相关试卷

1、合并同类项 $7 a b - 6 a b$ 的结果等于（）

A、 $a b$ B、 $- a b$ C、1 D、 $- 1$

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2、如图①，在平面直角坐标系中，以点 $P (- 1, 0)$ 为圆心的圆，交x轴于B，C两点（B在C的左侧），交y轴于A，D两点（A在D的下方） $A D = 2 \sqrt{3}$ ．
【问题提出】
（1）直接写出B、C两点的坐标；
【问题探究】
（2）如图②，将 $△ A B C$ 绕点P旋转 $180 °$ 得到 $△ M C B$ ，试说明四边形 $A C M B$ 的形状，并求出点M的坐标；
【问题解决】
（3）在一次数学建模设计大赛上，智慧组操作的四个电子机器人A，B，M，C一开始均在如图③所示的 $⊙ P$ 上，其中 $B C$ 是 $⊙ P$ 的直径，四边形 $A B M C$ 是矩形．表演开始后，机器人B先从点B出发，沿直线 $B C$ 与直线 $B M$ 之间的某个直线方向运动到 $C M$ 上的点E处，然后立即调整方向，沿垂直 $B C$ 的方向运动到 $B C$ 上的点G处停止；机器人M沿直线先运动到 $B E$ 的中点Q处，再沿 $Q G$ 方向运动到点G处和机器人B汇合．请你通过计算分析，机器人M的两次运动路线形成的 $∠ M Q G$ 的大小是否为定值？若是定值，请计算这个定值；若不是定值，请说明理由．

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3、先化简，再求值： $(2 - \frac{4}{x - 1}) \cdot \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 6 x + 9}$ ，其中 $x = 4$ .

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4、阅读材料，完成下列任务：

材料一；

材料二：

我们可以用以下方法表示无理数 $\sqrt{7}$ 的小数部分．

我们可以用以下方法求无理数 $\sqrt{107}$ 的近似值（保留两位小数）．

∵ $4 < 7 < 9$ ，

∴ $\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$ ，即 $2 < \sqrt{7} < 3$ ，

∴ $\sqrt{7}$ 的整数部分为2，

∴ $\sqrt{7}$ 的小数部分为 $\sqrt{7} - 2$ ．

∵面积为107的正方形的边长是 $\sqrt{107}$ ，且 $10 < \sqrt{107} < 11$ ． ∴设 $\sqrt{107} = 10 + x$ ，其中 $0 < x < 1$ ，画出边长为 $10 + x$ 的正方形，如图1：根据图中面积，得 $10^{2} + 2 \times 10 x + x^{2} = 107$ ，当 $x^{2}$ 较小时，忽略 $x^{2}$ ，得 $100 + 20 x = 107$ ．解得 $x = 0.35$ ．

∴ $\sqrt{107} = 10 + x = 10.35$ ．

任务：

(1)、利用材料一中的方法，

\sqrt{27}

的小数部分是；

(2)、x是

\sqrt{15} - 2

的小数部分，y是

5 - \sqrt{15}

的小数部分，则

x + y

的值是多少？

(3)、利用材料二中的方法，探究

\sqrt{127}

的近似值（保留两位小数，并写出求解过程）

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5、如图，将平行四边形 $A B C D$ 绕点A旋转 $α °$ 得到平行四边形 $A B^{'} C^{'} D^{'}$ ，点B'落在边CD上，若 $∠ C = 76 °$ ，当 $B 、 B^{'} 、 C^{'}$ 三点共线时， $α$ 等于．

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6、新定义：如果二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象经过点 $(- 1, 0)$ ，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”．

(1)、若抛物线 $y = x^{2} - e x + 2$ 是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式．

(2)、已知抛物线 $y = m x^{2} + n x - m + n$ （ $m$ ， $n$ 为常数，且 $m \neq 0$ ）．
①求证：该抛物线为“定点抛物线”；
②若 $m < 0$ ，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点 $(2, s)$ ， $(k, t)$ ，当 $s < t$ 时，求 $k$ 的取值范围．

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7、2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用 $x$ 表示，共分为四组：A： $x < 70$ ；B： $70 \leq x < 80$ ；C： $80 \leq x < 90$ ；D： $90 \leq x \leq 100$ ，下面给出了部分信息：
10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100．
10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，86
20名同学对《哪吒2》评分统计表
性别
平均数
众数
中位数
方差
满分占比
女生
88
a
90
112.2
10%
男生
88
100
b
200.2
50%
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、上述图表中的 $a =$ ___________ $b =$ ___________， $m =$ ___________

(2)、根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可）

(3)、我校初三年级有500名女生和600名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？

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8、解方程： $\frac{4 x}{x^{2} - 9} - 1 = \frac{2}{x + 3} - \frac{2}{x - 3}$ ．

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9、先化简，再求值： $\frac{m}{m + 1} \div \frac{m^{2} + 2 m}{m^{2} - 1} + (1 + \frac{1}{m + 1}) \cdot \frac{2 m + 2}{m^{2} + 4 m + 4}$ ，其中 $m = - \sqrt{3}$ ．

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10、已知一组数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的平均数为4，方差是 $3.2$ ，则另一组数据 $2 x_{1} + 2, 2 x_{2} + 2, 2 x_{3} + 2, 2 x_{4} + 2, 2 x_{5} + 2$ 的平均数和方差分别是（）

A、4，5.2 B、8，6.4 C、10，12.8 D、12，16

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11、在一条笔直的公路上A、B两地相120km，甲车从A地开往B地，乙车从B地开往A地，甲比乙先出发．设甲、乙两车距A地的路程为y千米，甲车行驶的时间为x小时，y与x之间的关系如图所示，下列说法错误的是（）

