相关试卷

1、如图在四边形 $A B C D$ 中 $A D ∥ B C$ ， $A B = A C$ ， $B C = 6$ ， $△ D B C$ 面积为 24， $A B$ 的垂直平分线 $M N$ 分别交 $A B$ ， $A C$ 于点M，N，若点P和点Q分别是线段 $M N$ 和 $B C$ 边上的动点，则 $P B + P Q$ 的最小值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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2、如图， $△ A B E$ 和 $△ A D C$ 是 $△ A B C$ 分别沿着 $A B ， A C$ 边翻折形成的， $C D$ 与 $B E$ 交于点O，若 $∠ 1 ： ∠ 2 ： ∠ 3 = 13 ： 3 ： 2$ ，则 $∠ D O E$ 的度数为（）

A、 $100 °$ B、 $90 °$ C、 $85 °$ D、 $80 °$

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3、如图，两个边长相等的正方形 $A B C D$ 和 $E F G H$ ，将正方形 $E F G H$ 的顶点E与正方形 $A B C D$ 的中心重合，正方形 $E F G H$ 绕点E 顺时针方向旋转；设旋转的角度为 $θ (0 ° \leq θ \leq 360 °)$ ，两个正方形重叠部分的面积为S，则变量S与θ的关系大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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4、下列说法不正确的是（）

A、锐角三角形中每个内角都小于 $90 °$ 是必然事件 B、翻开数学课本，恰好翻到30页是随机事件 C、竹篮打水属于不可能事件 D、在纸上任意画两条直线，这两条直线互相平行是必然事件

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5、图1 为我国高铁座位的实物图，图2 是它的简易图，座位 $A D$ 和座椅靠背 $A E$ 的夹角 $∠ D A E = 100 °$ ，小桌板 $B C$ 与座位 $A D$ 平行，小桌板支撑杆 $A B$ 与桌面 $B C$ 的夹角 $∠ A B C = 125 °$ ，则座椅靠背 $A E$ 与小桌板支撑杆 $A B$ 形成的夹角 $∠ E A B$ 的度数是（）

A、 $25 °$ B、 $20 °$ C、 $15 °$ D、 $10 °$

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6、下列运算正确的是（）

A、 $a^{8} \div a^{4} = a^{2}$ B、 ${(- a^{2} b)}^{3} = - a^{6} b^{3}$ C、 ${(- a + b)}^{2} = - a^{2} - 2 a b + b^{2}$ D、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$

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7、以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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8、在城市规划中，工程师们正在设计一座新的桥梁．桥梁的主结构由多个三角形支撑构成，以确保其稳定性．为了优化材料的使用和承重分布，工程师需要精确计算各个支撑杆的长度和角度．

(1)、等边三角形支撑的初步计算：
桥梁的一个主要支撑结构是一个等边三角形 $A B C$ ，其边长为 $5$ 米．为了加强支撑，工程师在 $A C$ 边上选择了一个点 $D$ ，并从 $D$ 点平行于 $B C$ 方向铺设了一根长度为 $1$ 米的加固杆 $D F$ 同时，从 $B$ 点向外延伸 $1$ 米到 $E$ 点，连接 $D E$ 与 $A B$ 相交于 $P$ ，请计算 $P F$ 的长度．

(2)、可变尺寸的等边三角形支撑：
现在，工程师考虑用不同尺寸的等边三角形支撑，其边长为 $a$ 米．同样地，从 $D$ 点平行于 $B C$ 铺设长度为 $b$ 米的加固杆 $D F$ ，并延长 $C B$ 至点 $E$ 使得 $B E = b$ 米．为了进一步加固，从 $P$ 点垂直 $(P G ⊥ A B)$ 设置一根支柱，与 $B C$ 交于 $G$ ，请计算 $F G$ 的长度．

(3)、非等边三角形支撑的特殊条件：
在另一个设计中，支撑结构不再是等边三角形，工程师在 $A C$ 边上选择 $D$ 点，并从 $D$ 点垂直向下 $(D F ⊥ B C)$ 设置测量杆 $D F ．$ 他们发现主梁 $A B$ 与斜拉索 $D E$ 的长度相等 $(A B = D E)$ ，并且 $∠ A + ∠ E = ∠ C$ ，请证明 $B E = 2 C F$ ．

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9、探究活动：折叠中的对称之美
【初步探究】
在学习了轴对称的知识后，老师告诉大家： $“$ 折叠中隐含着许多轴对称问题． $”$ 为了深入理解，小明决定动于实验．他拿出一张长方形纸片 $A B C D$ ，其中， $A B ∥ C D$ ， $A D ∥ B C$ ．他在边 $A D$ 上取一点 $E$ ，在边 $B C$ 上取一点 $F$ ，并将纸片沿直线 $E F$ 折叠，使得点 $C$ 落在新位置 $C^{'}$ ，如图 $1$ ，小明发现 $△ G E F$ 是等腰三角形；

(1)、请结合图1证明 $△ G E F$ 是一个等腰三角形（即 $G E = G F$ ）
【深入探究】
小明又沿着对称轴 $G H$ 折叠，使得点 $E$ 与 $F$ 重合，展开后如图 $2$ ， $G H$ 与 $E F$ 交于点 $O$ ，连接 $E H$ 后，他想进行以下探究活动：
活动1（计算面积）：
若测量得 $E F = 10$ ， $G H = 8$ ，求四边形 $G F H E$ 的面积；
活动2（证明性质）：
小明发现四边形 $G F H E$ 的四条边均相等，你能证明吗？

