相关试卷

1、如图 $1$ ，等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， C B = C A$ ，直线 $E D$ 经过点 $C$ ，过点 $A 作 A D ⊥ E D$ 于点 $D$ ，过点 $B 作 B E ⊥ E D$ 于点 $E$ ，可以证明 $△ B E C ≌ △ C D A$ ，我们将这个模型称为“一线三直角” $.$ 接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：

(1)、如图 $2$ ，将一块等腰直角三角板 $A B C$ 放置在平面直角坐标系中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = B C$ ，点 $A 在 y$ 轴的正半轴上，点 $C 在 x$ 轴的负半轴上，点 $B$ 在第二象限，点 $A$ 坐标为 $(0,2) ， C$ 的坐标为 $(- 1,0)$ ，求点 $B$ 的坐标；

(2)、如图 $3$ ，在平面直角坐标系中，等腰 $R t △ A B C ， ∠ A C B = 90 ° ， A C = B C ， A B 与 y$ 轴交点 $D$ ，点 $C$ 的坐标为 $(0, - 1) ， A$ 点的坐标为 $(2,0)$ ，求点 $B$ 的坐标；

(3)、如图 $4$ ，等腰 $R t △ A B C ， ∠ A C B = 90 ° ， A C = B C$ ，当点 $C 在 x$ 轴正半轴上运动，点 $A (0, a) 在 y$ 轴正半轴上运动，点 $B (m, n)$ 在第四象限时，作 $B D ⊥ y$ 轴于点 $D$ ，请直接写出 $a ， m ， n$ 之间的关系．

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2、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于 $P ， Q$ 两点给出如下定义：若点P到k、轴的距离中的最大值等于点Q到k、y轴的距离中的最大值，则称 $P ， Q$ 两点为“等距点” $.$ 如图中的 $P ， Q$ 两点即为“等距点”．

(1)、已知点 $A$ 的坐标为 $(- 4,2)$ ，在点 $E (4,3) ， F (2, - 5) ， G (4, - 4)$ 中，为点 $A$ 的“等距点”的是；

(2)、若 $T_{1} (- 2, - k - 4) ， T_{2} (4,4 k - 2)$ 两点为“等距点”，求 $k$ 的值．

(3)、在 $(2)$ 的条件下，在备用图中画出这些“等距点”，并求出所围成的凸多边形的面积．

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3、 $2025$ 年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱 $.$ 某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表：
款式
成本元/件）
售价（元/件）
甲
$700$
$1000$
乙
$800$
$1200$
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、列方程（组）解应用题
若该厂投入 $230000$ 元来生产甲、乙两款服装共 $300$ 件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？

(2)、工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎 $.$ 工厂计划生产甲、乙两款服装共 $500$ 件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的 $2 倍 .$ 假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？

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4、如图，在 $▵ A B C$ 中， $A B = C B ， ∠ A B C = 90^{\circ} ， F 为 A B$ 延长线上一点，点 $E 在 B C$ 上，且 $B E = B F$ ．

(1)、求证： $▵ A B E ≌ ▵ C B F$ ；

(2)、若 $∠ C A E = 20^{\circ}$ ，求 $∠ A C F$ 的度数；

(3)、若 $B E = 1 ， C E = \sqrt{2}$ ，求证： $A E$ 平分 $∠ C A B$ ．

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5、如图，已知点 $P$ 是等边 $▵ A B C$ 内一点，连接 $P A ， P B ， P C ， D 为 ▵ A B C$ 外一点，且 $∠ D A P = 60^{\circ}$ ，连接 $D P ， D C ， A D = D P$ ．

(1)、求证： $▵ A D C ≌ ▵ A P B$ ．

(2)、若 $P A = 15 ， P B = 8 ， P C = 17$ ，求 $∠ A P B$ 的度数．

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6、如图，已知 $A C ⊥ B C ， B D ⊥ A D ， A C 与 B D$ 交于 $O ， A C = B D$ ．
求证：

(1)、 $B C = A D$ ；

(2)、 $△ O A B$ 是等腰三角形．

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7、如图，在正方形网格中，点 $A ， B ， C ， M ， N$ 都在格点上．

(1)、作 $△ A B C$ 关于直线 $M N$ 对称的图形 $△ A' B' C'$ ；

(2)、若网格中最小正方形的边长为 $1$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、在直线 $M N$ 上找一点 $P$ ，则 $P A + P C$ 的最小值为．

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8、

(1)、解不等式： $2 (3 + x) > 7$ ，并把解表示在数轴上；

(2)、解不等式组： $\{\begin{array}{l} x + 2 \leq 3 ① \\ \frac{1 + 2 x}{3} > x - 1 ② \end{array}$ ．

