相关试卷

1、将自然界的事物或现象进行“抽象”与“理想化”是科学研究的重要手段．
【阅读材料】
“碰撞”在生活中无处不在，其中“弹性碰撞”是一种没有任何能量损失的碰撞，属于碰撞中的一种“理想情况”．科学家们经过研究发现，两个完全一样的物体相向运动时，如果发生弹性碰撞，会立即反向运动，且速度大小互换．例如：甲木块以 $1 m / s$ 的速度自西向东运动，乙木块以 $2 m / s$ 的速度自东向西运动，二者发生弹性碰撞后，甲木块立即变为以 $2 m / s$ 的速度自东向西运动，乙木块立即变为 $1 m / s$ 的速度自西向东运动．如果完全一样且同向运动的物体发生弹性碰撞，则运动方向不变，仅速度大小互换．
【情境呈现】
如图1，在一个长 $20 dm$ 的轨道上，两个小铁球分别以 $4 dm / s$ 、 $1 dm / s$ 的初始速度从轨道两端沿直线相向运动，发生碰撞后，两个小铁球均反向运动，最终分别从左右两端离开轨道．如图2，若在轨道右侧添加一挡板后，小球与挡板碰撞后会反弹，最后两个小球都会从左侧离开轨道．
【情境转化】
为便于研究，我们可以将上述过程进行“抽象”与“理想化”：两小球完全一样且体积忽略不计，可以看作两个点，小球运动速度只会因为碰撞而发生改变，小球与小球的碰撞为“弹性碰撞”，小球与挡板碰撞后立即以原速度反向运动．由此，我们可以使用数轴来表示轨道，数轴上点的运动来表示小球的运动．如图3建立数轴，点 $P$ 从原点 $O$ 点出发，沿正方向以4个单位长度 $/ s$ 的速度匀速运动，点 $Q$ 从 $A$ 点出发，沿负方向以1个单位长度 $/ s$ 的速度匀速运动．若点运动到线段 $O A$ 之外，则认为小球离开轨道．已知 $O A = 20$ ．
【问题解决】
若两小球（ $P$ 、 $Q$ 两点）同时出发， $P$ 、 $Q$ 两点在轨道上的运动时间分别为 $t_{P}$ 、 $t_{Q}$ 秒，请回答以下问题：

(1)、如图3，两小球第一次相遇时， $t_{P} = t_{Q} =$ _____．根据计算，我们可以得知 $Q$ 点代表的小球会先从右侧离开轨道，则它离开轨道的瞬间， $t_{P} = t_{Q} =$ _____．

(2)、如图4，在 $A$ 点所在位置放置挡板，则 $Q$ 点代表的小球在到达 $A$ 点后会立即反向运动，速度不变．请求出两小球第二次相遇时 $t_{P}$ 的值．

(3)、在（2）的条件下，将轨道沿射线 $A O$ 的方向进行延长，设延长至 $B$ 点，如图5，则需要延长多少个单位长度（即 $O B$ 的长度为何值时），才能使得 $t_{Q} = 3 t_{P}$ ？

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2、类比用字母表示数，我们用“ $°$ ”来表示某种运算．对于任意元素a，b，若 $a ° b = b ° a$ ，那么这种运算满足交换律；若存在元素 $e$ ，满足 $a ° e = e ° a = a$ ，则称 $e$ 为“ $°$ 运算”下的单位元；若两个元素经过“ $°$ 运算”后得到单位元，则这两个元素互为“ $°$ 运算”下的逆元．
例如，在有理数范围内，加法满足交换律，减法则不满足交换律，加法运算下的单位元是0，互为相反数的两个有理数也互为加法运算下的逆元．

(1)、在有理数范围内，乘法运算下的单位元是_____， $- 5$ 在乘法运算下的逆元是_____；

(2)、若 $a$ ， $b$ 表示两个有理数，定义运算“*”，其运算法则为： $a * b = 2 a b - a - b + 1$ ，例如，若 $a = 2$ ， $b = 3$ ，则 $a * b = 2 \times 2 \times 3 - 2 - 3 + 1 = 8$ ，
①“*运算”是否满足交换律_____．（填“是”或“否”）；
②求出“*运算”下的单位元；
③是否存在有理数在“*运算”下不存在逆元？若有，求出这个（些）数；若没有，请说明理由．

