相关试卷

1、一个布袋里放着4个黑球和2个白球，它们除了颜色以外没有其他区别.把布袋中的球搅匀后，从中任取3个球，则下列事件中属于必然事件的是（ )

A、3个都是黑球 B、有2个黑球和1个白球 C、有2个白球和1个黑球 D、至少有1个黑球

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2、若直线l与半径为5的⊙O相交，则圆心O到直线l的距离可能是（ )

A、4 B、5 C、6 D、7

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3、在Rt△ABC中， ∠C=90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠B的正弦值（ )

A、不变 B、扩大2倍 C、扩大4倍 D、缩小2倍

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4、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 10$ ， $A C = 8$ ．点 $M$ 是边 $A C$ 上一点，且 $A M = 6$ ．在 $A C$ 上方作射线 $A N ∥ B C$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线 $A N$ 运动，连结 $B M$ 、 $B P$ 、 $P M$ ．设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．

(1)、边 $B C$ 的长为______；

(2)、当 $△ A M P$ 为等腰三角形时，求 $t$ 的值；

(3)、当 $P M ⊥ A B$ 时，探究 $P M$ 与 $A B$ 有怎样的数量关系，并说明理由；

(4)、当 $△ B M P$ 为等腰三角形时，直接写出 $t$ 的值．

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5、【问题原型】在学完因式分解 $a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = {(a \pm b)}^{2}$ 之后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式 $- x^{2} + 2 x + 3$ 的最大值吗？
【初步思考】同学们经过交流、讨论，总结出如下方法：
解： $- x^{2} + 2 x + 3 = - (x^{2} - 2 x) + 3$
$= - (x^{2} - 2 x + 1 - 1) + 3$
$= - (x^{2} - 2 x + 1) + 1 + 3$
$= - {(x - 1)}^{2} + 4$ ．
$∵ {(x - 1)}^{2} \geq 0$ ，
$∴ - {(x - 1)}^{2} \leq 0$ ．
$∴ - {(x - 1)}^{2} + 4 \leq 4$ ．
$∴$ 当 $x - 1 = 0$ ，即 $x = 1$ 时， $- {(x - 1)}^{2} + 4$ 的值最大，最大值是4．
根据上面的方法，求代数式 $- x^{2} + 6 x + 5$ 的最大值；
【推广运用】某商品现在每件的利润为10元，每天的销售量为20件．市场调查发现：如果调整价格，每涨价1元，每天就要少卖1件商品．设每件商品涨价 $m$ 元．
（1）涨价 $m$ 元后，每件商品的利润为______元，每天的销售量为______件；（用含 $m$ 的代数式表示）
（2）求 $m$ 为何值时，每天的销售利润最大，并求出最大销售利润．（销售利润 $=$ 每件商品的利润 $\times$ 销售量）

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6、小明与小丽共同探究一道数学题：如图①，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是边 $B C$ 的中点， $∠ B A D = 65 °$ ， $∠ D A C = 50 °$ ， $A D = 2$ ，求 $A C$ 的长．
【探索发现】
小明的思路是：延长 $A D$ 至点 $E$ ，使 $D E = A D$ ，连接 $C E$ ，构造全等三角形；
小丽的思路是：过点 $C$ 作 $C E ∥ A B$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $E$ ，构造全等三角形．
请从小明和小丽的思路中选择一种方法，求 $A C$ 的长．
【类比应用】
如图②，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $O$ 是 $B D$ 的中点， $A B ⊥ A C$ ．
若 $∠ C A D = 45 °$ ， $∠ A D C = 67.5 °$ ， $A O = 2$ ，则 $A C$ 的长为______．

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7、为增强学生安全意识，某校举行了一次全校学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取 $n$ 名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（ $D : 60 \leq x < 70$ ； $C : 70 \leq x < 80$ ； $B : 80 \leq x < 90$ ； $A : 90 \leq x \leq 100$ ），并根据分析结果绘制了如下两幅不完整的频数分布直方图和扇形统计图．请根据图中信息，解答下列问题：

