相关试卷

1、已知关于 $x$ 的函数 $y = a x^{2} - 4 a x + k - 2$ ．

(1)、当 $a > 0$ ， $k = 4$ 时，
①求当 $x \leq 0$ 时，该函数的最小值；
②当 $0 \leq x \leq 5$ 时， $y$ 有最小值为 $- 2$ ，求当 $0 \leq x \leq 5$ 时， $y$ 的最大值．

(2)、当 $k = a$ 时，若该函数图象与坐标轴有两个交点，求 $a$ 的值；

(3)、当 $a < 0$ ，且 $k = a$ 时，若该函数图象与 $x$ 轴有两个不同交点，试说明该图象与直线 $y = k x - 2$ 始终有两个交点，并求出这两点之间距离的取值范围．

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2、如图，将锐角 $△ A E F$ 的边 $A E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $A C$ ，过 $C$ 作 $B C ∥ E F$ ，交边 $F A$ 的延长线上于点 $B$ ，连接 $B C$ ，作 $△ A B C$ 的外接圆，交边 $A E$ 于点 $D$ ，连接 $D C$ ．

(1)、若 $∠ E F A = 60 °$ ，且 $E D = 2$ ，求 $∠ A D C$ 的度数，并求 $D C$ 的长；

(2)、求证： $E F = B D$ ．

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3、大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中 $A B$ ， $C D$ 为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面3.5米的墙体 $A$ 处，另一端固定在墙体 $D$ 处，骨架最高点 $P$ 到墙体 $A B$ 的水平距离为2米，且点 $P$ 离地面的高度为3.75米．
请尝试数学建模解决以下问题：

(1)、在图1中，以 $B$ 为原点，水平直线 $B C$ 为 $x$ 轴， $A B$ 所在直线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为 $y$ （米），该处离墙体 $A B$ 的水平距离为 $x$ （米），求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段 $A E$ ， $F G$ 组成，其中点 $E$ ， $F$ 在顶棚抛物线形骨架上， $F G ∥ A B$ 交 $A E$ 于点 $G$ ．为不影响耕作，将点 $E$ 到地面的距离定为1.5米．求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度．

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4、在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（同心圆）面积的方法．现有以下工具（图1）：①卷尺：②直棒 $E F$ ：③ $T$ 型尺（ $C D$ 所在的直线垂直平分线段 $A B$ ）．
【活动1】找出大圆的圆心．
小天同学选择用 $T$ 型尺找到大圆圆心，操作方法如图2所示：
小河同学说：“类似小天的方法，我发现可以利用没有刻度的直尺和圆规找到任意一个圆的圆心．”
【活动2】求环形花坛面积．
如图3，小河说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法是：将直棒与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点 $M$ ， $N$ 之间的距离，就可求出环形花坛的面积．”
小天思考后，说：“如图4，如果直线与大圆两交点分别为 $M$ ， $N$ ，与小圆两交点分别为 $P$ ， $Q$ ，只要测出 $M N$ ， $P Q$ 的长度，也可求出环形花坛的面积．”
【解决问题】

(1)、利用尺规在图5中找到圆心（保留作图痕迹，不写作法）：

(2)、图3中，如果测得 $M N = 10 m$ ，求这个环形花坛的面积；

(3)、填空：图4中，如果测得 $M N = a$ ， $P Q = b$ ，用含 $a$ ， $b$ 的式子表示环形花坛的面积 $S_{环形花坛} =$ _____．

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5、已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ 中的 $x$ ， $y$ 满足下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 -1 ■ 3 …

(1)、求这个二次函数的解析式；

(2)、直接写出当 $y < 0$ 时， $x$ 的取值范围．

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6、校体育节即将开幕，篮球、排球、拔河比赛将同时开展，三项比赛均需要多名志愿者协助，小聪和小明分别被随机分配到其中一项比赛担任志愿者．

(1)、求小聪被分配到篮球比赛当志愿者的概率．

(2)、请用画树状图或列表的方法，求出小聪和小明被分配到同一比赛当志愿者的概率．

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7、如图，在 $Rt △ O A B$ 中， $∠ O A B = 90 °$ ，且点 $B$ 的坐标为 $(4, 2)$ ，将 $△ O A B$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $△ O A_{1} B_{1}$ ．

(1)、画出 $△ O A_{1} B_{1}$ ；

(2)、求在旋转过程中，线段 $O B$ 扫过的面积（结果保留 $π$ ）．

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8、在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 1, 3)$ ， $B (5, 3)$ ，若 $C$ 是坐标轴上的一点，且 $∠ A C B = 90 °$ ，则满足条件的点 $C$ 的坐标为．

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9、如图，把 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $75 °$ 得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ．若 $∠ B A C = 35 °$ ，则 $∠ B A C^{'}$ 的度数为．

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10、设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} + 5 x = 0$ 的两个根，则 $x_{1} + x_{2} =$ ．

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11、如图，已知 $△ A B C$ 中， $∠ B = 70 °$ ， $B C = 6$ ，以 $B C$ 为直径作半圆（圆心为点 $O$ ），分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 $D$ ， $E$ ．若 $\overset{⌢}{D E} = \overset{⌢}{B D}$ ，则 $\overset{⌢}{C E}$ 的长为（）．