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3、每年春节都是相聚的重要时刻，2025年春节即将到来，在深圳工作学习的人们开始进行春节的规划．七（1）班的 $m$ 位同学接受了“春节团聚调查”，他们需要从“高铁回家”、“飞机回家”、“自驾回家”及“留深”这四种情况中选择一种，最终的调查结果被绘制成如下所示的两幅不完整的统计图．

(1)、根据图中信息求出 $m =$ _____； $n =$ _____．

(2)、请把条形统计图补充完整；

(3)、“高铁回家”对应的扇形统计图圆心角大小为_____°；

(4)、该校学生人数共2700人，请根据七（1）班调查结果估计有多少名学生选择“回家”（包含高铁回家”、“飞机回家”及“自驾回家”）？

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4、如何解关于

x

的一元一次方程

2 (x + 2) + 1 = 7

呢？小明和小暗在课后使用了不同的解题思路．

小明的思路

去括号，得： $2 x + 4 + 1 = 7$

移项，合并同类项，得： $2 x = 2$

方程的两边都除以2，得： $x = 1$

小暗的思路

移项，合并同类项，得： $2 (x + 2) = 6$ ……第1步

方程的两边都除以2，得： $x + 2 = 3$ ……第2步

移项，合并同类项，得： $x = 1$ ……第3步

经过验算，两人的结果都正确．同时，小暗发现，对于方程 $2 m + 1 = 7$ ，只需进行思路中的第1步与第2步，可解得 $m = 3$ ，这刚好对应了 $x + 2 = 3$ ．小暗认为，方程 $2 (x + 2) + 1 = 7$ 中的“ $(x + 2)$ ”就相当于方程 $2 m + 1 = 7$ 中的“ $m$ ”．

请阅读以上内容，并解决下面的问题，方法不限，合理即可：

(1)、解方程

\frac{4 x - 6}{3} + 1 = \frac{4 x - 6}{4}

(2)、若

x = 1

是关于

x

的方程

a x - 7 = 8 x - a

的解，请你求出关于

y

的方程

a (2 y + 9) - 7 = 8 (2 y + 9) - a

的解．

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5、（1）计算 $- 1^{2024} \times |1 - 3| + 2 \div {(\frac{1}{2})}^{3}$ ；
（2）先化简，再求值： $3 a^{2} + 6 a b - 2 (a^{2} + 3 a b - 3 b)$ ，其中 $|a + 2| + {(b - 3)}^{2} = 0$

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6、如图，已知平面上的 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点，请按照要求进行尺规作图，或通过尺规作图解决问题（保留作图痕迹，不写作法）．

(1)、画出直线 $A D$ 、射线 $A B$ 、线段 $C D$ ；

(2)、在线段 $C D$ 上找到一点 $E$ ，使得 $D E = D A$

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7、莱布尼兹是德国著名数学家，他曾提出“莱布尼兹三角形”，如下图所示．在“莱布尼兹三角形”中，每一个数字都是其左下方和右下方数字之和．例如第4行第2个数是 $\frac{1}{12}$ ，而 $\frac{1}{12} = \frac{1}{20} + \frac{1}{30}$ ，由此，我们可以推断，第10行第3个数是．
$\begin{matrix} \frac{1}{1} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{12} & \frac{1}{12} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{20} & \frac{1}{30} & \frac{1}{20} & \frac{1}{5} \end{matrix}$

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8、已知一个多边形的内角和为 $900 °$ ，则这个多边形共有条对角线．

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9、明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？”其大意为：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两，若每人分9两，则差8两．则有多少个人？有多少两银子？根据以上内容，下列陈述正确的有．
①设有 $x$ 个人，则可列方程： $7 x - 4 = 9 x + 8$ ；②设有 $x$ 个人，则可列方程： $7 x + 4 = 9 x - 8$ ；
③设有 $y$ 两银子，则可列方程： $\frac{y + 4}{7} = \frac{y - 8}{9}$ ；④设有 $y$ 两银子，则可列方程： $\frac{y - 4}{7} = \frac{y + 8}{9}$

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10、若代数式 $2 m x - x + 1$ 的值与 $x$ 的取值无关，则 $m =$ ．

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11、 $- \frac{1}{2025}$ 的相反数是．

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12、如图， $O$ 是直线 $A B$ 上一点，射线 $O P$ 、 $O Q$ 分别从 $O A$ 、 $O B$ 同时出发，以每秒 $45 °$ 和每秒 $5 °$ 的速度绕点 $O$ 顺时针旋转，设旋转时间为 $t$ 秒．当 $∠ P O Q = 100 °$ 时， $t$ 的值可能为（）

