相关试卷

1、下列计算正确的是（）

A、 $2 a + 3 a = 5 a^{2}$ B、 ${(x^{3})}^{4} = x^{12}$ C、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ D、 $(x + 2) (x - 2) = x^{2} - 2$

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2、深圳远足径“三径三线”全线贯通，总长420000米，这标志着“山海连城”计划迎来了一个新的里程碑．数据420000用科学记数法可表示为（）

A、 $420 \times 10^{3}$ B、 $42 \times 10^{4}$ C、 $4.2 \times 10^{5}$ D、 $0.42 \times 10^{6}$

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3、下列中国传统装饰纹样中，为中心对称图形的是（）

A、四合云纹 B、葫芦纹 C、如意纹 D、莲花纹

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4、如图，数轴上的下列四点中，最可能表示 $- \frac{1}{2}$ 的点是（）

A、点A B、点B C、点C D、点D

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5、（1）如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 10$ ，将 $A D$ 沿 $D F$ 折叠， $A$ 的对应点 $E$ 恰好落在 $B C$ 边上．若 $sin ∠ D E C = \frac{3}{5}$ ，求 $B E$ ．
（2）如图2，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 边上的一点， $∠ A D E = 2 ∠ B A E$ ， $sin ∠ D E C = \frac{8}{17}$ ， $B E = 2$ ，求 $A B$ ．
（3）如图3，在（2）的条件下， $F$ 是射线 $E A$ 上的一点，且 $A F = \frac{1}{2} A E$ ，求 $\frac{C P}{P F}$ ．

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6、太阳灶是利用凹面镜会聚光的性质把太阳能收集起来，用于做饭、烧水的一种器具．目前应用最广泛的聚光式太阳造是利用镜面反射汇聚阳光，如图1，这种太阳灶的镜面设计，可以看成是抛物线绕其对称轴旋转一周所得的旋转抛物面，其原理是，如图2，若有一束平行光沿对称轴方向射向这个抛物面，则反射光线都会集中反射到一特殊点（即抛物线的焦点）的位置，于是形成聚光，达到加热的目的．若抛物线的表达式为 $y = a x^{2}$ ，则抛物线的焦点为 $(0, \frac{1}{4 a})$ ．

(1)、已知在平面直角坐标系中，某款太阳灶抛物线的表达式为 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ ，则焦点的坐标是______；

(2)、如图3，用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与 $y$ 轴重合，顶点与原点重合，若太阳灶采光面的直径 $A B$ 为1.5米，凹面深度 $C D$ 为0.25米，求抛物线的表达式______；

(3)、如图4，在（2）的条件下， $M N$ 为平行于 $y$ 轴的入射光线， $N F$ 为反射光线， $N$ 为切点， $F$ 为焦点，当 $∠ M N G = ∠ F N G = 22.5 °$ 时，求点 $N$ 的横坐标；

(4)、如图5，在（1）的条件下，点 $E$ 是焦点， $α$ 表示太阳灶边缘（最远程）反射光同对称轴的夹角，当 $α$ 为 $45 °$ 时，求点 $B$ 的坐标．

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7、如图，在 $△ A B C$ 中，以 $A B$ 上一点 $O$ 为圆心， $O A$ 为半径的 $⊙ O$ 与 $B C$ 、 $A B$ 相交于 $D$ 、 $E$ ，连接 $A D$ ．

(1)、从以下三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题，并写出你的证明过程．
① $A D$ 平分 $∠ B A C$ ；② $∠ A C B = 90 °$ ；③直线 $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线．你选择的条件是______，结论是______（填序号）；

(2)、在（1）的条件下，若 $∠ B = 30 °$ ， $B E = 2$ ，求图中阴影部分的面积．

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8、“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实双减政策，丰富学生的课余活动，开设了书法社团，计划为学生购买A， $B$ 两种型号“文房四宝”共40套．已知某文化用品店每套 $B$ 型号的“文房四宝”的标价比A型号的“文房四宝”的标价高 $30 %$ ，若按标价购买共需花费4300元，其中购买A型号“文房四宝”花费3000元．