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、补全频数分布直方图，并在直方图上方注明人数；

(3)、求扇形统计图中 $C$ 等级所占的百分比；

(4)、求扇形统计图中 $B$ 等级所对应扇形圆心角的度数．

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8、已知关于 $x$ 的方程 $\frac{2 x + m}{x - 2} = 3$ ．

(1)、求方程的解（用含 $m$ 的代数式表示）；

(2)、若这个方程的解是正数，求 $m$ 的取值范围．

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9、如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A B D$ 中， $B C = A D$ ， $A C = B D$ ．求证： $A E = B E$ ．

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10、先化简，再求值： $(a - 2 b) (a + 2 b) + {(a + 2 b)}^{2} + 3 a^{2} b^{2} \div (- a b)$ ，其中 $a = \sqrt{2}$ ， $b = - 1$ ．

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11、计算： $\frac{x^{2} + 4 x + 4}{x^{2} - 4} - \frac{x}{x - 2}$ ．

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12、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ． $M$ 、 $N$ 分别是边 $A C$ 、 $B C$ 上的动点，且 $∠ M D N = 90 °$ ，连接 $M N$ ．给出下面四个结论：① $A M = C N$ ；② $△ D M N$ 是等腰直角三角形；③ $A M^{2} + B N^{2} = M N^{2}$ ；④ $N M$ 平分 $∠ C N D$ ．上述结论中，所有正确结论的序号是．

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13、如图，在 $△ A B C$ 中，在 $C A$ 、 $C B$ 上分别截取 $C D$ 、 $C E$ ，使 $C D = C E$ ，分别以点 $D$ 、 $E$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ A C B$ 内相交于点 $F$ ，作射线 $C F$ ，交 $A B$ 于点 $M$ ，过点 $M$ 作 $M N ⊥ B C$ 于点 $N$ ．若 $B M = C M = 5$ ， $B C = 8$ ，则点 $M$ 到 $A C$ 的距离为．

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14、计算： $2^{- 2} + {(\sqrt{5})}^{0} =$ ．

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15、分解因式： $x^{2} - 5 x + 6 =$ ．

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点 $D$ ，连接 $A D$ ．若 $A C = 2$ ， $A D = \sqrt{5}$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $\sqrt{3} + 1$ C、 $\sqrt{5} - 1$ D、 $\sqrt{5} + 1$

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17、如图， $B D$ 是等边 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上的高，以点D为圆心， $D B$ 长为半径作弧交 $B C$ 的延长线于点E，则 $∠ E D C =$ （）

A、 $20 °$ B、 $25 °$ C、 $30 °$ D、 $35 °$

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 、 $E$ 分别是边 $A B$ 、 $A C$ 上的点，过点 $C$ 作 $C F ∥ A B$ 交 $D E$ 的延长线于点 $F$ ．若 $D E = F E$ ， $A B = 4$ ， $C F = 3$ ，则 $B D$ 的长是（）

A、0.5 B、1 C、1.5 D、2

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19、下列计算正确的是（）

A、 $a^{4} \cdot a^{4} = 2 a^{4}$ B、 $a^{2} b \cdot a^{3} b^{2} = a^{5} b^{2}$ C、 ${(- 3 a^{2} b)}^{2} = 9 a^{4} b^{2}$ D、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$

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20、如图，数轴上点 $A$ ，点 $B$ ，点 $C$ 表示的数分别为 $- 6$ ， $2$ ， $3$ ，点 $P$ ， $Q$ ， $R$ 分别从点 $A$ ， $B$ ， $C$ 出发沿数轴的正方向移动，其中点 $P$ 的速度为每秒4个单位长度，点 $Q$ 的速度为每秒2个单位长度，点 $R$ 的速度为每秒 $m$ 个单位长度，线段 $P Q$ 的中点为 $D$ ，设运动时间为 $t$ 秒.

(1)、当 $t = 2$ 时， $P Q =$ .

(2)、用含 $t$ 的代数式表示点 $D$ 表示的数；

(3)、若在运动过程中，点 $R$ 始终在点 $D$ 的右边，且 $R$ ， $D$ 两点间的距离保持不变，试求 $m$ 的值和 $R D$ 的长度；

(4)、当 $O P = 4 O D$ 时，直接写出 $t$ 的值。

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