相关试卷

1、【概念感知】定义：我们将一组邻边相等且其中一边邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形．（凸四边形是指所有内角均小于 $180 °$ 的四边形）
例如：如图1，在四边形 $A B C D$ 中，如果 $B A = B C, ∠ C = 90 °$ ，那么四边形 $A B C D$ 为单直邻等四边形．
【实践与操作】
（1）如图2，已知 $∠ A = 90 °$ ，请利用尺规作图，在射线 $A M$ 上画出点 $D$ ，并补全四边形 $A B C D$ ，使四边形 $A B C D$ 是单直邻等四边形．（保留作图痕迹，不用写作法）；
（2）如图3， $△ A B C$ 为等边三角形，点 $E$ 在 $∠ A B C$ 的角平分线上，连接 $E A$ ，将 $E A$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到线段 $E D$ ，连接 $C D, A D$ ．
求证：四边形 $A B C D$ 为单直邻等四边形；
【拓展应用】
（3）如图4，四边形 $A B C D$ 为单直邻等四边形， $∠ B C D = 90 °, A B = B C = \sqrt{3}$ ，连接 $B D$ ，若 $∠ C B D = 30 °$ ， $B D = A D$ ，作 $∠ D A E = 30 °$ ，且 $D E ⊥ A E$ ，连接 $C E$ 并延长交 $B D$ 于点 $F$ ，交 $A B$ 于点 $M$ ．求 $C M$ 的长；
【解决问题】
（4）如图5，射线 $C F ⊥ C D$ 于点 $C$ ， $∠ E C F = 30 °$ ， $C D = 4 \sqrt{3}$ ，点 $A$ 在射线 $C E$ 上， $D A = \sqrt{39}$ ，点 $B$ 在射线 $C F$ 上，且四边形 $A B C D$ 为单直邻等四边形， $∠ A B C$ 的角平分线交 $C D$ 于点 $P$ ，请直接写出 $B P$ 的长____________．

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2、城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径，如图1是2025年深圳地铁线路图，小方了解到列车从后海站开往南山站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后两秒滑行的距离．为了解决这个问题，小方通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离 $s$ （米）与滑行时间 $t$ （秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题．

(1)、建立模型
①收集数据
$t$ （秒）
0
4
8
12
16
20
24
$s$ （米）
256
196
144
100
64
36
16
②建立平面直角坐标系
为了观察 $s$ （米）与 $t$ （秒）的关系，建立如图2所示的平面直角坐标系．
③描点连线
请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接．
④选择函数模型
观察这条曲线的形状，它可能是________函数的图象．
⑤求函数解析式
解：设 $s = a t^{2} + b t + c (a \neq 0)$ ，因为 $t = 0$ 时， $s = 256$ ，所以 $c = 256$ ，则 $s = a t^{2} + b t + 256$ ．
请根据表格中的数据，求 $a, b$ 的值．
验证：把 $a, b$ 的值代入 $s = a t^{2} + b t + 256$ 中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式．

(2)、应用模型列车从减速开始经过_______秒，列车停止；最后两秒钟，列车滑行的距离为________米．

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3、一把直尺如图所示放置在直角坐标系上，直尺的零刻度与原点重合，且直尺一边与y轴正半轴夹角为 $60 °$ ，对边经过x轴上点 $A (2, 0)$ 和双曲线上的点B，双曲线上的点C正好对着直尺上的刻度2．（直角坐标系中单位长度与直尺刻度单位长度一致．）

(1)、求该反比例函数的解析式；

(2)、求点B的坐标．

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4、 $2025$ 年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略．国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动．为了帮助学生更好地管理体重，广州某初中学校开展了一项体重管理计划，随机抽取了 $100$ 名学生进行体重指数 $(BMI)$ 调查． $BMI$ 的计算公式为： $BMI = \frac{体重 (kg)}{{[身高 (m)]}^{2}}$ ，根据世界卫生组织的标准，
$BMI$ 分类如下：
$BMI$ 范围
分类
$BMI < 18.5$
体重过轻
$18.5 \leq BMI < 24$
体重正常
$24 \leq BMI < 28$
超重
$BMI \geq 28$
肥胖
调查结果如表所示：
分类
人数
体重过轻
$10$
体重正常
$50$
超重
$30$
肥胖
$10$