(1)、求每套 $A$ 型号的“文房四宝”的标价．

(2)、该中学的课余活动进行得如火如荼，另一所学校也打算购入A， $B$ 两种型号的工具开展相关活动．考虑到购买较多，店主同意该中学按A型号“文房四宝”八折， $B$ 型号“文房四宝”满20套送一套的优惠价，已知A， $B$ 两种型号的“文房四宝”每套进价分别为50元和105元，学校购买了A型号“文房四宝”50套，若通过此单生意，该店获利不低于2100元，则该校至少买了多少套 $B$ 型“文房四宝”？

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9、某学校为了了解学生在课堂中的专注度，在全校范围内随机抽取了一些学生进行“我的课堂时间管理”问卷调查，设计的问题：你在课堂中的专注度时间为多少？答案选项为： $A$ ． $0 \leq x < 10$ ， $B$ ． $10 \leq x < 20$ ， $C$ ． $20 \leq x < 30$ ， $D$ ． $30 \leq x < 40$ ，将调查结果整理后绘制如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：

(1)、本次调查总人数为______人；

(2)、请把条形统计图补充完整；

(3)、请估计该校1600名学生中课堂专注度在20分钟及以上的人数为______人；

(4)、为了提高该校学生在课堂中的专注度时间，假如你是该校学生，请给出一条合理化建议．

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10、先化简，再求值： $(\frac{1}{x - 2} + 1) \div \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 2 x}$ ，其中 $x = 2$ ．

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11、计算： ${(π - 2024)}^{0} - \sqrt{9} + 3 tan 30 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ．

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $A C = 5$ ， $sin ∠ B A C = \frac{3}{5}$ ， $\frac{B D}{C D} = \frac{3}{5}$ ，则 $A D =$ ．

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13、如图，已知 $Rt △ A B O$ 中， $A O = 6$ ， $tan ∠ B A O = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $△ A B C$ 与 $△ A B O$ 关于 $A B$ 所在直线对称，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 恰好经过点 $C$ ，则 $k =$ ．

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14、随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要是由黑、白两种小正方形组成，现对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个白色小正方形和一个黑色小正方形的概率为．

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15、如图，菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 45 °$ ， $D H ⊥ A B$ 垂足为 $H$ ，点 $P$ 在线段 $D H$ 上，过点 $P$ 作 $M N ∥ A B$ ， $S_{△ D M P} = S_{△ H N P}$ ，则 $\frac{D P}{P H}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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16、如图，某条楼梯及栏杆可以看作三角形 $A B C$ 与平行四边形 $A C D E$ 构成，若 $∠ D = 59 °$ ，则该楼梯的坡角 $∠ B A C$ 的值为（）

A、 $59 °$ B、 $41 °$ C、 $31 °$ D、 $49 °$

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17、下列计算中正确的是（）

A、 $2 a^{3} + a^{3} = 3 a^{3}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 $- 8 a^{2} b^{3} \div 2 a^{2} b = - 4 a b^{2}$ D、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$

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18、窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱，请观察下图窗花图案，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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19、已知：矩形 $A O C D$ 的边 $A O$ 长为2，点P在射线 $O C$ 上，过点O、P的 $⊙ B$ 与 $D P$ 相切于点P．

(1)、如图1，若点B在对角线 $O D$ 上，且 $∠ O D P = 30 °$ ，则 $O C$ 的长度是______；

(2)、如图2，以O为原点， $O C$ 为x轴建立平面直角坐标系， $C (6, 0)$ ，设 $O P = n$ ，
①求点B坐标（用含n的代数式表示）．
②连接 $B P$ ，设 $M = \frac{△ B O P 的面积}{△ D O P 的面积}$ 且 $0 < n < 6$ ，当M取最大值时，作 $C E ⊥ O D$ 于E交 $P D$ 于F， $P B$ 与 $O D$ 交于G，求 $\frac{G P}{F P}$ 的值．

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20、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为3，E、F分别是边 $A D, A B$ 上的点，连接 $C E 、 E F 、 C F$ ．

(1)、如图1，若 $D E = 1.8$ ，当 $∠ C E F = 90 °$ 时，求 $tan ∠ E C F$ 的值；

(2)、如图2，若 $A E = A F$ ， $C F$ 与 $D A$ 的延长线交于点G，E为 $D G$ 的中点，求 $tan ∠ E C F$ 的值；

(3)、如图3，若 $D E = 1$ ， $tan ∠ E C F = \frac{3}{5}$ ，求 $B F$ 的长．

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