A、 $\frac{10 π}{3}$ B、 $\frac{5 π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{2}$

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12、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 10$ ，点 $O$ 为 $A B$ 的中点，若以点 $O$ 为圆心，5为半径作 $⊙ O$ ，则下列判断正确的是（）．

A、点 $C$ 在 $⊙ O$ 外 B、点 $C$ 在 $⊙ O$ 上 C、点 $C$ 在 $⊙ O$ 内 D、无法判断

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13、下列关于二次函数 $y = {(x - 2)}^{2} - 3$ 的说法正确的是（）

A、图象是一条开口向下的抛物线 B、顶点坐标是 $(- 2, - 3)$ C、函数图象与 $y$ 轴交于正半轴 D、 $y$ 有最大值，最大值为 $- 3$

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14、已知点 $A (m, - 2)$ 与点 $B (3, n)$ 关于原点对称，则 $m + n$ 的值为（）

A、 $5$ B、 $4$ C、 $- 5$ D、 $- 1$

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15、彩票是公平公正的机会游戏，国家发行彩票的目的是筹集社会公益资金，促进社会公益事业发展．已知某种彩票的中奖概率为 $1 %$ ，则下列说法正确的是（）

A、买 $1$ 张这种彩票，不可能中奖 B、买 $200$ 张这种彩票，可能有 $2$ 张中奖 C、买 $100$ 张这种彩票，一定有 $1$ 张中奖 D、若 $100$ 人每人买 $1$ 张这种彩票，一定会有一人中奖

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16、【问题背景】如图1，设一钟表中心为点O，已知时针 $O A$ 长为10厘米，分针 $O B$ 长为30厘米．初始时刻时针分针在12点整的位置．

(1)、每经过1小时，时针转______度，每经过1分钟，分针转______度；

(2)、【迁移应用】如图2，若钟面上还有一损坏的秒针，该秒针指向“3”保持不动，请问几分钟后，秒针恰好第一次平分时针与分针形成的夹角？

(3)、【创新应用】如图1，从12点整开始，两动点M，N分别从点 $A$ 和点 $B$ 出发， $M$ 点按照 $A - O - B - O - A - O - B - \dots$ 的路线移动， $N$ 点按照 $B - O - A - O - B - O - A \dots$ 的路线移动，两动点移动速度均为：朝向点 $O$ 时为1厘米／分钟，远离点 $O$ 时为2厘米／分钟，每次时针与分针共线时，动点M，N的运动方向立刻反向，设运动时间为 $t$ 分钟：
①求动点M，N第一次相遇的时间，以及此时分针与时针的夹角；
②请直接写出动点M，N第二次、第三次相遇的时间．

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17、综合与实践：

医保报销

素材1

某市制定了参加医疗保险的居民住院费用报销规定，住院期间产生的医疗费用将由医保和个人共同承担．为增强被保险居民的费用意识，该市医保设置了医保起付线，即起付线及以下的住院费用不予报销．一年之内，第一次住院的起付线是600元，此后每次住院起付线是300元．

素材2

该市医保报销比例如下：

住院医疗费用	报销比例
起付线 $- 3000$ 元（含）的部分	$85 %$
3000元 $- 5000$ 元（含）的部分	$90 %$
5000元以上的部分	$95 %$

素材3

例如：某居民当年第一次住院医疗费用是1000元，其医保报销的费用为 $(1000 - 600) \times 85 % = 340$ （元），个人承担的费用是 $1000 - 340 = 660$ （元）．

问题解决

任务1

若某居民当年第一次住院的医疗费用是4000元，则其医保报销的费用是______元．

任务2

若某居民当年第二次住院医保报销了5710元，则这次住院医疗费用是多少？

任务3

若某居民一年内住院两次，两次住院产生医疗费用共3000元，两次医疗费用均达到医保起付线，且两次个人承担的费用恰好相等，则两次住院产生医疗费用分别是多少？

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18、图1是一张长方形地毯，可以近似抽象为图2的几何图形．内部长方形与外部长方形之间是宽度为 $1$ 的花纹，内部的长方形是由中央的阴影部分和四个完全相同的直角三角形组成的．已知整个地毯长为 $11$ ，宽为 $x$ ，直角三角形的一条直角边长为 $y$ ，另一条直角边长为内部长方形定的一半.

(1)、用含 $x 、 y$ 的代数式表示图 $2$ 中阴影部分的面积；

(2)、当 $x = 6 ， y = 3$ 时，求阴影部分的面积．

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19、如图是用完全相同的小立方体搭成的几何体：

(1)、请在下面的方格中画出该几何体从正面看、从上面看的形状图；

(2)、若每个小正方体的棱长都是 $1 cm$ ，该几何体的表面积是______ ${cm}^{2}$ ．

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20、为丰富学生校园生活，我校计划创办五个校园社团：A国辩社；B电影学员析社团；C智能时代社团；D文学与戏剧社团；E红领巾广播站．为了解学生的加入意愿，某数学兴趣小组就“我最想加入的社团（要求单选）”进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

(1)、本次参与问卷调查的总人数为______人；

(2)、请把条形统计图补充完整；

(3)、我校七年级有1100名学生，试估计最想加入的社团是“B电影赏析社团”和“C智能时代社团”的学生总人数；

(4)、请对我校社团创办提出一条合理的建议．

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