frac{y^{2}}{2 - m} = 1 (m \neq \pm 2)$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则 $m$ 的一个取值为.

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13、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = a (a > 0)$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y + 9 = 0$ 关于直线 $l$ 对称，则 $a =$ ，直线 $l$ 的方程为.

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14、两条直线 $l_{1} : x - y = 0$ 与 $l_{2} : 2 x - 2 y - 3 = 0$ 之间的距离是.

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15、椭圆 $\frac{y^{2}}{4} + x^{2} = 1$ 的长轴长为，焦点坐标分别为.

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16、蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ .已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的焦点在 $x$ 轴上， $A$ ， $B$ 为椭圆 $E$ 上任意两点，动点 $P$ 在直线 $x - \sqrt{3} y - 8 = 0$ 上.若 $∠ A P B$ 恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆 $E$ 离心率的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{1}{7})$ B、 $(0, \frac{6}{7})$ C、 $(0, \frac{\sqrt{21}}{7})$ D、 $(0, \frac{\sqrt{42}}{7})$

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17、已知直线 $l_{1} : x - λ y + 1 = 0$ ， $l_{2} : 2 x - 4 y + 7 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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18、经过点 $(1, - 1)$ 且倾斜角为45°的直线的方程为（）

A、 $x + y - 1 = 0$ B、 $x - y - 2 = 0$ C、 $x - y - 1 = 0$ D、 $x + y - 2 = 0$

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19、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D / / B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $P A = 1$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $B C = 1$ ， $A D = 2$ ， M是 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $C M / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成角的余弦值；

(3)、在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面 $P A Q$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{21}}{7}$ ？若存在，求出 $\frac{B Q}{B D}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $A B C D$ 是矩形， $P D = C D = 2. E$ 是 $P C$ 的中点，过 $E$ 作 $E F ⊥ P B$ 交 $P B$ 于点 $F$ ．

(1)、证明： $P B ⊥$ 平面 $D E F$ ；

(2)、若 $P C$ 与平面 $D E F$ 所成角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值．

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