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1、如图，在圆内接 $△ A B C$ 中， $∠ A B C > 90 °$ ，弦 $B D > A C$ ，延长 $A D$ 至点E，延长 $B A$ 至点F，连接 $E F$ ，使 $E F = B D$ ，延长 $C D$ 交 $E F$ 于点G，使 $∠ E G D + ∠ D A B = 180 °$ ，延长 $C B ， D A$ 交于点H．

(1)、若 $∠ E G D = 75 °$ ， $C D$ 为直径，求 $∠ B A C$ 的度数．

(2)、求证： $\frac{E F}{H B} = \frac{A E}{A H}$ ．

(3)、求证： $A E = A C$ ．

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2、尺规作图题：
如图1，在上 $⊙ O$ 依次取点A，B，C，使 $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{A C}$ ，点D在 $\overset{⌢}{A C}$ 上，连接 $A C$ ， $A D$ ，用尺规作弦 $A E$ ，连接 $E C$ ， $D A$ ， $B E$ 的延长线交于点F，使 $△ A E F ≌ △ A E C$ ．
小明：如图2，连接 $C D$ ，作 $△ D A C$ 的外角平分线 $A E$ 交 $⊙ O$ 于另一点E，连接 $E C$ ，作 $D A$ ， $B E$ 的延长线交于点F，则 $△ A E F ≌ △ A E C$ ．
小通：作弦AB的垂直平分线 $E H$ ，交 $\overset{⌢}{A B}$ 于点E，连接 $A E$ ， $E C$ ，作 $D A$ ， $B E$ 的延长线交于点F，则 $△ A E F ≌ △ A E C$ ．
小明：小通，你的作法有问题．
小通：哦------我明白了．

(1)、求证： $△ A E F ≌ △ A E C$ ．

(2)、指出小通作法中存在的问题．

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3、有一块三角形余料 $A B C$ ，它的边 $B C = 120 mm$ ，高线 $A D = 80 mm$ 要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在 $B C$ 上，其余两个顶点分别在 $A B$ ， $A C$ 上．设 $M N = x (mm)$ ， $P N = y (mm)$ ．

(1)、求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．

(2)、当 $y = \frac{3}{2} x$ 时，求加工成的矩形零件的周长．

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4、如图，已知抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + m x + n$ 经过点 $A (- 5 ， 1)$ ， $B (3, 1)$ ．

(1)、求抛物线的表达式．

(2)、利用函数图象，求当 $0 < x \leq 3$ 时， $y$ 的取值范围．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中，D为边 $A B$ 的中点，点E在边 $A C$ 上，连结 $E D$ ，并延长 $E D$ 至点F，连结 $A F$ ，使 $A F ∥ B C$ ，且 $A F^{2} = F D \times F E$ ．

(1)、求证： $∠ F A D = ∠ F E A$ ．

(2)、若 $A B = 20$ ， $A E = 13$ ，求 $E C$ 的长．

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6、如图，在 $⊙ O$ 中，弦 $C D ⊥$ 直径 $A B$ ，点E在 $\overset{⌢}{C B}$ 上，且 $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{C E}$ ，连接 $C E$ ， $D E$ ， $D B$ ，使 $D E = D B$ ．

(1)、求证： $\overset{⌢}{D C} = \overset{⌢}{E B}$ ．

(2)、设 $D E$ 交 $A B$ 于点F，求证： $△ D C E ∽ △ B F D$ ．

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7、一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1，3，5，7，这些小球除编号外都相同．

(1)、搅匀后从中任意摸出1个球，求球的编号是5的概率．

(2)、搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大2的概率．

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8、已知实数 $a$ ， $b$ 满足 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ ．

(1)、求 $\frac{2 a + b}{b}$ 的值．

(2)、若 $\frac{a}{b} = \frac{m}{2 m - 3}$ ，求 $m$ 的值．

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C$ ，分别交边 $A B, A C$ 于点 $D, E$ ，连结 $D C, B E$ 交于点 $F$ ，若 $△ D E F$ 的面积为3， $△ A D E$ 的面积为13，则 $\frac{D E}{B C}$ 的值为； $△ F B C$ 的面积为．

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 60 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ，点 $D$ 在边 $A C$ 上运动， $D E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，则 $△ B D E$ 的面积的最大值为．

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11、把一个矩形 $A B C D$ 按如图方式划分成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，若 $B C = 9$ ，则 $A B$ 的长为．

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12、若抛物线 $y = 2 {(x + m)}^{2} + k$ 上的顶点坐标为 $(3 ， 4)$ ，则 $m + k$ 的值为．

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13、如图，正六边形 $A B C D E F$ 是由 $6$ 个大小相等的等边三角形构成，随机地往六边形 $A B C D E F$ 内投一粒米，落在阴影区域的概率为．

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14、已知 $⊙ O$ 的半径为 $6cm$ ，点A在 $⊙ O$ 外，则 $O A$ 的长可以为．

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15、已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + b - a (a < 0)$ ，当 $- 1 \leq x \leq 4$ 时，最大值与最小值的差为 $a^{2}$ ，若将抛物线向左平移4个单位后经过点 $(- 1, 0)$ ，则a的值为（）

A、 $- 8$ B、 $- 9$ C、 $- 10$ D、 $- 11$

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16、如图，五边形 $A B C D E$ 内接于半径为6的 $⊙ O$ ， F为 $C D$ 中点，连结 $O F$ ，若 $A B = A E$ ， $B C = C D = D E$ ， $\overset{⌢}{A B} = 90 °$ ，则 $O F$ 的长为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、5 C、4 D、 $3 \sqrt{2}$

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17、抛物线 $y = x^{2} - 5 x + 3 m$ 经过点 $(1, m)$ ，则m的值为（）

A、 $1 + \sqrt{2}$ B、 $1 - \sqrt{2}$ C、 $- 2$ D、2

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18、如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 直径，弦 $C D$ 与 $A B$ 相交，连接 $A C$ ， $B C$ ， $A D$ ，若 $∠ C A B = 42 °$ ，则 $∠ D$ 的度数为（）

A、 $42 °$ B、 $48 °$ C、 $52 °$ D、 $58 °$

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19、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 是位似三角形，且 $C O = 2 F O$ ，若点 $E (2, - 1)$ ，则点B的坐标为（　　）

A、 $(4, - 2)$ B、 $(4, 2)$ C、 $(- 4, 2)$ D、 $(- 4, - 2)$

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20、圆心角为 $120 °$ ，半径为3的扇形弧长为（　　）

A、 $\frac{1}{2} π$ B、 $π$ C、 $2 π$ D、 $4 π$

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