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1、如图， $A D ∥ B C$ ， $A C$ 平分 $∠ B A D$ ，若 $∠ A B C = 110 °$ ，则 $∠ C A D =$ ．

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2、计算： ${(m^{2})}^{3} \cdot m =$ ．

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3、如图，E是正方形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上一动点（不与C，D重合），连结 $A E$ ，以 $A E$ 为边作正方形 $A E F G$ ，点M是 $A F$ 的中点，连结 $C M$ ．给出下列结论：① $2 C M = \sqrt{2} A E$ ；②点B，M，D三点共线，则下列判断正确的是（）

A、①，②都对 B、①，②都错 C、①对，②错 D、①错，②对

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4、已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象经过点 $A (- 2, m)$ ， $B (5, n)$ ，若 $m < n$ ，则下列可能成立的是（）

A、当 $a > 0$ 时， $3 a + b = 0$ B、当 $a > 0$ 时， $2 a + b = 0$ C、当 $a < 0$ 时， $a + b = 0$ D、当 $a < 0$ 时， $a - b = 0$

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5、如图，点C是线段 $A B$ 上一点（ $A C > B C$ ），分别以 $A C ， B C$ 为直角边在 $A B$ 同侧作等腰 $Rt △ A C D$ 和等腰 $Rt △ B C E$ ，连结 $A E ， B D$ ．记 $S_{△ A C D} = S_{1}$ ， $S_{△ B C E} = S_{2}$ ， $S_{△ A D E} = S_{3}$ ， $S_{△ B D E} = S_{4}$ ，若 $S_{1} - S_{2} = 20$ ，则 $S_{3} + S_{4} =$ （）

A、10 B、15 C、20 D、40

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6、如图，梯子 $A B = A C = a$ ，梯子与地面的夹角为 $α$ ，则两梯脚之间的距离 $B C$ 为（）

A、 $a \cdot \sin α$ B、 $a \cdot \cos α$ C、 $2 a \cdot \sin α$ D、 $2 a \cdot \cos α$

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7、从A地到B地有驾车、公交、地铁三种出行方式，为了选择合适的出行方式，对6：00—10：00时段这三种出行方式不同出发时刻所用时长（从A地到B地）进行了调查、记录与整理，如图所示．根据统计图提供的信息，给出下列推断：①地铁出行所用时长受出发时刻影响较小；②若在6：30以前或9：30以后出发，则选择驾车出行所用时长最短；③若选择公交出行且需要30分钟以内到达，则7：30之前出发即可，其中正确的是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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8、已知 $2 x + 1 = - 2$ ，则代数式 $2 x^{2} + x - 1$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、0 C、2 D、4

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9、如图是某几何体的三视图，则此几何体为（）

A、圆柱 B、圆锥 C、直三棱锥 D、球

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10、根据杭州市统计局发布的《2024年杭州市人口主要数据公报》，萧山区常住人口总量达216.4万人，则216.4万用科学记数法可表示为（）

A、 $2.164 \times 10^{4}$ B、 $2.164 \times 10^{5}$ C、 $2.164 \times 10^{6}$ D、 $2.164 \times 10^{7}$

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11、如图，数轴上点P，Q，M，N所表示的数中，绝对值最大的是（）

A、P B、Q C、M D、N

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12、感知：（1）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式，由图1中的大正方形的面积可得到的因式分解等式为_______；
应用：（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2所示的是棱长为 $x + y$ 的正方体被分割线分成8块．用不同的方法计算这个正方体的体积，则这个式子为 ${(x + y)}^{3} =$ _____；
拓展：（3）如图3，棱长为x的实心大正方体切除一个棱长为y的小正方体，剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，则甲长方体的体积为 $y^{2} (x - y)$ ，乙长方体的体积为 $x y (x - y)$ ，丙长方体的体积为 $x^{2} (x - y)$ ，甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为 $x^{3} - y^{3} = y^{2} (x - y) + x y (x - y) + x^{2} (x - y) = (x - y) (y^{2} + x y + x^{2})$ ．
根据（2）和（3）中的结论解答下列问题：若图2与图3中的 $x$ 与 $y$ 的值分别相等，且满足 $x + y = 10$ ， $x y = 20$ ，其中 $x > y$ ，求 $\frac{x^{3} + y^{3}}{x^{3} - y^{3}}$ 的值．