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9、如图，已知在 $R t ▵ A B C$ 中， $∠ B = 90^{\circ}, A B = 3, B C = 4$ ，点 $D ， E$ 分别在边 $B C ， A C$ 上，连接 $A D, D E . 将 ▵ A B D 沿 A D$ 翻折，将 $△ D C E 沿 D E$ 翻折，翻折后，点 $B ， C$ 分别落在点 $B', C'$ 处，且边 $D B' 与 D C'$ 在同一直线上，连接 $A C'$ ，当 $▵ A D C^{'}$ 是以 $A D$ 为腰的等腰三角形时，则 $B D =$ ．

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10、如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 ° ， A B = B C$ ，直线 $l_{1} 、 l_{2} 、 l_{3}$ 分别通过 $A 、 B 、 C$ 三点，且 $l_{1} / / l_{2} / / l_{3} . 若 l_{1} 与 l_{2}$ 的距离为 $4 ， l_{2} 与 l_{3}$ 的距离为 $6$ ，则 $R t △ A B C$ 的面积为．

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11、不等式 $3 (x - 1) \leq 5 - x$ 的正整数解为．

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12、如图，点 $P 是 ∠ A O B$ 内任意一点，且 $∠ A O B = 40 °$ ，点 $M$ 和点 $N$ 分别是射线 $O A$ 和射线 $O B$ 上的动点，当 $△ P M N$ 周长取最小值时，则 $∠ M P N$ 的度数为( )

A、 $140 °$ B、 $100 °$ C、 $50 °$ D、 $40 °$

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13、在 $△ A B C$ 中，边 $A B ， B C$ 的垂直平分线 $l_{1} 、 l_{2}$ 相交于点 $P$ ，若 $∠ P A C = x °$ ，则 $∠ 1$ 的度数是 $() °$ ．

A、 $90 - x$ B、 $x$ C、 $90 - \frac{1}{2} x$ D、 $60 - \frac{1}{2} x$

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14、“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的 $.$ 借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角 $.$ 这个三等分角仪由两根有槽的棒 $O A ， O B$ 组成，两根棒在 $O$ 点相连并可绕 $O$ 转动， $C$ 点固定， $O C = C D = D E$ ，点 $D ， E$ 可在槽中滑动，若 $∠ B D E = 75^{\circ}$ ，则 $∠ C D E$ 的度数是( )

A、 $60 °$ B、 $65 °$ C、 $75 °$ D、 $80 °$

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15、如图所示，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 68 ° ， B D$ 平分 $∠ A B C ， P$ 为线段 $B D$ 上一动点， $Q$ 为边 $A B$ 上一动点，当 $A P + P Q$ 的值最小时， $∠ A P B$ 的度数是( )

A、 $118 °$ B、 $125 °$ C、 $136 °$ D、 $124 °$

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16、若点 $P (- m, m - 3)$ 关于原点对称的点在第二象限，则 $m$ 的取值范围为( )

A、 $m > 3$ B、 $0 < m < 3$ C、 $m < 0$ D、 $m < 0 或 m > 3$

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17、如图，点 $E 、 H 、 G 、 N$ 共线， $∠ E = ∠ N ， E F = N M$ ，添加一个条件，不能判断 $△ E F G ≌ △ N M H$ 的是( )

A、 $E H = N G$ B、 $∠ F = ∠ M$ C、 $F G = M H$ D、 $F G / / H M$

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18、定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形。

(1)、【理解定义】
如图1，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D(B、C除外)，连接AD，把△ABD绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点D的对应点为E.请根据给出的定义判断，四边形ADCE是否为等补四边形，并说明理由。

(2)、【类比探究】
如图2，在等补四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，若四边形ABCD的面积为8，求BD的长.

(3)、【拓展应用】
如图3，在四边形ABCD中，AB=BC，∠A+∠C=180°，BD=a(a>0)，求四边形ABCD面积的最大值。(用含a的代数式表示)

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19、已知关于x的二次函数y=-x²+2bx+c(b，c为常数)，

(1)、若函数图象对称轴为直线x=2，求b的值。

(2)、若该函数解析式可以写成y=-(x-h)²+1，求证：c+b²=1.

(3)、设m>0，n>0，在(2)的条件下，当h-n≤x≤h+m时，函数的最大值与最小值差为10，求m+n的最大值.

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20、如图，有A，B两个转盘，其中转盘A被分成4等份，转盘B被分成3等份，并在每一份内标上数字，现甲、乙两人同时分别转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转)，若将A转盘指针指向的数字记为x，B转盘指针指向的数字记为y，从而确定点P的坐标为P(x，y）·

(1)、请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标。

(2)、在(1)的基础上，求点P落在反比例函数y= $\frac{12}{x}$ 图象上的概率，

(3)、记S=x+y，李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当S<m时甲获胜，否则乙获胜，若这个游戏是公平的，求m的值.(m取整数)

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款式	成本元/件）	售价（元/件）
甲	$700$	$1000$
乙	$800$	$1200$