初中数学北京课改版（2024）-试题列表-第6页

1、如图，

△ A B C

中，

A B = A C

， D是

B C

中点，下列结论中不正确的是（）

A、

∠ B = ∠ C

B、

A D

平分

∠ B A C

C、

A D ⊥ B C

D、

A B = 2 B D

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2、下列运算正确的是（）

A、

2 a^{3} + 3 a^{2} = 5 a^{5}

B、

a^{2} \cdot a^{4} = a^{8}

C、

a^{6} \div a^{3} = a^{2}

D、

{(- a^{2})}^{3} = - a^{6}

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3、习近平总书记在一次中国品牌论坛开幕式中为品牌强国建设指明了前进方向，下列国货品牌标志图案中不是轴对称图形的是（）

A、

B、

C、

D、

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4、在平面直角坐标系xOy中，对于图W上或内部有一点N（不与原点O重合），及平面内一点P，给出如下定义：若点P关于直线ON的对称点P^'在图W上或内部，则称点P是图W的“映射点”．

(1)、如图1，已知图W₁：线段AB，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1）．在P₁（﹣1，0），P₂（1，2）中，是图W₁的“映射点”；

(2)、如图2，已知图W₂：正方形ABCD，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）．若直线l：y＝x+b上存在点P是图W₂的“映射点”，求b的最大值；

(3)、如图3，已知图W₃：⊙T，圆心为T（0，t），半径为1．若x轴上存在点P是图W₃的“映射点”，请直接写出t的取值范围．

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5、【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形ABCD与正方形BEFG（AB＞BE），点E，G分别在AB，BC上．根据图形提出问题：如图2，正方形BEFG绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），直线AE与CG相交于点H，连接BH，探究线段AH，BH，CH之间的数量关系．

(1)、【解决问题】小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出AH，BH，CH之间的数量关系，并说明理由；

(2)、小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出AH，BH，CH之间的数量关系，并说明理由；

(3)、【拓展问题】小明将图2所示问题中的旋转角α的范围再扩大，正方形BEFG绕点B顺时针旋转，旋转角为α（180°＜α＜360°），直线AE与CG相交于点H，连接BH，请直接写出AH，BH，CH之间的数量关系．

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6、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过点B的切线交AC的延长线于点D，连接DO并延长，交⊙O于点E，连接AE，CE．

(1)、求证：∠ADB＝∠AEC；

(2)、若AB＝4，cos∠AEC

= \frac{\sqrt{5}}{3}

，求OD的长．

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7、豌豆荚里有几粒豆子不确定，那么豆子粒数是否有规律？同学们对这个问题很感兴趣．为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下是本次调查的过程．

【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径大于3毫米）粒数，记录数据．

【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用x表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5类：其中A类（0≤x＜2），B类（2≤x＜4），C类（4≤x＜6），D类（6≤x＜8），E类（8≤x＜10）．

【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下统计图．

【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：

(1)、本次调查活动中随机抽取了个豌豆荚，图中a＝，b＝；

(2)、所调查豆子粒数的中位数落在类中；（只填写字母）

(3)、如果甲同学调查了20个豌豆荚，其中B类有7个，乙同学调查了10个豌豆荚，其中D类有3个．能否得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律？请说明理由．

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8、 “三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下：

操作步骤与演示图形

如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线l₁构成的锐角α．按照以下步骤进行操作：

任意折出一条水平折痕l₂ ， l₂与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与l₂重合得到折痕l₃ ， l₃与纸片左边交点为N，如图②．

→

折痕使点Q，P分别落在l₁和l₃上，得到折痕m，对应点为Q’，P’，m交l₃于M，如图③④．

→

保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕l₄的一部分，如图⑤．

→

将纸片展开，再沿l₄折叠得到经过点P的完整折痕l₄ ，如图⑥．

→

将纸片折叠使边PK与l₄重合，折痕为l₅ ，则直线l₄和l₅就是锐角α的三等分线，如图⑦⑧．

解决问题

⑴请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹，不写作法）

任务一：在图③中，利用已给定的点Q^'作出点P^'；

任务二：在图⑥中作出折痕l₃ ．

⑵若锐角α为75°，则图⑤中l₂与l₄相交所成的锐角是 ▲ °．

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9、综合与实践在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题．

【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决．

【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：

生长素浓度x（标准单位）	0	0.6	1	1.7	2	2.5	2.7	3	3.3	4	4.2
发芽率y（%）	35.00	49.28	56.00	62.37	63.00	61.25	59.57	56.00	51.17	35.00	29.12

【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系描出相应的点．

说明：①当生长素浓度x＝0时，种子的发芽率为自然发芽率；

②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；

③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验．

【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：

(1)、观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式；

(2)、请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围．

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10、天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如表：

问题	月球与地球之间的距离约为多少？
工具	天文望远镜、天文经纬仪等
月球、地球的实物图与平面示意图

说明	为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段AB作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得∠ABP和∠BAP的度数，根据实际问题画出平面示意图（如图），过点P作PH⊥AB于点H，连接AP，BP．
数据	AB≈0.8万千米，∠ABP＝89°25'37.43^'^' ， ∠BAP＝89°22'38.09^'^' ．

根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH．（结果精确到1万千米）

（参考数据：tan89°25^'37.43''≈100.00，10089°22^'38.09''≈92.00，sin89°25^'37.43''≈040.99995，sin89°22^'38.09^'^'≈0.99994，cos89°25^'37.43^'^'≈0.00999，cos89°22^'38.09^'^'≈0.01087）