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1、“筒车”是一种以水流作动力，取水罐田的工具，点 $P$ 表示筒车的一个盛水桶，如图①．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图绘出了“筒车”的工作原理，如图②．当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心 $O$ 为圆心的一个圆，且圆心始终在水面上方．若圆被水面截得的弦 $A B$ 长为 $8 m$ ，水面下盛水桶的最大深度（即水面下方圆上的点距离水面的最大距离）为2米．

(1)、求该圆的半径．

(2)、若水面下降导致圆被水面截得的弦 $A B$ 的长度从原来的8米变为6米，则水面下盛水桶的最大深度为多少米？

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2、如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，当时， $y < 0$ ．

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3、在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，左脚正确的动作应是以（填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着（填“顺时针”或“逆时针”）方向旋转度．

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4、若关于 $x$ 的方程 $x^{2} - x - 6 = 0$ 的其中一个根是 $x_{1} = - 2$ ，则另一个根 $x_{2} =$ ．

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5、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $c > 0$ B、 $a > 0$ ， $b < 0$ ， $c < 0$ C、 $a < 0$ ， $b > 0$ ， $c < 0$ D、 $a < 0$ ， $b < 0$ ， $c > 0$

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6、在某次会议中，每两人都握了一次手，共握手10次，设有 $x$ 人参加会议，则可列方程为（）

A、 $x (x + 1) = 10$ B、 $x (x - 1) = 10$ C、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 10$ D、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 10$

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7、若关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k > - 1$ B、 $k > - 1$ 且 $k \neq 0$ C、 $k < - 1$ D、 $k < - 1$ 且 $k \neq 0$

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8、如图，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到 $△ A E D$ ．若 $A B = 5$ ， $A C = 4$ ， $B C = 2$ ，则 $B E$ 的长为（）

A、 $5$ B、 $4$ C、 $2$ D、 $3$

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9、如图，是惠东县南湖公园喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为 $y = - {(x - 1)}^{2} + 4$ ，则水柱的最大高度是（）

A、2 B、4 C、6 D、 $2 + \sqrt{6}$

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10、将抛物线 $y = x^{2}$ 的图象向下平移 $3$ 个单位长度，则平移后抛物线的解析式为（　　）

A、 $y = x^{2} - 3$ B、 $y = x^{2} + 3$ C、 $y = - x^{2} - 3$ D、 $y = - x^{2} + 3$

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11、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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12、定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如： $A (1, 3)$ ， $B (- 2, - 6)$ ， $C (0, 0)$ 等都是“三倍点”．已知二次函数 $y = - x^{2} - x + c$ （ $c$ 为常数）．

(1)、若该函数经过点 $(1, - 6)$ ，求该函数图象上的“三倍点”坐标；

(2)、在（1）的条件下，当 $t \leq x \leq t + 2$ 时，求该函数的最小值（用含 $t$ 的代数式表示）；

(3)、在 $- 4 < x < 1$ 的范围内，若二次函数 $y = - x^{2} - x + c$ 的图象上至少存在一个“三倍点”，求 $c$ 的取值范围．

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13、阅读理解：如图1， $A B$ 和 $B C$ 是 $⊙ O$ 的两条弦（即折线 $A B C$ 是圆的一条折弦）， $B C > A B$ ，点 $M$ 是 $\overset{⌢}{A B C}$ 的中点，则从点 $M$ 向 $B C$ 所作垂线的垂足 $D$ 是折弦 $A B C$ 的中点，即 $C D =$ $A B + B D$ ．下面是运用“截长法”证明 $C D = A B + B D$ 的部分证明过程．
证明：如图1，在 $C B$ 上截取 $C G = A B$ ，连接 $M A$ ， $M B$ ， $M C$ ， $M G$ ．
$∵ M$ 是 $\overset{⌢}{A B C}$ 的中点， $∴$ $M A = M C \dots \dots$ ．
任务：

(1)、请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

(2)、如图2，已知等腰三角形 $A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = A C = \sqrt{10}$ ， $B C = 2$ ，点 $D$ 为 $\overset{⌢}{A C}$ 上一点， $∠ A B D = 45 °$ ， $A E ⊥ B D$ 于点 $E$ ，求 $△ B D C$ 的周长．

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14、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ ， $D$ 是 $⊙ O$ 上的点，且 $O C ∥ B D$ ， $A D$ 分别与 $B C$ ， $O C$ 相交于点 $E$ ， $F$ ．

(1)、求证： $B C$ 平分 $∠ A B D$ ；

(2)、若 $A B = 4 \sqrt{5}$ ， $A D = 8$ ，求 $C F$ 的长．

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A C = 1$ ， $A C$ 在直线 $l$ 上，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转到位置①，可得到点 $P_{1}$ ，此时 $A P_{1} = 2$ ；将位置①的三角形绕点 $P_{1}$ 按顺时针方向旋转到位置②，可得到点 $P_{2}$ ，此时 $A P_{2} = 2 + \sqrt{3}$ ；将位置②的三角形绕点 $P_{2}$ 按顺时针方向旋转到位置③，可得到点 $P_{3}$ ，此时 $A P_{3} = 3 + \sqrt{3}$ ；…，按此规律继续旋转．根据以上规律，解决下列问题：

(1)、 $A P_{4} =$ ______；

(2)、猜想： $A P_{2024} =$ ______．

(3)、连接 $B P_{60}$ ，求 $△ B A P_{60}$ 的面积．

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16、如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中， $Δ A B C$ 的顶点均在格点（网格线的交点）上．

(1)、将 $Δ A B C$ 向左平移5个单位得到 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，画出 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、将 $Δ A B C$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90^{°}$ 得到 $Δ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，画出 $Δ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

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17、如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $∠ B A C = 60 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，延长 $A D$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ．
（1） $∠ B O C$ 的度数为；
（2）若 $B D = \sqrt{3}$ ， $C D = 3 \sqrt{3}$ ，则 $A D$ 的长是．

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18、如图， $O$ 是等边 $△ A B C$ 内一点， $O A = 3$ ， $O B = 4$ ， $O C = 5$ ，将线段 $B O$ 以点 $B$ 为旋转中心逆时针旋转 $60 °$ 得到线段 $B O^{'}$ ，下列结论错误的是（）

A、 $△ B O^{'} A$ 可以由 $△ B O C$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到 B、点 $O$ 与 $O^{'}$ 的距离为5 C、 $∠ A O B = 150 °$ D、 $S_{△ A O C} + S_{△ A O B} = 6 + \frac{9 \sqrt{3}}{4}$

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19、如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 $O$ 为圆心的圆，已知圆心 $O$ 在水面上方，且 $⊙ O$ 被水面截得的弦 $A B$ 长为 $16$ 米， $⊙ O$ 的半径长为 $10$ 米．若点 $C$ 为运行轨道的最低点，则点 $C$ 到弦 $A B$ 所在直线的距离是（）

A、 $4$ 米 B、 $6$ 米 C、 $8$ 米 D、 $10$ 米

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20、将抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 1$ 绕原点 $O$ 旋转 $180 °$ ，则旋转后的抛物线的解析式为（）

A、 $y = - 2 x^{2} + 1$ B、 $y = - 2 x^{2} - 1$ C、 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 1$ D、 $y = - \frac{1}{2} x^{2} - 1$

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