相关试卷

1、观察下列各式：① $2^{2} - 2^{1} = 2 \times 2^{1} - 1 \times 2^{1} = 2^{1} \times (2 - 1) = 2^{1}$ ；
② $2^{3} - 2^{2} = 2 \times 2^{2} - 1 \times 2^{2} = 2^{2} \times (2 - 1) = 2^{2}$ ；
③ $2^{4} - 2^{3} = 2 \times 2^{3} - 1 \times 2^{3} = 2^{3} \times (2 - 1) = 2^{3}$ ；
…

(1)、请你找规律，写出第n个等式为；

(2)、计算： $2^{7} - 2^{6} - 2^{5} - 2^{4} - 2^{3} - 2^{2} - 2$ ；

(3)、计算： $1 + 2 + 2^{2} + \dots + 2^{2016} + 2^{2017} - 2^{2018}$ ．

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2、已知多项式 $5 x^{2} y^{m + 1} + x y - n$ 是关于 $x$ ， $y$ 的六次三项式，且单项式 $3 x^{n} y^{2}$ 的次数与该多项式的次数相同，求m，n的值．

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3、已知 $a, b$ 互为相反数， $c, d$ 互为倒数， $|m| = 3$ ，求： $a + b - \frac{c d}{m^{2}} + \frac{m}{3}$ 的值．

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4、某种金属丝，当温度每上升 $1 ℃$ 时，伸长 $0.02 mm$ ；当温度每下降 $1 ℃$ 时，缩短 $0.02 mm$ ，如果把这种金属丝从 $20 ℃$ 加热到 $50 ℃$ ，再使它冷却到 $10 ℃$ ，最后的长度是伸长了还是缩短了？伸长或缩短了多少？

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5、若 $a$ ， $b$ 互为倒数， $x$ ， $y$ 互为相反数， $|m| = 2$ ，求 $x + y - m + a b - 1$ 的值．

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6、计算：

(1)、 $- 1^{4} - (- 10) \div \frac{1}{2} \times 2 + {(- 4)}^{2}$

(2)、 $\frac{5}{8} \times {(- 4)}^{2} - {(- 3)}^{3} \div {(- 1)}^{9}$ ；

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7、已知有理数： $- 3 \frac{1}{2}$ ， $- |- 1|$ ， $3.2$ ， 0，2， $- 5$ ．

(1)、在如图所示的数轴上画出表示这6个数的点；

(2)、把这6个数用“ $<$ ”连接起来．

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8、已知 $a$ 、 $b$ 互为相反数， $c$ 、 $d$ 互为倒数， $x$ 的绝对值是2，则 $x^{2} - (a + b + c d) x + {(a + b)}^{2026} + {(- c d)}^{2025}$ 的值为．

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9、用科学记数法写出的数为 $7.04 \times 10^{4}$ ，则原来的数是 $．$

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10、绝对值小于 $2026$ 的所有整数的积是．

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11、甲地海拔 $300 m$ ，乙地海拔 $- 50 m$ ，则甲地比乙地高 m．

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12、当 $|a| = 5$ ， $|b| = 7$ ，且 $|a + b| = a + b$ ，则 $a - b$ 的值为（　　）

A、 $- 12$ B、 $- 2$ 或 $- 12$ C、2 D、 $- 2$

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13、当 $x = 1$ 时，多项式 $a x^{5} + b x^{3} + c x - 5$ 的值为 $7$ ，则当 $x = - 1$ 时，这个多项式的值为（　）

A、 $- 7$ B、 $7$ C、 $- 17$ D、 $- 19$

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14、在2025年春节档期，电影市场热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前几日，总票房便达到了 $15.81$ 亿元，数据 $1581000000$ 用科学记数法可表示为（）

A、 $15.81 \times 10^{8}$ B、 $1.581 \times 10^{9}$ C、 $0.1581 \times 10^{10}$ D、 $1.581 \times 10^{10}$

