相关试卷

1、探究函数的性质可以扩展我们的数学思维、某班数学兴趣小组同学探究函数 $y = a | x - 1 | + b$ （ $a$ ， $b$ 为常数，且 $a \neq 0$ ）的性质，探究过程如下，请解决下列问题：

(1)、绘制函数图象：
①列表：
$x$
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
$y$
…
9
7
5
3
1
3
5
$m$
…
分析数据，完成填空： $a =$ . ▲ ， $b =$ . ▲ ， $m =$ . ▲ ；
②描点：在平面直角坐标系中，根据表中的数值描点 $(x, y)$ ，现已描出部分点，请补充表中未描出的各点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象．

(2)、探索函数性质：
当 $x < 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小，当 $x \geq 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而；

(3)、运用函数性质：
①不等式 $a | x - 1 | + b \geq 5$ 的解集是；
②当 $x > 4$ 时，对于 $x$ 的每一个值，函数 $y = - \frac{3}{4} x + t$ 的值小于函数 $y = a | x - 1 | + b$ 的值且小于7，则 $t$ 的值为．

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2、如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为 $A (- 3, 5)$ ， $B (- 2, 1)$ ， $C (- 1, 3)$ ．

(1)、若点 $C_{1}$ 的坐标为（4，0），画出△ABC经过平移后得到的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $B_{1}$ 的坐标；

(2)、若△ABC和 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 关于原点O成中心对称，画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并写出点 $B_{2}$ 的坐标．

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3、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $D E ∥ A B$ 交 $B C$ 于点 $E$ ， $D F ⊥ A B$ ，垂足为点 $F$ ．

(1)、求证： $B E = D E$ ；

(2)、若 $D E = 4$ ， $D F = 2 \sqrt{3}$ ，求 $B D$ 的长．

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4、解不等式、不等式组

(1)、解不等式： $2 x - 1 < 3 x + 2$ ，并将解集表示在下列数轴上．

(2)、解不等式组：
${\begin{array}{l} 2 (x + 2) \geq 3 x + 3 \\ \frac{2 + x}{2} - \frac{x - 1}{3} < \frac{1}{6} \end{array}$

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5、分解因式：

(1)、 $x y^{2} - x$ ；

(2)、 $- a + 2 a^{2} - a^{3}$ ．

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6、如图， $P$ 是等边 $△ A B C$ 内一点， $P A = 4$ ， $P B = 2 \sqrt{3}$ ， $P C = 2$ ，则 $△ A B C$ 的边长为．
（提示：将 $△ A P C$ 绕 $A$ 点顺时针旋转 $60 °$ 得到 $△ A P^{'} B$ ，连接 $P P^{'}$ ）

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7、座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面 $A B$ 始终保持水平状态，支撑架 $A C 、 B D$ 与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背 $A E$ 的长度为 $50 c m$ ，当椅背 $A E$ 与椅面 $A B$ 的夹角从 $150 °$ 调整到 $120 °$ 时，椅背上人的头部支撑点E向上抬高了约 $c m$ ．（结果精确至 $0.1 c m$ ．参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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8、某服装店以20元的进价购进一批儿童T恤衫，销售时标价为30元，为了减少商品库存，让利于顾客，准备打折销售，但要保证利润率不低于 $20 %$ ，则至多可打折．

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9、如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A B D$ 中， $A B = A C = A D$ ， $A C ⊥ A D$ ， $A E ⊥ B C$ 于点 $E$ ， $A E$ 的反向延长线与 $B D$ 交于点 $F$ ，连接 $C D$ ，则线段 $B F$ ， $D F$ ， $C D$ 三者之间的关系为（）

A、 $B F - D F = C D$ B、 $B F + D F = C D$ C、 $B F^{2} + D F^{2} = C D^{2}$ D、 $2 B F - 2 D F = C D$

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ 为直角，用无刻度的直尺和圆规在 $A C$ 边上确定一点P ，使点P到 $A B$ ， $B C$ 的距离相等．下列符合要求的作图痕迹是（）

A、 B、 C、 D、

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11、图1是某学校人行入口的智能闸机及其示意图，如图2，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是 $80 c m$ ，当它关闭时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为 $10 c m$ ，且与闸机侧立面夹角 $∠ P C A = ∠ B D Q = 30 °$ ，则双翼的边缘 $A C 、 B D$ （ $A C = B D$ ）的长度为（）

A、 $35 \sqrt{3} c m$ B、70 $c m$ C、 $35 \sqrt{2}$ $c m$ D、80 $c m$

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12、如图，一次函数 $y = - 2 x + 4$ 与 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象交于点 $P$ ，则关于 $x$ 的不等式 $- 2 x + 4 > k x + b$ 的解集是（）

