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1、有理数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 在数轴上的位置如图所示，化简： $|a - b| - |b - c| + |c - a|$ ．

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2、计算：

(1)、 $99 \frac{8}{9} \times (- 15)$ ；

(2)、 $- 1^{2018} + 24 \div {(- 2)}^{3} - 3^{2} \times {(\frac{1}{3})}^{2}$ ．

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3、阅读材料：求 $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + \dots + 2^{2025}$
首先设 $S = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + \dots + 2^{2025}$ ①
则 $2 S = 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} + \dots + 2^{2026}$ ②
$②-①$ 得 $S = 2^{2026} - 1$
即 $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + \dots + 2^{2025} = 2^{2026} - 1$
以上解法，在数列求和中，我们称之为：“错位相减法”
$1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + \dots + 3^{2025} =$ ．

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4、计算： ${(- \frac{1}{3})}^{2023} \times {(- 3)}^{2025} =$ ．

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5、观察下列算式： $2^{1} = 2$ ， $2^{2} = 4$ ， $2^{3} = 8$ ， $2^{4} = 16$ ， $2^{5} = 32$ ， $2^{6} = 64$ ， $2^{7} = 128$ ， $2^{8} = 256 \dots$ ，则 $2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} + \dots + 2^{2025}$ 的末位数字是（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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6、若 $(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{7} - \frac{1}{5}) \div 163 = \frac{1}{210}$ ，则计算 $80 - 163 \div (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{7} - \frac{1}{5})$ 的结果是（）

A、 $- 130$ B、130 C、 $- 290$ D、290

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7、不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成 $- 6 + 3 - 4 - 5$ 的是（）

A、 $(- 6) - (+ 3) - (- 4) + (- 5)$ B、 $(- 6) + (+ 3) + (- 4) - (- 5)$ C、 $+ (- 6) + (+ 3) - (- 4) + (- 5)$ D、 $- (+ 6) - (- 3) - (+ 4) + (- 5)$

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8、二进制是由两个基本数字0和1组成，采用“满二进一”运算规律的计数制．例如二进制数1011转化为十进制数为 $1 \times 2^{3} + 0 \times 2^{2} + 1 \times 2 + 1 = 11$ ，则二进制数110101转化为十进制数是（）

A、52 B、53 C、27 D、111

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9、数轴上点A表示 $- 3$ ，点B表示1，将点A向右移动4个单位长度后，A、B两点间的距离为（）

A、0 B、2 C、4 D、6

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10、截至2025年3月21日上午11时，《哪吒之魔童闹海》的全球票房（含预售）已突破152亿元，位列全球电影票房榜第5位．将数据152亿用科学记数法表示为（）

A、 $152 \times 10^{8}$ B、 $15.2 \times 10^{9}$ C、 $1.52 \times 10^{10}$ D、 $0.152 \times 10^{11}$

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11、【基础巩固】（1）如图1，在 $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 中， $A B = A C ， A D = A E ， ∠ B A C = ∠ D A E$ ，求证： $△ A E C ≌ △ A D B$ ；
【尝试应用】（2）如图2，在 $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 中， $A B = A C ， A D = A E ， ∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ， $B 、 D 、 E$ 三点在一条直线上， $A C$ 与 $B E$ 交于点 $F$ ，若点 $F$ 为 $A C$ 中点，
①求 $∠ B E C$ 的大小；
② $C E = 3$ ，求 $△ A C E$ 的面积；
【拓展提高】（3）如图3， $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 中， $A B = A C ， D A = D E ， ∠ B A C = ∠ A D E =$ $90^{\circ}$ ， $B E$ 与 $C A$ 交于点 $F ， D C = D F ， C D ⊥ D F ， △ B C F$ 的面积为72，求 $A F$ 的长．

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12、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $P$ 为边 $A B$ 上异于 $A, B$ 的一个动点，作点 $A$ 关于 $C P$ 的对称点 $A^{'}$ ，连接 $A^{'} P, A^{'} C$ ，交直线 $A B$ 于点 $Q$ ．

(1)、若 $A C = 8, B C = 6, A B = 10, C E$ 是边 $A B$ 上的高线．
①求线段 $C E$ 的长；
②当 $∠ P Q A^{'} = 90 °$ 时，求线段 $A^{'} Q$ 的长；