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15、有理数 $a ， b$ 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

A、 $a > - 2$ B、 $a \cdot b > 0$ C、 $a + b > 0$ D、 $|a| > b$

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16、下列算式中正确的有（　　）
① $2 - (- 2) = 0$ ， ② $(- 3) - (+ 3) = 0$ ， ③ $(- 3) - | - 3 | = 0$ ， ④ $0 - (- 1) = 1$

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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17、在数2， $- 3.14$ ， $- (- \frac{1}{2})$ ， $5.3$ ， $- 0.1001$ ， $- 10 %$ ， $- \frac{π}{6}$ ，中，负分数有（）个

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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18、如果零上 $20 ℃$ 记作 $+ 20$ ，那么零下 $30 ℃$ 可记作（）

A、 $+ 30$ B、 $30$ C、 $- 30$ D、 $- 20$

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19、如图1：直线 $l ： y = k x + 6$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点， $O A = \frac{4}{3} O B$ ，点 $C (x ， y)$ 是直线 $y = k x + 6$ 上与 $A$ 、 $B$ 不重合的动点．

(1)、求点 $A$ 的坐标和直线 $A B$ 的解析式；

(2)、如图2，当点 $C$ 运动到某一位置时， $S_{△ B O C} = \frac{1}{4} S_{△ A O B}$ ，求此时点 $C$ 的坐标；

(3)、如图3，当 $O C ⊥ A B$ 于点 $C$ ，点 $P$ 为直线 $l$ 上不与点 $A$ 、 $B$ 重合的一个动点．在 $y$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使得以 $O$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的三角形与 $△ O C P$ 全等，若存在请直接写出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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20、“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题．

几何模型在最短路径问题中的应用
素材一	提出问题：求代数式 $\sqrt{x^{2} + 3^{2}} + \sqrt{{(12 - x)}^{2} + 2^{2}}$ 的最小值．
素材二	建立模型： $\sqrt{x^{2} + 3^{2}}$ 可看作直角边分别是 $x$ 和3的直角三角形的斜边， $\sqrt{{(12 - x)}^{2} + 2^{2}}$ 是直角边分别是 $12 - x$ 和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时 $C F = x + 12 - x = 12$ ， $A C = 3 ， D F = 2$ ．原问题就变成“点 $B$ 在线段 $C F$ 的何处时， $A B + D B$ 的值最小？”
素材三	解答过程：如图2连接 $A D$ ，交 $C F$ 于点 $B$ ，此时 $A B + D B$ 的值最小，将 $A C$ 延长至 $A H$ 使得 $C H = D F = 2$ ，连接 $H D$ ，则 $∵ A H = A C + C H = 3 + 2 = 5$ ． $H D = C F = 12$ ， $∴$ 在 $Rt △ A D H$ 中， $A D = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = 13$ ， $∴ {\|A B + D B\|}_{min} = A D = 13$ ， $∴ \sqrt{x^{2} + 3^{2}} + \sqrt{{(12 - x)}^{2} + 2^{2}}$ 的最小值是13．
问题解决
任务一	根据以上学习：代数式 $\sqrt{x^{2} + 2^{2}} + \sqrt{{(5 - x)}^{2} + 1}$ 的最小值为___________．
任务二	知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽 $5 km$ ， $A$ 村庄到河岸的垂直距离为 $2 km ， B$ 村庄到河岸的垂直距离为 $3 km$ ，且 $A$ 、 $B$ 到河岸的垂足之间的水平距离为 $12 km$ ．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥 $P Q$ ，使得从 $A$ 到 $P$ ，过桥 $P Q$ ，再从 $Q$ 到 $B$ 的路程最短，则最短路程为___________km．
任务三	思维拓展：已知正数 $x$ 满足 $\sqrt{36 - x^{2}} + \sqrt{64 - x^{2}} = 10$ ，求 $x$ 的值．

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