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相关试卷

1、设 $z$ 是复数且 $|z - 1 + 2 i| = 1$ ，则 $|z|$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $\sqrt{5} - 1$ D、 $\sqrt{5}$

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2、已知函数 $f (x) = m \cdot 4^{x} - 2^{x}$ ，若存在非零实数 $x_{0}$ ，使得 $f (- x_{0}) = f (x_{0})$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是.

A、 $(0, \frac{1}{2})$ B、 $(0, 2)$ C、 $[\frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $[2, + \infty)$

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3、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (3, 1)$ ，向量 $\vec{c}$ 满足 $\vec{c} ⊥ \vec{a}$ ， $\vec{a} / / (\vec{c} + \vec{b})$ ，则 $\vec{c} =$ （　　）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(2, - 1)$ C、 $(- 2, 1)$ D、 $(2, 1)$

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4、 $α \neq β$ 是 $\sin α \neq \sin β$ 的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充分必要条件 D、既非充分又非必要条件

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5、某企业生产某种产品的年固定成本为1000万元，每生产 $x$ 千件，需另投入生产成本 $C (x)$ （万元）.若年产量 $x$ 低于100千件，则生产成本 $C (x) = x^{2} - 90 x + 1200$ ；若年产量 $x$ 不低于100千件时，则生产成本 $C (x) = \frac{41 x}{4} + \frac{3600}{x} - 1390$ .每千件产品售价为10万元，且生产的产品能全部售完.（“年利润” $=$ “年总收入” $-$ “生产成本” $-$ “固定成本”）

(1)、写出年利润 $y$ （万元）关于年产量 $x$ （千件）的函数解析式；

(2)、当年产量为多少千件时，企业所获得年利润最大？最大利润是多少？

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6、设 $F (x)$ 是定义在 $I$ 上的函数，若存在正实数 $m$ ，使得对任意的 $x \in I$ ，都有 $F (x + m) \geq F (x)$ 成立，则称函数 $F (x)$ 具有性质 $P (m)$ ．

(1)、判断函数 $f (x) = 2^{x} - 2 x$ ， $x \in [1, + \infty)$ 是否具有性质 $P (1)$ ，并说明理由．

(2)、是否存在正实数 $m$ ，使得函数 $g (x) = cos x (x \in R)$ 具有性质 $P (m)$ ？若存在，求出 $m$ 的取值集合；若不存在，说明理由．

(3)、若函数 $h (x) = \{\begin{array}{l} x, x \in A, \\ {(x - 1)}^{2} + 2, x \in ∁_{R} A \end{array}$ 同时满足下列条件，求所有可能的非空数集 $A$ ：① $h (x)$ 具有性质 $P (2)$ ；② $\forall x \in R$ ，都有 $h (- x) \neq - h (x)$ ．

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7、设函数 $f (x) = ln \frac{1 - x}{1 + x}$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性并予以证明；

(2)、设 $a, b \in (- 1, 1)$ ，经研究，此时有 $\frac{a + b}{1 + a b} \in (- 1, 1)$ ，证明： $f (a) + f (b) = f (\frac{a + b}{1 + a b})$ ；

(3)、设 $- 1 < a < b < 1$ ，且 $f (\frac{a - b}{1 - a b}) = 2$ ，若 $\forall x_{1}, x_{2} \in [a, b]$ ， $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < k$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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8、某科研单位的研究人员对某种细菌的繁殖情况进行了研究，在培养皿中放入了一定数量的细菌，经过1小时细菌的数量变为12个，再经过2小时细菌的数量变为27个，并发现该细菌的个数增长的速度越来越快．现该细菌数量 $y$ （单位：个）与经过时间 $x$ （ $x \in N$ ，单位：小时）的关系有以下两个函数模型可供选择：① $y = k a^{x} (k > 0, a > 1)$ ；② $y = p \sqrt{x} + q (p > 0)$ ．

(1)、试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

(2)、求开始时放入的细菌的数量，并求至少经过几个小时该细菌的数量多于开始放入时的100000倍．（参考数据： $lg 2 \approx 0.3010$ ， $lg 3 \approx 0.4771$ ）