(2)、在 $∠ A = 35 °$ 的情况下，当 $△ A^{'} P Q$ 是等腰三角形时，求 $∠ A C A^{'}$ 的度数．

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13、如图， $A E$ 与 $B D$ 相交于点 $C$ ， $A B ∥ D E$ ， $A B = 8cm$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $A \to B \to A$ 方向以 $2 cm / s$ 的速度往返运动，点 $Q$ 从点 $D$ 出发，沿 $D \to E$ 方向以 $1 cm / s$ 的速度单向运动， $P 、 Q$ 两点同时出发，当点 $P$ 返回到点 $A$ 时停止运动， $Q$ 点同时停止运动且正好停留在点 $E$ ，设点 $P$ 的运动时间为 $t (s)$ ．

(1)、求证： $△ A C B ≌ △ E C D$ ；

(2)、请用含 $t$ 的式子表示线段 $P B$ ；

(3)、连接 $P Q$ ，当线段 $P Q$ 经过点 $C$ 时，求 $t$ 的值．

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14、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是它的角平分线， $A B = 9$ ， $A C = 6$ ， $B C = 10$ ．

(1)、求 $△ A B D$ 与 $△ A C D$ 的面积之比；

(2)、求 $C D$ 的长．

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15、在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，点 $E$ 为 $A D$ 上一点，连接 $C E ， ∠ B = ∠ D E C ， E D = B D$ ．

(1)、求证： $△ A B D ≌ △ C E D$ ；

(2)、若 $∠ A C E = 22 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为___________．

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为边 $B C$ 的中点，过点 $B$ 作 $B E ∥ A C$ 交 $A D$ 的延长线于点 $E$ ．求证： $A D = D E$ ．

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17、如图，等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = A C, ∠ A = 20 °$ ， $D$ 是 $A B$ 边上一点， $A D = B C$ ，连接 $C D$ ，那么 $∠ B D C$ 的大小是 $°$ ．

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点D， $D E ⊥ A B$ ，垂足为E，若 $B C = 10, D E = 4$ ，则 $B D$ 的长为．

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19、[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如，把二次三项式 $x^{2} - 2 x + 3$ 进行配方．
解： $x^{2} - 2 x + 3 = x^{2} - 2 x + 1 + 2 = (x^{2} - 2 x + 1) + 2 = {(x - 1)}^{2} + 2$ ．
我们定义：一个整数能表示成 $a^{2} + b^{2}$ （ $a$ ， $b$ 是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为 $5 = 2^{2} + 1^{2}$ ．再如， $M = x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = {(x + y)}^{2} + y^{2}$ （ $x$ ， $y$ 是整数），所以 $M$ 也是“雅美数”．

(1)、[问题解决]6，7，8，10四个数中的“雅美数”是．

(2)、若二次三项式 $x^{2} - 6 x + 13$ （ $x$ 是整数）是“雅美数”，可配方成 ${(x - m)}^{2} + n^{2}$ （ $m$ ， $n$ 为常数），则 $m n$ 的值为；

(3)、[问题探究]已知 $S = x^{2} + 4 y^{2} + 8 x - 12 y + k$ （ $x$ ， $y$ 是整数， $k$ 是常数且 $x \neq - 4$ ， $y \neq \frac{3}{2}$ ），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的 $k$ 值．

(4)、[问题拓展]已知实数 $M$ ， $N$ 是“雅美数”，求证： $M \cdot N$ 是“雅美数”．

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20、尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．数学课堂上，黄老师给同学们呈现了这样一个数学问题：如图，在矩形纸片 $A B C D$ 中，点E在 $A D$ 边的中点，将矩形纸片折叠，使点B与点E重合．

(1)、请在图中作出折痕，交 $A B$ 边于点F，交 $C D$ 边于点G，连接 $E F$ ，并在矩形纸片内用尺规作出一点M，使得四边形 $B F E M$ 是菱形，请给出证明；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
作图步骤1（作出折痕）：；
作图步骤2（作出点M）：．
证明：

(2)、在（1）的条件下，若折痕 $F G$ 交 $B E$ 于点H，连接 $A H$ ，若 $A H$ 长为6， $B F$ 为 $2 \sqrt{11}$ ，直接写出 $F M$ 的长．

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