相关试卷

1、已知 x，y 满足： ${(x + y)}^{2} = 5$ ， ${(x - y)}^{2} = 41$ ；求 $x^{3} y + x y^{3}$ 的值．

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2、若 $x y = 3 ， x + y = - 4$ ，则 $x^{2} y + x y^{2} =$

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3、如图，数轴上有 $A ， B ， C ， D$ 四点，点 $D$ 对应的数为 $x$ ，已知 $O A = 7 ， O B = 5 ， C D = 3$ ， $P ， Q$ 两点同时从原点 $O$ 沿着数轴正方向以 $v_{P}$ 和 $v_{Q}$ 的速度运动，且 $v_{P} < v_{Q}$ ．点 $Q$ 到点 $D$ 后立即朝数轴的负方向运动，在 $C$ 处与点 $P$ 相遇，相遇后点 $P$ 也立即朝着数轴的负方向运动，且 $P ， Q$ 两点的速度都变为原来的 $\frac{1}{2}$ ．当点 $Q$ 返回到原点 $O$ 时，点 $P$ 恰好在 $B$ 处．

(1)、当 $P ， Q$ 两点相遇时，求点 $P$ 前进的路程 (用含 $x$ 的式子表示)．

(2)、求 $P ， Q$ 两点相遇前速度的比值 $\frac{v_{P}}{v_{Q}}$ (用含有 $x$ 的式子表示)．

(3)、当点 $Q$ 到 $A$ 处时，问点 $P$ 是否已经过原点 $O$ ，请说明理由．

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4、已知关于x和y的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} 4 x + y = 2 k \\ x - y = 4 - k \end{matrix}$ （k为实数），有下列说法：①x和y互为相反数时，k＝2；②6x﹣y的值与k无关；③若8^x•4^y＝32，则解为k＝3；④若x^k＝1，k为整数，则k的值为0，1，﹣9．以上正确的有（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5、计算 $9^{m} \div 3^{m}$ 的结果是（　　）

A、3 B、9 C、 $3^{m}$ D、 $9^{m}$

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6、如图，若 $x$ 为正整数，则表示 $\frac{{(x + 2)}^{2}}{x^{2} + 4 x + 4} - \frac{1}{x + 1}$ 的值的点落在（　　）

A、段① B、段② C、段③ D、段④

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7、下列各分式中是最简分式的是（　　）

A、 $\frac{x - 1}{x^{2} - 1}$ B、 $\frac{4}{2 x}$ C、 $\frac{2 x}{x^{2} - 1}$ D、 $\frac{x - 1}{1 - x}$

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8、

(1)、【知识再现】
尝试：比较下列各式的大小关系：（用“＞”“＜”或“＝”填空）
$2 + 3$ $2 \sqrt{2 \times 3} ； 6 + 4$ $2 \sqrt{6 \times 4} ； 7 + 7$ $2 \sqrt{7 \times 7}$ ；

(2)、【猜想证明】
观察上面的式子，请你猜想 $a + b 与 2 \sqrt{a b} （ a \geq 0 ， b \geq 0$ ）的大小关系，并说明理由；

(3)、【实践应用】
请利用上述结论解决问题：如图，一个长方形养鸡场的长边靠墙，其他三边用竹篱笆围成，已知长方形养鸡场的面积为 $200 m^{2}$ ，则所用篱笆的长度至少为多少米？

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9、在数学课外学习活动中，小光和他的同学遇到一道题：
已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值．他是这样解答的：
$∵ a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3} ， ∴ a - 2 = - \sqrt{3}$ ，
$∴ {(a - 2)}^{2} = 3, a^{2} - 4 a + 4 = 3 ． ∴ a^{2} - 4 a = - 1$ ．
$∴ 2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ ．
请你根据小光的解题过程，解决如下问题：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} =$ ；

(2)、化简 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{225} + \sqrt{224}}$ ；

(3)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{10} + 3}$ ，求 $a^{4} + 6 a^{3} + 6 a + 2023$ 的值．

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10、“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即： $\{\begin{matrix} a - b > 0, 则 a > b \\ a - b = 0, 则 a = b \\ a - b < 0, 则 a < b \end{matrix}$ ；
例如：比较 $\sqrt{19} - 2$ 与2的大小．
∵ $\sqrt{19} - 2 - 2 = \sqrt{19} - 4$ 又∵ $\sqrt{16} < \sqrt{19} < \sqrt{25} 则 4 < \sqrt{19} < 5$
∴ $\sqrt{19} - 2 - 2 = \sqrt{19} - 4 > 0$ ， ∴ $\sqrt{19} - 2 > 2$ ．
请根据上述方法解答以下问题：

(1)、 $\sqrt{29}$ 的整数部分是， $\sqrt{29}$ 的小数部分是；

(2)、比较 $2 - \sqrt{23} 与 - 3$ 的大小．

(3)、已知 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ ，试用“比差法”比较 $\sqrt{100} + \sqrt{98} 与 2 \sqrt{99}$ 的大小．

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11、下面是小雷同学在做数学作业时的解答过程，老师批改时发现解答过程有错误： $\sqrt{3} (\sqrt{3} + 2) + {(\sqrt{3} - 1)}^{2}$
解：原式 $= {(\sqrt{3})}^{2} + 2 \sqrt{3} + {(\sqrt{3})}^{2} - 1$ ①
$= 3 + 2 \sqrt{3} + 3 - 1$ ②
$= 5 + 2 \sqrt{3}$ ③