(1)、小明身高为 $1 .6m$ ， $BMI$ 指数为 $20$ ，则小明的体重为__________ $kg$ ；

(2)、以下是部分统计图表，请根据表格数据补齐空缺部分．

(3)、学校计划从体重正常的 $2$ 个男生和 $2$ 个女生中，抽取 $2$ 名学生介绍体重管理经验，求抽取出来的学生恰好是一男一女的概率．

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5、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，点E为边 $B C$ 上一动点，点F为 $A E$ 中点，点G为 $D E$ 上一点，满足 $E F = F G$ ，连接 $C G$ ，则 $C G$ 的最小值为．

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6、如图，已知一块圆心角为 $216 °$ 的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），此圆锥形的烟囱帽底面圆的直径是 $60 cm$ ，则它的高是．

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7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若BC＝6，AC＝8，则tan∠ACD的值为．

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8、一次函数 $y = 2 x + 1$ 图象上有两点 $(2, y_{1})$ ， $(- 1, y_{2})$ ，则 $y_{1}$ $y_{2}$ （填 $>$ ， $<$ ， $=$ ）

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9、分解因式： $a^{2} - 8 a =$ ．

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10、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A C$ 为对角线， $A F$ 平分 $∠ C A B$ 交 $B C$ 于点F，点E是 $C D$ 上一点，连接 $A E$ 、 $E F$ ，若 $∠ E A F = 45 °$ ， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ，则 $\frac{A E}{D E}$ 的值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的顶点坐标为 $(- 1, n)$ ，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（）

A、 $a < 0, c > 0$ B、当 $x < - 2$ 时，y随x的增大而增大 C、二次函数图象与x轴有两个交点 D、二次函数的最小值为n

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12、如图，在平面直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 的边 $A D$ 在 $x$ 轴上，顶点 $A, B$ 的坐标分别为 $(- 1, 0), (0, 2)$ ，顶点 $C$ 的坐标为（）．

A、 $(2, 2)$ B、 $(\sqrt{5}, 2)$ C、 $(2, \sqrt{5})$ D、 $(\sqrt{3}, 2)$

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13、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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14、 $- \frac{1}{3}$ 的相反数是（）

A、 $- 3$ B、3 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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15、如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 与一次函数 $y = 2 x + m$ 的图象交于点 $A (1, 6)$ ， $B C ⊥ y$ 轴于点D，分别交反比例函数与一次函数图象于点B，C．连接 $A B ， A D$ ．

(1)、求反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 与一次函数 $y = 2 x + m$ 的表达式；

(2)、当 $O D = 1$ 时，求 $△ A B C$ 的面积．

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16、解不等式组： $\{\begin{array}{l} 3 (x + 2) \geq 2 x + 5 ① \\ 1 > \frac{x - 2}{3} ② \end{array}$

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17、计算： $\sqrt{2} \times \sqrt{8} - \sqrt{12}$ ．

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18、有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数 $y = - \frac{3}{16} x^{2} + b x$ 来表示，已知 $O K = 8$ 米．若借助横梁 $S T (S T ∥ O K)$ 建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁 $S T$ 的长度是米．

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19、赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．图 $1$ 是北京国际数学家大会的会标，它取材于“弦图”，．若图 $1$ 中大正方形的面积为 $24$ ，小正方形的面积为 $4$ ，现将这四个直角三角形拼成图 $2$ ，则图 $2$ 中大正方形的面积为（）

A、 $44$ B、 $40$ C、 $36$ D、 $24$

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20、白银大碗面中含有丰富的蛋白质和碳水化合物，想要成就一碗香喷喷的，美味的大碗面，靖远牛肉，景泰面粉，平川胡椒，会宁蒜苗缺一不可．为了了解外地游客对大碗面口味的喜爱程度，当地相关部门随机调查了部分游客的意见（A不满意；B一般；C非常满意；D较满意；E不清楚，五者任选其一）．根据调查情况进行统计，绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图．根据统计图中的信息，下列结论错误的是（）

A、选择“C满意”的人数最多 B、抽样调查的样本容量是 $240$ C、样本中“A不满意”的百分比为 $10 %$ D、若到白银吃大碗面的人数为 $800$ ，则觉得口味“ $B$ 一般”的人数大约为 $160$

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