(2)、请选择以上任意一个活动完成．

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10、【阅读材料】
我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．例如，教材在探究平方差公式与完全平方公式时，就利用了数形结合的方法．

(1)、【类比探究】
利用图1中面积的等量关系可以得到的数学公式为（请填序号）．
① $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$     ② $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
③ $a (a + b) = a^{2} + a b$       ④ $a (a - b) = a^{2} - a b$

(2)、【解决问题】
利用【类比探究】中得到的结论，解决下列问题：
①已知 $a - b = 3, a^{2} + b^{2} = 5$ ，则 $a b =$ ▲  ；
②若 $(6 + x) x = 7$ ，求 $(6 + x)^{2} + x^{2}$ 的值；

(3)、【拓展应用】
如图，点E是线段 $A B$ 上的一点，在线段 $A B$ 的同侧作以 $A B 、 B E$ 为边的正方形，设 $A E = 6$ ，两正方形的面积和为50，求图中阴影部分面积．

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11、图1是计算机“扫雷”游戏的画面，在 $9 \times 9$ 个小方格的雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．

(1)、小明如果踩在图1中的任意一个小方格上，则踩中“地雷”的概率是；

(2)、如图2，小明先点一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方格中埋藏着2颗地雷（图中包含数字2的黑框区域记为 $A$ ），若小明在区域 $A$ 内围着数字2的8个方格中任点一个，则踩中“地雷”的概率是；

(3)、如图2，为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在 $A$ 区域内的小方格上还是应踩在 $A$ 区域外的小方格上？并说明理由．

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12、德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x（时），记忆留存率记为y（%），则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．
请认真观察图象，回答下列问题：

(1)、这个变化过程中自变量是（填文字）；因变量是（填文字）

(2)、请说明点D的实际意义．

(3)、由图可知，知识记忆遗忘先后，记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐．（填序号）
①快；②慢；③增多；④减少．

(4)、有研究表明，如及时复习，一天后记忆量能保持 $98 %$ ，根据上述遗忘曲线规律制定两条暑假学习计划．

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13、先化简再求值： $[(x y + 2) (x y - 2) - 9 x^{2} y^{2} + 4] \div (- 4 x y)$ ，其中 $x = 4$ ， $y = \frac{1}{2}$ ．

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14、如图，某社区公园的平面示意图为一个三角形区域 $A B C$ ， A为公园主入口．已知 $A B = A C = 600$ 米， $∠ B A C = 100 °$ ，为方便居民活动，计划在 $∠ A B C$ 的平分线 $B D$ 上设置一个便民服务站D（D在 $A C$ 边上）；在 $B D$ 和 $B C$ 边上分别选取安装点E、F，要求 $B E = C F$ ；沿 $A E$ 、 $A F$ 铺设两条智能照明步道，已知步道建设成本为每米400元，为节省经费，这两条步道总建设费用的最小值为元．

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15、如图，已知点 $P$ 在直线 $l$ 外，按以下步骤作图：①在直线 $l$ 上任取一点 $A$ ，以点 $A$ 为圆心，以 $A P$ 的长为半径作弧，交直线 $l$ 于点 $B$ ，连接 $P B$ ；②以点 $P$ 为圆心，以 $P A$ 的长为半径作弧；③以点 $A$ 为圆心，以 $P B$ 的长为半径作弧，交前弧于点 $C$ ，作直线 $P C$ ．若 $∠ P B A = 72 °$ ，则 $∠ B P C$ 的度数为．

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16、把两个同样大小的含 $30 °$ 角的直角三角板 $A B C$ 和三角板 $B A D$ 按如图所示放置， $M$ 是 $A C$ 与 $B D$ 的交点，通过读刻度尺的数据，得 $C M$ 的长为 $4.5 c m$ ，则点 $M$ 到 $A B$ 边的距离是 $c m$ ．

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17、已知 $m - n = 2$ ， $m^{2} - n^{2} = 6$ ，则 $m + n$ 的值为．

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18、三所学校分别记作A、B、C，体育场记作O，它是 $△ A B C$ 的三条角平分线的交点，O，A，B，C每两地之间有直线道路相连，一支长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校后返回O点，则所跑路线距离最短的是（已知 $A C > B C > A B$ ）（）

A、 $O A B C O$ B、 $O A C B O$ C、 $O B A C O$ D、 $O B C A O$

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19、下列说法正确的是（）

A、掷一枚正方体骰子，偶数朝上这一事件是必然事件 B、“在平面上任意画一个三角形，其内角和为 $180 °$ ”这一事件是必然事件 C、在单词 $b o o k$ （书）中任意选邦一个字母为o的概率为 $\frac{1}{3}$ D、天气预报说明天的降水概率是 $90 %$ ，则明天一定会下雨

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20、如图，点E在 $B C$ 的延长线上，下列选项中，能判断 $A D ∥ B C$ 的是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 4$ B、 $∠ 2 = ∠ 5$ C、 $∠ 4 = ∠ B$ D、 $∠ 1 = ∠ 3$

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