(1)、任务一：小雷同学的解答过程是从第步开始出现错误的（写步骤序号）；

(2)、任务二：请你写出正确的解答过程．

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12、先阅读下面的文字，再解答问题：
大家知道 $\sqrt{2}$ 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 $\sqrt{2}$ 的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用 $(\sqrt{2} - 1)$ 来表示 $\sqrt{2}$ 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 $\sqrt{2}$ 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：∵ $\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$ ，即 $2 < \sqrt{7} < 3$
∴ $\sqrt{7}$ 的整数部分为2，小数部分为 $(\sqrt{7} - 2)$ ．

(1)、 $\sqrt{17}$ 的整数部分是，小数部分是．

(2)、如果 $\sqrt{5}$ 的小数部分为a， $\sqrt{13}$ 的整数部分为b，求 $a + b - \sqrt{5}$ 的值；

(3)、已知： $10 + \sqrt{3} = x + y$ ，其中x是整数，且 $0 < y < 1$ ，求 $x - y$ 的值．

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13、已知在等边 $△ A B C$ 中，点E在 $A B$ 上，点D在 $C B$ 的延长线上，且 $E D = E C$ ．

(1)、【特殊情况，探索结论】如图1，当E为 $A B$ 的中点时，确定线段 $A E$ 与 $D B$ 的大小关系，请你直接写出结论： $A E$ ___________ $D B$ （填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）；

(2)、【特例启发，解答题目】如图2，当E为 $A B$ 边上任意一点时，确定线段 $A E$ 与 $D B$ 的大小关系，请判断 $A E$ 和 $D B$ 的大小关系，并给出证明；（提示：过点E作 $E F ∥ B C$ ，交 $A C$ 于点F）

(3)、【拓展结论，设计新题】在等边 $△ A B C$ 中，点E在直线 $A B$ 上，点D在线段 $C B$ 的延长线上，且 $E D = E C$ ．若 $△ A B C$ 的边长为3， $A E = 4$ ，求 $C D$ 的长．（利用备用图探究）

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14、综合与实践对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算，即将组合图形分解为若干个简单规则图形（如长方形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再利用加权平均公式计算组合图形的重心．以下是具体公式和步骤：

根据以下素材，探索完成任务．

素材1	在使用分割法前，需线掌握以下基本图形的重心位置．
	图形	重心	说明
	长方形	几何中心	对角线的交点
	三角形	三条中线交点 $(\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3}, \frac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{3})$	顶点坐标为 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， $(x_{3}, y_{3})$
素材2	建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： 1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等． 2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积 $s_{i}$ ． 3．确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标 $(x_{i}, y_{i})$ ． 4．代入公式计算：把 $S_{i} (x_{i}, y_{i})$ 代入重心坐标公式，计算出组合图形重心坐标 $(\bar{x}, \bar{y})$ ，其中 $\bar{x} = \frac{x_{1} s_{1} + x_{2} s_{2} + \dots + x_{n} s_{n}}{s_{1} + s_{2} + \dots + s_{n}}$ ， $\bar{y} = \frac{y_{1} s_{1} + y_{2} s_{2} + \dots + y_{n} s_{n}}{s_{1} + s_{2} + \dots + s_{n}}$ ．

应用：

(1)、如图1组合图形分割为长方形

A B C O

和

C D E F

中，

O C = C D = 4

，

O A = 3

，

C F = 5

，以点O为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则长方形

A B C O

的重心点

M_{1}

的坐标为___________，长方形

C D E F

的重心点

M_{2}

的坐标为___________，长方形形

A B C O

的面积为___________．长方形

C D E F

的面积为___________，计算得此组合图形的重心坐标为___________；

(2)、如图2，直角梯形

O A B C

，

A (0, 6)

，

B (3, 6)

，

C (7, 0)

，求直角梯形

O A B C

的重心坐标

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15、如图，在 $△ A B C$ 中，点D为边 $B C$ 的中点， $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ A C$ ， E，F为垂足， $B E = C F$ ，

(1)、求证： $∠ B = ∠ C$ ；

(2)、求证： $A D$ 平分 $∠ B A C$ ．

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16、小琪同学在数学实践活动课上，老师要求她利用所学几何知识测量出学校门前小河的宽度（即图中AB的长），经过思考探究，小琪设计方案如下：如图，先测量出BE=DE，∠B=∠D=90°，点B、E、D在同一直线上，点A，E，C在同一直线上，测量出CD=8m，小琪就知道河面宽度AB的长了．则你认为河宽AB是多少？请说明理由．

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17、如图，已知 $A D$ ， $A E$ 分别是 $△ A B C$ 的高和角平分线， $∠ C A B = 90 °$ ， $∠ B = 60 °$ ， $A C = 4 cm$ ．

(1)、求 $∠ D A E$ 的度数；

(2)、求 $A D$ 的长．

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $D$ 、 $E$ 分别在 $A B$ 、 $A C$ 上，连接 $D E$ ，若 $∠ 1 = ∠ 2$ ，则 $△ A D E$ 是直角三角形吗？为什么？

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 5$ ， $B C = 10$ ， $A C = 9$ ， $M N$ 为边 $B C$ 的垂直平分线，点 $D$ 为直线 $M N$ 上一动点，则 $△ A B D$ 的周长的最小值为．

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20、课间，顽皮的小刚拿着老师的等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内(如图)，已知直角顶点H的坐标为(0，1)，另一个顶点G的坐标为(4，4)，则点K的坐标为

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