A、3 B、5 C、7 D、9

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13、如图，将长方形纸片 $A B C D$ 的 $∠ C$ 沿着 $G F$ 折叠（点 $F$ 在线段 $B C$ 上，且不与 $B$ ， $C$ 重合），使点 $C$ 落在长方形内部点 $E$ 处，若 $∠ B F H : ∠ E F H = 1 : 2$ ， $∠ G F C = x$ ，则 $∠ E F H$ 的度数是（）

A、 $120 ° - \frac{3}{2} x$ B、 $120 ° - \frac{4}{3} x$ C、 $90 ° - \frac{3}{2} x$ D、 $90 ° - \frac{4}{3} x$

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14、某学校的数学兴趣小组希望了解他们所在地区65岁以上老年人的健康状况，其中4名同学用不同的方式收集了数据，则相对最合理的方式是（）

A、李同学在附近的公园里调查了100名65岁以上老年人，统计他们一年内生病次数 B、刘同学在该地区最大的医院中调查了100名65岁以上老年人，统计他们一年内生病次数 C、欧阳同学在所居住小区内调查了50名65岁以上老年人，统计他们一年内生病次数 D、杨同学借助派出所的户籍网随机调查了该地区的 $10 %$ 的65岁以上老年人，统计他们一年内生病次数

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15、下列4个现象中，可用事实“两点之间，线段最短”来解释的有（）
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上
②工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上
③小狗看到远处的食物，总是径直奔向食物
④把弯曲的河道改直，可以缩短航程

A、①② B、①③ C、②④ D、③④

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16、据统计，2024年广东省有 $76.8$ 万名考生参加高考，我们有时会用科学记数法来表示较大的数，下列（）选项正确地用科学记数法表示了考生人数（）

A、 $76.8 \times 10^{4}$ B、 $76.8 \times 10^{3}$ C、 $7.68 \times 10^{5}$ D、 $7.68 \times 10^{4}$

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17、以下图片展示了生活中的常见物品，这些物品的形状最接近圆柱体的是（）

A、 B、 C、 D、

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18、如图，在数轴上，点O表示原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是a、b、c，点B为 $A C$ 中点，且a，c满 $|a + 6| + {(c - 10)}^{2} = 0$ ．

(1)、 $a =$ ______， $b =$ ______， $c =$ ______；

(2)、点P从点A出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，以1个单位每秒的速度沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点P运动到点C时，点P，Q停止运动．设运动时间为t秒，当 $P Q = 2$ 时，求t的值；

(3)、若动点M从点A出发．以每秒4个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动至点B，再以每秒1个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时，动点N从点C出发以每秒2个单位长度沿着数轴的负方向匀速运动至点O，到达O点后点N按原速度立即返回点C，当点N运动到点C时，点M，N停止运动，设运动时间为k秒，当 $O M = 2 C N$ ，求k的值．

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19、已知 $O C$ 、 $O D$ 、 $O E$ 为从 $∠ A O B$ 顶点出发的三条射线，射线 $O D$ 和射线 $O E$ 分别平分 $∠ A O B$ 、 $∠ B O C$ ．

(1)、如图1，当射线 $O C$ 在 $∠ A O B$ 的外部时， $∠ A O B = 120 °$ ．若 $∠ B O E = 38 °$ ，则 $∠ D O E$ 的度数为______；

(2)、如图2，当射线 $O C$ 在 $∠ A O B$ 的内部时， $∠ A O B = 120 °$ ．若 $∠ D O E = α$ ，求 $∠ D O C$ 的度数（用含 $α$ 的式子表示）；

(3)、如图3，若 $∠ D O E = 20 °$ ，且 $90 ° < ∠ A O B < 140 °$ ，求 $∠ A O B$ 与 $∠ D O C$ 的数量关系．

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20、如图所示，有一块长为40m，宽为20m的长方形土地，现在将其余三面留出宽分别为 $x m$ ， $y m$ 的小路，中间余下的长方形 $A B C D$ 部分挖成水池．

(1)、水池的长 $A D =$ _____m；水池的宽 $A B =$ ______m；长方形 $A B C D$ 的周长_____m；（用含x、y的式子表示）

(2)、若M等于长方形 $A B C D$ 的周长， $N = 4 x + 9 y + 55$ ，当 $y = 5$ 时，求 $3 N - 2 (N - M)$ 的值．

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