A、甲车的速度比乙的速度慢 B、甲车出发1小时后乙才出发 C、甲车行驶了2.8h或3.2h时，甲、乙两车相距10km D、乙车达到A地时，甲车离A地90km

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12、《孙子算经》下卷第28题译成现代文意思是：现有甲乙二人，身边各有多少钱，不清楚．如果甲的钱数加上乙的钱数的一半，钱数一共是48；如果乙的线数加上甲的钱数的 $\frac{2}{3}$ ，钱数一共也是48．问甲乙二人各有多少钱？（）

A、24，36 B、36，18 C、36，24 D、24，18

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13、如图，已知 $E$ ， $F$ 是正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上的两点， $A C = 8$ ， $A E = C F = 2$ ，则四边形 $B E D F$ 的周长是（）

A、8 B、 $8 \sqrt{5}$ C、 $4 \sqrt{5}$ D、4

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14、2025年春节假期，兰州市旅游收入约42亿元，将42亿用科学记数法表示为（）

A、 $4.2 \times 10^{8}$ B、 $4.2 \times 10^{9}$ C、 $42 \times 10^{8}$ D、 $0.42 \times 10^{10}$

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15、观察如图所示的三种视图，与之对应的物体是( )

A、 B、 C、 D、

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16、【问题提出】小丽在 $A I$ 上自主学习时，看到一个结论：对于任何一个封闭的平面图形，存在一条直线既平分周长，又平分面积．于是小丽利用初中所学知识进行初步验证．
【问题探究】
（1）小丽先选择了几个特殊图形进行验证，如图，请你在三个图形中任选两个，分别作一条直线，使这条直线既平分你所选图形的周长，又平分它的面积；
（2）如图，小丽在直角三角形 $A B C$ 中，作出一条直线 $E F$ ，交 $A C$ 于点E、交 $B C$ 于点F，直线 $E F$ 既平分 $△ A B C$ 的周长，又平分 $△ A B C$ 的面积．请根据小丽所给的数据计算：若 $∠ B = 90 °$ ， $B C = 3$ ， $A B = 4$ ， $C E = a$ ，用含有a的代数式表示 $F C =$ ，并求a的值；
【问题解决】
（3）小丽家所在小区平面示意图如图，小区为方便居民出行，准备修一条笔直的道路（路宽不计），使这条道路所在的直线既平分四边形 $A B C D$ 的周长，又平分四边形 $A B C D$ 的面积．小丽利用所学知识进行思考，通过测量示意图得到 $A D ∥ B C$ ， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $B C = 6$ ， $C D = 5$ ， $A D = 3$ ．若该道路的一个出口在 $D C$ 边上，请帮小丽在图中画出这条直线，并在图中标出所有线段的长度．

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17、某校为学生拍毕业照设计了一个拱门，该拱门的横截面由线段 $A O, B C$ 和一段抛物线构成， $A O, B C$ 垂直于地面．将其截面放入平面直角坐标系如图1所示，点O为坐标原点，已知 $A O = B C = \frac{3}{2} m$ ，抛物线顶点E的坐标为 $(3, \frac{7}{2})$ ．

(1)、求拱门抛物线的函数关系式；

(2)、现要在抛物线与地面围成的区域中用 $P Q$ ， $P N$ ， $N M$ 三根钢架隔出正方形区域 $Q P N M$ 供师生拍照留念，点P，N在抛物线上，点Q，M在地面上，求此正方形的边长；

(3)、如图2，在拱门上安装彩灯，要求彩灯到地面的垂直距离为 $\frac{5}{2} m$ ，每两个相邻彩灯之间的水平距离相等且不超过 $1 m$ ，左右外侧的两个彩灯安装在拱门的抛物线上．求至少需要安装彩灯的个数．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4$ ）

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18、如图，已知 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，直径 $C E$ 平分∠ACB，交 $A B$ 于点D，交 $⊙ O$ 于点E，连接 $A O ， B O$ ．

(1)、填空： $∠ A O D$ $∠ B O D$ （选填“＜”、“＞”或“＝”）；

(2)、用尺规在图中作直线 $G F$ ，使得直线 $G F$ 与 $⊙ O$ 相切于点C；（保留作图痕迹，不写作法）

(3)、判断 $A B$ 与 $G F$ 的位置关系，并说明理由．

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19、沿河土家族自治县位于乌江下游，被称为“乌江百里画廊”．某数学兴趣小组借助无人机测量乌江某段河道的宽度．如图，在河岸边的点C处，兴趣小组控制一架无人机沿倾斜角 $60 °$ 的方向飞行 $200 m$ 到达点A处，然后无人机又沿垂直于河道的方向水平飞行 $30 m$ 至点B处，此时测得河对岸D处的倾斜角为 $24 °$ ，图中点A，B，D，C在同一平面内．

(1)、求无人机从C飞到A时垂直上升的距离（结果保留根号）；

(2)、求该段河道的宽度 $C D$ （结果保留整数）．（参考数据： $\sin 24 ° \approx 0.4$ ， $\cos 24 ° \approx 0.9$ ， $\tan 24 ° \approx 0.4$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7$ ）

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20、贵州玉屏县被誉为“箫笛之乡”．玉屏县某中学举办“箫笛艺术节”活动，现需购买玉箫、玉笛若干支．已知玉萧单价比玉笛单价高10元，用1000元购买的玉萧数量与800元购买的玉笛数量相同．

(1)、求玉萧和玉笛的单价各是多少元？

(2)、学校计划购买玉箫与玉笛共30支，且玉箫的数量不少于玉笛数量的2倍，则学校最少需花费多少元？

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性别	平均数	众数	中位数	方差	满分占比
女生	88	a	90	112.2	10%
男生	88	100	b	200.2	50%