A、 $x < - 1$ B、 $x > 2$ C、 $x > 3$ D、 $x < 3$

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13、下列因式分解正确的是（）

A、 $x^{2} - 4 = (x + 4) (x - 4)$ B、 $x^{2} + 2 x + 1 = {(x + 1)}^{2}$ C、 $x^{3} - x = x (x^{2} - 1)$ D、 $a^{2} + 2 a b - b^{2} = {(a - b)}^{2}$

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14、已知 $x < y$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $x + 5 < y - 5$ B、 $- 2 x < - 2 y$ C、 $a^{2} x^{2} < a^{2} y^{2}$ D、 $\frac{x}{3} < \frac{y}{3}$

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15、观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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16、综合与探究
【定义】在四边形中，若有一个角是直角，且连接这个直角顶点与它对角顶点的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为对垂四边形．如图 $1$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $B D$ 是对角线， $∠ A B C = ∠ A D B = 90 °$ ，则四边形 $A B C D$ 为对垂四边形，记作对垂四边形 $A B C D$ ．

(1)、【理解】如图 $1$ ，在对垂四边形 $A B C D$ 中，若 $∠ A = 55 °$ ， $∠ B C D = 80 °$ ，求 $∠ B D C$ 的值；

(2)、【应用】如图 $2$ ，在对垂四边形 $A B C D$ 中，已知 $∠ A B C = ∠ A D B = 90 °$ ， $∠ A = 45 °$ ，点 $E$ 为 $A B$ 边上一动点，且 $C D ⊥ D E$ ，求证： $D C = D E$ ；

(3)、【拓展】在（2）的条件下，连接 $C E$ ，将 $△ C D E$ 沿 $C E$ 翻折，得到 $△ C F E$ ，连接 $B F$ ，若 $B F = 4$ ， $A D = 12$ ，求 $△ B D E$ 的面积．

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17、综合与实践

根据以下素材，探索完成任务．

如何设计游乐园抛物线型彩虹桥的广告牌？
素材1	某游乐园计划在道路 $A B$ 上方搭建一座抛物线型彩虹桥．如图①，道路 $A B$ 的宽为 $30 m$ ，桥拱最高处 $M$ 距离路面的距离为 $9 m$ ．
素材2	在实际搭建时，为了安全需在桥拱下方安置两个竖直方向的桥墩进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱对称轴对称．如图②，桥墩之间的距离 $D F = 20 m$ ．
素材3	如图③，在两个桥墩上搭一个限高横杆 $C E$ ，为了宣传游乐园新开发的项目，现要在桥拱下方，横杆 $C E$ 上方设置一个面积为 $18 m^{2}$ 的矩形广告牌，要求矩形广告牌的一边落在 $C E$ 上，矩形长、宽均为整数，且矩形广告牌关于桥拱的对称轴对称．
问题解决：以 $A B$ 的中点 $O$ 为坐标原点建立平面直角坐标系完成以下任务．
⑴	确定桥拱形状如图①，求抛物线的函数表达式；
⑵	确定桥墩高度如图②，求桥墩的高度（不考虑桥墩的宽度）；
⑶	拟定设计方案如图③，请你给出广告牌的设计方案，并求出矩形 $P Q L N$ 中 $P$ 点坐标．

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18、为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售某县出产的甲、乙两种苹果．已知 $2$ 箱甲种苹果和 $3$ 箱乙种苹果的售价之和为 $440$ 元； $4$ 箱甲种苹果和 $5$ 箱乙种苹果的售价之和为 $800$ 元．

(1)、求甲、乙两种苹果每箱的售价．

(2)、某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共 $14$ 箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元．

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19、如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ A C B = 45 °$ ， $⊙ O$ 经过 $A$ 、 $B$ 两点，与斜边 $B C$ 交于点 $E$ ，连接 $A O$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，交 $B C$ 于点 $G$ ，过点 $E$ 作 $E F / / A D$ 交 $A C$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $E F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A O = 2 \sqrt{10}$ ， $t a n ∠ D A B = \frac{1}{3}$ ，求 $B G$ 的长．

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20、为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分满分100分均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图．
其中 $B$ 组共有 $15$ 个成绩，从高到低分别为： $89$ ， $88$ ， $88$ ， $86$ ， $85$ ， $85$ ， $85$ ， $85$ ， $84$ ， $83$ ， $81$ ， $81$ ， $80$ ， $80$ ， $80$ ．
抽取的成绩统计图
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、 $B$ 组 $15$ 个成绩的平均数为分；

(2)、本次被抽取的所有成绩的个数为，本次被抽取的所有成绩的中位数为分；

(3)、学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有 $600$ 名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数．

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