相关试卷

1、如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D$ 交 $O A$ 于点M，且 $∠ D M B = 45 °$ ，若 $M C = 2$ ， $M D = 4$ ，则 $⊙ O$ 的半径为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、3 D、4

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2、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、 $a b c > 0$ B、 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ C、 $4 a + 2 b + c < 0$ D、 $2 a + b = 0$

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3、已知一元二次方程 $x^{2} + 6 x + 1 = 0$ 配方后可变形为 ${(x + 3)}^{2} = k$ ，则 $k$ 的值为（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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4、下列乐谱符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5、综合与实践活动课上，老师让同学们以“折纸作 $60 ° ， 30 ° ， 15 °$ 的角”为主题开展数学活动．
【操作判断】
（1）①如图①，对折矩形纸片 $A B C D$ ，使 $A D$ 与 $B C$ 重合，得到折痕 $E F$ ，把纸片展平在 $A D$ 上选一点P，沿 $B P$ 折叠，使点A落在 $E F$ 上的点M处，把纸片展平，连接 $P M ， B M$ ．则 $∠ A B P =$ ______．
②如图②，在前面操作的基础上，延长 $P M$ 与 $B C$ 交于点N，则 $△ B N P$ 的形状是______．
【迁移探究】
（2）小明将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长 $P M$ 与 $C D$ 交于点Q，连接 $B Q$ ．
如图③，若改变点P在 $A D$ 上的位置(点P不与点A，D重合)，判断 $∠ M B Q$ 与 $∠ C B Q$ 的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）在（2）的探究中，已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $9 cm$ ，当P是边 $A D$ 的三等分点时，求出 $C Q$ 的长．

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6、问题呈现：对于任意正实数x、y，由于 ${(\sqrt{x} - \sqrt{y})}^{2} \geq 0$ ，所以有 $x - 2 \sqrt{x y} + y \geq 0$ ，于是 $x + y \geq 2 \sqrt{x y}$ ，只有当 $x = y$ 时， $x + y = 2 \sqrt{x y}$ 才成立．也就是说，若 $x y$ 为定值 $p$ ，则当 $x = y$ 时， $x + y$ 有最小值 $2 \sqrt{p}$ ．

(1)、若 $n > 0$ ，则只有当 $n =$ _______时， $n + \frac{4}{n}$ 有最小值______．

(2)、数学思考：现有面积为1的矩形 $A B C D$ ，直接写出其周长的最小值_______．

(3)、拓展运用：如图，在平面直角坐标系中，已知 $A (- 3, 0)$ ， $B (0, - 4)$ ，点 $P (x, y)$ 为第一象限内一动点，过P分别向坐标轴作垂线，分别交x、y轴于C、D两点，矩形 $O C P D$ 的面积始终为12，设四边形 $A B C D$ 的面积为S，当四边形 $A B C D$ 的面积S最小时，试判断四边形 $A B C D$ 为何种特殊形状的平行四边形，求出最小值并说明理由．

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7、在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O$ ， E，F，G，H分别是 $A D ， B D ， B C ， A C$ 的中点．

(1)、求证：四边形 $E F G H$ 是平行四边形；

(2)、若 $A B = C D = 6$ ，求证：四边形 $E F G H$ 是菱形．

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8、先阅读，再解答．由 $(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = {(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2} = 3$ 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ．请完成下列问题：

(1)、 $\sqrt{3} + 1$ 的有理化因式是_____； $\frac{3}{3 + \sqrt{6}} =$ _____．

(2)、利用这一规律计算： $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2025} + \sqrt{2024}}) (\sqrt{2025} + 1)$ 的值．

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9、已知一次函数的图象经过 $(3, 5)$ 和 $(4, 9)$ 两点．

(1)、求这个一次函数的解析式；

(2)、若点 $(a, 2)$ 在这个函数图象上，求 $a$ 的值．

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10、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $C D = 3$ ， $A D = \sqrt{14}$ ．

(1)、求证： $∠ A C D =90 °$

(2)、求四边形 $A B C D$ 的面积．

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11、已知直线 $y = 2 x + 4$ ，回答下列问题：

(1)、与y轴交点A的坐标为_______．

(2)、求与x轴的交点B的坐标；

(3)、求线段 $A B$ 的长度

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12、拖拉机开始工作时，油箱中有油60L，每小时耗油5L．

(1)、写出油箱中的余油量Q（L）与工作时间t（h）之间的函数关系式；

(2)、写出自变量t的取值范围；

(3)、拖拉机工作4小时后，油箱余油是多少?

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13、如图，若输入 $x$ 的值为 $5$ ，则输出的结果．

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14、如图，矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点 $O$ ，若 $A B = 2$ ， $∠ A C B = 30 °$ ，则 $B C$ 的长度为．

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15、如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $A E$ 平分 $∠ B A D$ ，交 $B C$ 于点E，且 $∠ A D C = 60 °$ ， $A D = 2 A B$ ，连接 $O E$ ．下列结论：① $△ A B E$ 为等边三角形；② $∠ B A C = 90 °$ ；③ $O D = A B$ ；④ $S_{△ A O D} = 2 S_{△ O C E}$ ．正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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16、一天，小明吃完晚饭出去散步，从家出发沿直线匀速走了20分钟到达离家900米的书店，看了10分钟的书后，原路原速返回家，则表示小明离家距离与时间之间关系的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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17、如图，菱形的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $E$ 是 $C D$ 的中点，且 $O E = 2.5$ ，则 $C D$ 的长是（）

A、2.5 B、3 C、4 D、5

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18、以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（）

A、 $1 ， 1 ， 2$ B、 $2 ， 3 ， 4$ C、 $3 ， 4 ， 5$ D、 $4 ， 5 ， 7$

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19、如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0, 3)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ．点 $M$ 是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为 $m (0 < m < 3)$ ．过点 $M$ 作 $M N ⊥ x$ 轴，与 $B C$ 交于点 $N$ ，连接 $C M$ ， $B M$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、求线段 $M N$ 的最大值；

(3)、是否存在以 $C N$ 为腰的等腰三角形 $C M N$ ？若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

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20、如图， $⊙ O$ 是 $△ A E D$ 的外接圆， $A D$ 为直径，点 $C$ 是劣弧 $\overset{⌢}{E D}$ 的中点，连接 $A C$ ， $C D$ ，过点 $C$ 作 $C B$ 交 $A D$ 的延长线于点 $B$ ，使得 $∠ B C D = ∠ D A C$ ．

(1)、求证： $B C$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $C D^{2} = C F \cdot A C$ ；

(3)、若 $⊙ O$ 的半径 $O A = 5$ ， $\sin B = \frac{3}{5}$ ，求 $C F$ 的长度．

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