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1、如图，在锐角三角形ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，从每边中点分别作其余两边的垂线，这六条垂线围成六边形DPEQFR，设六边形DPEQFR的面积为 $S_{1}$ ， $△ A B C$ 的面积为S，则 $S_{1} : S =$ （）

A、3：5 B、2：3 C、1：2 D、1：3

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2、如图，矩形ABCD中，E为边AD上一点（不为端点）， $E F ⊥ A D$ 交AC于点F，要求 $△ F B C$ 的面积，只需知道下列哪个三角形的面积即可（）

A、 $△ E B C$ B、 $△ E B F$ C、 $△ E C D$ D、 $△ E F C$

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3、当m，n是实数且满足 $m - n = m n$ 时，就称点Q（m， $\frac{m}{n}$ ）为“奇异点”，已知点A、点B是“奇异点”且都在反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象上，点O是平面直角坐标系原点，则 $△ O A B$ 的面积为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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4、如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=4，将△ABC沿直线AC翻折180后与原图形在同一平面内，若点B的落点记为B^' ，则DB'的长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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5、某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了（）

A、2x% B、1+2x% C、（1+x%）·x% D、（2+x%）·x%

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6、已知 $\sqrt{7} = a$ ， $\sqrt{70} = b$ ，则 $\sqrt{4.9}$ 用a，b表示为（）

A、 $\frac{a + b}{10}$ B、 $\frac{a - b}{10}$ C、 $\frac{b}{a}$ D、 $\frac{a b}{10}$

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7、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ C A B = ∠ C A D, ∠ A B C$ $= ∠ A C D, A E ⊥ B C$ 于 $E, A F ⊥ C D$ 于 $F, H$ 为 $△ A E F$ 的垂心，求证： $D 、 H 、 B$ 三点共线.

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8、是否存在正整数 $a, b, c$ 满足 $(a + b + c) (a + b - c)$ $(b + c - a) (c + a - b) = 24$ . 若存在请求出值；若不存在请说明理由.

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9、已知 $f (x) = x^{n} + a x + b$ ，满足 $f (1) = 8, f (- 1)$ $= 0, f (2) = 18, f (3) = 40$ .

(1)、求 $f (x)$ ；

(2)、对于任意整数 $x$ ，使得 $f (x) \geq k (x^{2} + x)$ 恒成立，求 $k$ 的最大值.

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10、现有 $x, y, z$ 三个正整数， $\frac{x (y + 1)}{x - 1}, \frac{y (z + 1)}{y - 1}, \frac{z (x + 1)}{z - 1}$ 均为正整数，求 $x y z$ 的最大值与最小值之和.

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $\frac{B D}{C D} = p, \frac{C E}{A E} = q, \frac{A F}{B F} = r$ ，则 $\frac{S_{△ P Q R}}{S_{△ A B C}} =$ .

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12、已知 $x = \sqrt{x - \frac{1}{x}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}}$ ，则 $x =$ .

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13、现有数列 $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, \dots \dots$ ，则第 2024 项除以 5 的余数是.

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14、如图， $△ A B C$ 是直角三角形， $A B = 4, A C = 3$ ，三角形内有一圆且圆心在斜边 $B C$ 上，圆与 $A B, A C$ 相切，则圆的半径 $r =$ .

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15、小明有六件工艺品，四件正品，两件次品，小明对其进行逐一检查，检查次数小于等于三次的概率.

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16、令 $x = \sqrt{3} - 1$ ，则 $2 x^{2} + \frac{4}{x^{2}} + 2 x + 1 =$ .

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17、 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}$ 是 $1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7$ 的一个任意排序数列，令 $S = a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + a_{3} a_{4} + a_{4} a_{5} + a_{5} a_{6} + a_{6} a_{7} + a_{7} a_{1}$ ，则 $S$ 的最小值为 ( )

A、84 B、85 C、86 D、87

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18、 $X, Y$ 均为整数， ${(X^{2} + X + 1)}^{2} + {(Y^{2} + Y + 1)}^{2}$ 为完全平方数，则(X， Y)有几组 ( )

A、0 B、1 C、无数组 D、以上都不对

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19、已知 $(x^{2} - 1) (x^{2} - 4) = K$ 有四个非零实数根，且在数轴上对应的四个点等距排列，则 $K$ 的值为 ( )

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{7}{4}$ D、 $\frac{9}{4}$

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20、化简 $\sqrt{9 - 4 \sqrt{5}} =$ ( )

A、 $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5} - 2$ C、 $3 - \sqrt{7}$ D、 $\sqrt{7} - 3$

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