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13、【提出问题】
（1）将一次函数 $y = - 2 x + 4$ 的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为_______；
【初步思考】
（2）将一次函数 $y = - 2 x + 4$ 的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点， $A (0, 4)$ ， $B (2, 0)$ ，将它们沿着 $x$ 轴方向向左平移3个单位长度，得到点 $A^{'}$ ， $B^{'}$ 的坐标分别为 $A^{'}$ ________； $B^{'}$ ______；从而求出经过点 $A^{'}$ ， $B^{'}$ 的直线对应的函数表达式为_______；
【深度思考】
（3）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题：
①如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (2, 0)$ ，点 $B (4, 1)$ ，点C在第一象限内，若 $△ A B C$ 是以 $A B$ 为直角边的等腰直角三角形，则点C的坐标为_______．
②如图2，将直线 $y = - 2 x + 4$ 绕点A逆时针旋转 $45 °$ ，求出所得图象对应的函数表达式．
【拓展应用】
（4）如图3，在平面直角坐标系中，已知 $A (1, 0)$ ，点C是y轴上的动点，线段 $C A$ 绕着点C按逆时针方向旋转 $90 °$ 至线段 $C B$ ， $C A = C B$ ，连接 $B O$ 、 $B A$ ，则 $B O + B A$ 的最小值是________．

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14、如图， $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ， $∠ A B C = 45 °$ ， $B E ⊥ A C$ 于点E， $A D ⊥ B C$ 于点D， $B E$ 与 $A D$ 相交于F．

(1)、求证： $B F = A C$ ；

(2)、若 $C D = 5$ ，求 $A F$ 的长．

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15、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点 $A (- 2, 2)$ ， $B (0, 5)$ ， $C (0, 2)$ ．

(1)、将 $△ A B C$ 以点C为旋转中心旋转 $180 °$ 得到 $△ A_{1} B_{1} C$ ．请画出 $△ A B_{1} C$ ；

(2)、平移 $△ A B C$ ，若点A的对应点 $A_{2}$ 的坐标为 $(- 2, - 6)$ ，请画出平移后的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、若将 $△ A_{1} B_{1} C$ 绕某一点旋转可以得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，写出旋转中心的坐标：______．

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16、分解因式：

(1)、 $x y^{3} - x y$ ；

(2)、 $- a + 2 a^{2} - a^{3}$ ．

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17、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $G$ 为 $A B$ 的中点，直角 $∠ M G N$ 绕点 $G$ 旋转，它的两条边分别交 $C A$ ， $B C$ 的延长线于点 $E$ ， $F$ ，连接 $E F$ ，当 $A E = 6$ ， $B F = 10$ 时， $E F$ 的长为．

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18、座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面 $A B$ 始终保持水平状态，支撑架 $A C 、 B D$ 与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背 $A E$ 的长度为 $50 cm$ ，当椅背 $A E$ 与椅面 $A B$ 的夹角从 $150 °$ 调整到 $120 °$ 时，椅背上人的头部支撑点E向上抬高了约 $cm$ ．（结果精确至 $0.1 cm$ ．参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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19、已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $|x - 3| + \sqrt{y - 7} = 0$ ，则以 $x$ ， $y$ 的值为两边长的等腰三角形的周长是．

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20、如图，把正方形铁片 $O A B C$ 置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为 $(0, 4)$ ，点 $P (2, 3)$ 在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转 $90 °$ ，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转20次后，点P的坐标为（）

A、 $(80, 2)$ B、 $(80, 3)$ C、 $(82, 3)$ D、 $(82, 2)$

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