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1、阅读材料：
因式分解： $(x + y)^{2} + 2 (x + y) + 1$ .
解：将“ $x + y$ ”看成整体，令 $x + y = A$ ，则原式 $= A^{2} + 2 A + 1 = (A + 1)^{2}$ . 再将“A”还原，可以得到：原式 $= (x + y + 1)^{2}$ .
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.
问题解决：

(1)、因式分解： $1 + 2 (x - y) + (x - y)^{2}$ ；

(2)、因式分解： $(a^{2} - 4 a + 1) (a^{2} - 4 a + 7) + 9$ ；

(3)、用上述整体思想将代数式 $n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1$ 化为完全平方的形式.

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2、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°}$ ， AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，BD平分 $∠ A B C$ .

(1)、求 $∠ A$ 、 $∠ A B C$ 的度数；

(2)、连接CE，且 $C E = \frac{1}{2} A B$ ，求证： $△ B C E$ 是等边三角形.

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3、如图，已知 $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别是A(-4，2)，B(-3，5)，C(-1，1)

(1)、画出与 $△ A B C$ 关于x轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ 和点 $B_{1}$ 的坐标；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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4、如图， $A E ∥ B C$ 且 $A E = A C$ ， $∠ E F A = ∠ B$ . 求证： $△ A B C ≅ △ E F A$ .

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5、解方程： $\frac{x}{x + 5} - \frac{1}{x - 5} = 1$ .

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6、化简： $(1 - \frac{a}{a^{2} + a}) \div \frac{a^{2} - 1}{a^{2} + 2 a + 1}$ .

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7、计算： $(x + 1)^{2} - (x + 1) (x - 1)$ .

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8、计算： $(6 a^{2} - 3 a b) \div 3 a$ = ．

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9、在 $△ A B C$ 中， $∠ A = ∠ B = 2 5^{°}$ ，则 $∠ C$ 的外角为．

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10、如图，在平面直角坐标系中，点 B 的坐标为 (3，1)， $A B = O B$ ， $∠ A B O = 9 0^{°}$ ，则点 A 的坐标是（）

A、(3，1) B、(1，4) C、(2，3) D、(2，4)

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11、如图1是一个边长分别为2x，2y的长方形纸片（x＞y），沿长方形纸片的两条对称轴剪开，得到四块形状和大小都相同的小长方形，拼成如图2所示的一个正方形，则中间空白部分的面积是（）

A、x•y B、（x+y）² C、（x-y）² D、x²-y²

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12、若 $2^{a} = 5$ ， $2^{b} = 3$ ，则 $2^{a + b}$ 的值为（）

A、15 B、8 C、4 D、2

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13、在平面直角坐标系中，点 A(-3，2) 关于 y 轴对称的点的坐标是( )

A、(3，-2) B、(-3，-2) C、(2，-3) D、(3，2)

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14、如图，在 $△ A B C$ 中，点D为BC的中点，连接AD，若 $△ A B C$ 的面积为4，则 $△ A B D$ 的面积为（）

A、0.5 B、1 C、2 D、3

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15、下列计算结果正确的是（）

A、 $3 a^{2} - 2 a^{2} = a$ B、 $2 a \cdot 3 b = 6 a b$ C、 $- 2 (a b - a) = - 2 a b - 2 a$ D、 $(- a + b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$

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16、下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A、2，3，5 B、4，6，8 C、5，6，12 D、4，9，16

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17、定义：函数图象上的点，把满足纵坐标是横坐标的2倍的点叫作这个函数的"巧点"，例如(1， 2) 是函数y=2x的“巧点”； (-2， - 4) 是函数 $y = \frac{8}{x}$ 的“巧点”.

(1)、①已知抛物线的顶点坐标为(2，1)，且经过点 (0，5)，求该抛物线的解析式.
②上述函数的图象上是否存在“巧点”?若存在，请求出函数的“巧点”；若不存在说明理由；

(2)、动点(m， 3m-3)，(n， $\frac{1}{2}$ n-2)分别在直线l₁ ， l₂上，直线l₃过直线l₁ ， l₂的“巧点”，在直线l₁ ， l₃上分别取点 $(a^{2} + a, b_{1}) ， (a^{2} + a, b_{2})$ $,$ 试求 $b_{1} - b_{2}$ 的最小值；

(3)、将函数 $y = x^{2} + 4 x$ 的图象绕y轴上一点 P 旋转180°，旋转后的图象上恰有一个“巧点”，求点P的坐标.

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18、如图， ∠ABC=∠DBE=90°， ∠BAC=∠BDE=30°， BC=3， BE=2.

(1)、特例发现：
① $t a n 3 0^{\circ} =$ ；
②如图1，当点 D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论： $\frac{A D}{C E} =$ ，直线AD与直线CE的位置关系是；

(2)、探究证明：如图2，将图1中的△DBE绕点B 顺时针旋转，使点D 恰好落在线段AC上，连接EC，(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)、拓展运用：如图3，将图1中的△DBE绕点B 顺时针旋转α(α<90°) ，连接AD、EC，它们的延长线交于点F，当DF=BE时，求CE的值.

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19、如图，在△ABC 中， ∠ABC=90°，以AB 的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC 于点 D，点E 是BC的中点，连接DE， OE.

(1)、判断DE 与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)、若 $c o s ∠ B A D = \frac{4}{5}, B E = 6,$ 求OE的长.

(3)、求证： $B C^{2} = C D \cdot 2 O E .$

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20、如图，在△ABC中，点D在BC上，连接AD，将△ADC 沿着AD折叠得到△ADC' ， AC' 交BC 于点 E， DC'∥AB.

(1)、求证： △BEA∽△BAC；

(2)、若AB=12， DC=8，求AC的值及 BC的长.

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