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9、已知函数 $f (x) = A sin(ω x + \frac{π}{6}) (x \in R, ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，且 $f (0) = 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式及其单调递减区间；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6}, \frac{7 π}{12}]$ 上的最大值与最小值．

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10、设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 3 x - 28 \geq 0\}$ ，集合 $B = \{x ∣ a - 1 \leq x \leq 2 a - 1\}$ ．

(1)、当 $a = 4$ 时，求 $(∁_{U} A) \cap B$ ；

(2)、若 $B \neq \emptyset$ ，且“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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11、设函数 $f (x) = 3^{[sin x]} + 4^{[cos x]}$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[3.2] = 3$ ， $[2] = 2$ ， $[- 0.5] = - 1$ ，则 $f (\frac{5 π}{6}) =$ ，集合 ${y | y = f (x), x \in R}$ 中所有元素之积为

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12、 ${log}_{4} 5 \times {log}_{5} 8 + 2^{1 + {log}_{2} 5} + {(\frac{16}{81})}^{- \frac{1}{4}} =$ ．

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13、函数 $y = \frac{\sqrt{3 - x}}{3 + x}$ 的定义域为．

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14、已知不等式 $f (x) = k x^{2} + (2 k - 1) x - 2$ ，下列说法正确的有（）

A、若 $k = - \frac{1}{2}$ ，则不等式 $f (x) > 0$ 的解集为 $\emptyset$ B、若 $k > 0$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $\{x |- 2 < x < \frac{1}{k}\}$ C、若 $\forall x \in R$ ， $f (x) + x < 0$ 恒成立，则整数 $k$ 的取值集合为 $\{- 1\}$ D、若恰有两个整数 $x$ 使得不等式 $f (x) < 0$ 成立，则实数 $k$ 的取值范围是 $\{k ∣ k \geq 1\}$

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15、已知 $x y > 0$ 且 $2 x + y = 2$ ，则（）

A、 $0 < x < 1$ B、 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} \leq \frac{9}{2}$ C、 $16^{x} \times 4^{y} = 16$ D、 $16^{x} + 4^{y} \geq 8$

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16、已知角 $θ$ 的终边经过点 $(- 2, \sqrt{5})$ ，则下列选项正确的有（）

A、 $θ$ 可能为锐角 B、 $sin θ = \frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $cos θ = - \frac{2}{3}$ D、点 $(tan θ, cos θ)$ 在第二象限

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17、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，当 $x \leq 0$ 时 $f (x) = e^{x} + 1$ ，且 $y = f (x + 1)$ 的图象关于 $x = - 1$ 对称．对于给定的正数 $λ$ ，定义函数 $g (x, λ) = \{\begin{matrix} f (x), f (x) \leq λ \\ λ, f (x) > λ \end{matrix}$ ，若函数 $y = g (x, \frac{3}{2}) - m$ 有零点，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(1, \frac{3}{2}]$ B、 $(0, \frac{3}{2}]$ C、 $[\frac{3}{2}, 2]$ D、 $[\frac{3}{2}, + \infty)$

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18、已知 $cos α + sin α = \frac{\sqrt{7}}{4}$ ， $α \in (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ ，则 $\frac{sin α}{1 - tan α}$ 的值为（）

A、 $\frac{9}{40}$ B、 $- \frac{9}{40}$ C、 $\frac{9}{20}$ D、 $- \frac{9}{20}$

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19、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m + 1) x^{m - 1}$ 是 $R$ 上的偶函数，且函数 $g (x) = f (x) + (4 - 2 n) x$ 在区间 $[1, 5]$ 上单调，则实数 $n$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 3]$ B、 $[7, + \infty)$ C、 $[3, 7]$ D、 $(- \infty, 3]\cup[7, + \infty)$

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20、设 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{\frac{1}{2}} + 2,0 < x < 1, \\ 2 x, x \geq 1 \end{matrix}$ ，若 $f (a - 1) = f (a)$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、1 D、 $\frac{5}{8}$

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