相关试卷

1、【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于 $c^{2}$ ，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 $\frac{1}{2} a b \times 4 + {(b - a)}^{2}$ ，从而得到等式 $c^{2} = \frac{1}{2} a b \times 4 + {(b - a)}^{2}$ ，化简便得结论 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．
【方法运用】（1）千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2中的 $a$ ， $b$ ， $c$ 用两种方法表示出梯形 $A B C D$ 的面积，说明勾股定理 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ；
【方法迁移】（2）如图3，每个小方格的边长为1，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 分别在格点上，连接点 $A$ ， $B$ ， $C$ 可得 $△ A B C$ ，求边 $A B$ 上的高；
【方法拓展】（3）如图4，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的高， $A B = 4$ ， $A C = 5$ ， $B C = 6$ ，设 $B D = x$ ，求 $x$ 的值．

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2、如图，已知 $Rt △ A B C$ ，两直角边 $A C = 6 cm$ ， $B C = 8 cm$ ，点 $D$ 为 $B C$ 上一点，现将 $Rt △ A B C$ 沿 $A D$ 折叠，使点 $C$ 落在斜边 $A B$ 上的点 $E$ 处，

(1)、求 $B E$ 的长；

(2)、求 $C D$ 的长．

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3、计算：

(1)、 $6 {(x + 1)}^{2} - 18 = 0$ ；

(2)、 $\sqrt{8} - 3 \sqrt{\frac{1}{2}} + |1 - \sqrt{2}|$ ；

(3)、 ${(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2} + (\sqrt{3} + 2) (\sqrt{3} - 2)$ ；

(4)、 $- 1^{3} + \sqrt{{(- 2)}^{2}} - \sqrt[3]{27} + |\sqrt{3} - 2|$ ．

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4、如图，实数 $\sqrt{2}$ 在数轴上的对应点可能是点．

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5、实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简 $a + |a + b| - \sqrt{c^{2}}$ 等于（）

A、0 B、 $a + b$ C、 $c - b$ D、 $2 a - c$

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6、将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为 $320cm$ ，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①．彩旗完全展平时的尺寸（单位： $cm$ ）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（）

A、 $170cm$ B、 $160cm$ C、 $230cm$ D、 $200cm$

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7、如图 $①$ ，在平面直角坐标系中， $A (a, b)$ ， $B (- b, 0)$ ，且满足 $|a + 2| + \sqrt{b - 5} = 0$ ，将线段 $A B$ 平移得线段 $D C$ ，点 $A$ 对应点 $D$ ，点 $B$ 对应点 $C$ ，点 $A$ 的对应点 $D$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 的对应点 $C$ 在 $y$ 轴上．

(1)、直接写出 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点的坐标；

(2)、如图 $②$ ，点 $P$ 是 $y$ 轴上的一个动点，当三角形 $C P D$ 面积是三角形 $A P D$ 的面积的一半时，求点 $P$ 的坐标；

(3)、如图 $③$ ，若动点 $E$ 从点 $D$ 出发向左运动，同时动点 $F$ 从点 $C$ 出发向上运动，两个点的运动速度之比是 $1$ ： $2$ ，运动过程中直线 $D F$ 和 $C E$ 交于点 $N$ ，若三角形 $D C N$ 的面积等于 $9$ ，求出点 $N$ 的坐标．

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8、【问题背景】
（1）如图1，点 $P$ 是线段 $A B$ ， $C D$ 的中点，求证： $A C ∥ D B$ ；
【变式迁移】
（2）如图2，在等腰 $△ A B C$ 中， $B D$ 是底边 $A C$ 上的高线，点 $E$ 为 $△ A B D$ 内一点，连接 $E D$ ，延长 $E D$ 到点 $F$ ，使 $E D = F D$ ，连接 $A F$ ，若 $B E ⊥ A F$ ，请判断 $A F$ 、 $B E$ 、 $B C$ 三边数量关系并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在等腰 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $A C = B C$ ，点 $D$ 为 $A B$ 中点，点 $E$ 在线段 $B D$ 上（点 $E$ 不与点 $B$ ，点 $D$ 重合），连接 $C E$ ，过点 $A$ 作 $A F ⊥ C E$ ，连接 $F D$ ，若 $A F = 9$ ， $C F = 3$ ，请直接写出 $F D$ 的长．

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9、已知 $x = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ， $y = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$

(1)、求 $x^{2} + y^{2} + 3 x y$ 的值；

(2)、若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求 ${(m + n)}^{2024} - \sqrt{{(n - m)}^{2}}$ 的值．

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10、如图，有一个圆柱形食品盒，它的高为10cm，底面圆周长为24cm，如果在盒外AD的中点P处有一只蚂蚁，蚂蚁爬行的速度为2cm/s，它想吃到点B处（点A、B正好相对）的食物，那么它至少需要爬行s．

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11、将长为 $13.5 cm$ ，宽为 $8 cm$ 的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为 $1.5 cm$ ．设 $x$ 张白纸粘合后的总长度为 $y cm$ ，则 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为．

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12、如图，将三角形纸片 $A B C$ 沿 $A D$ 折叠，使点C落在 $B D$ 上的点E处，若 $B C = 8, B E = 2$ ，则 $A B^{2} - A C^{2}$ 的值为．

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13、我市电费实行阶梯式收费，标准如下：
一户居民一个月用电量的范围
电费价格/（元/千瓦时）
不超过200千瓦时的部分
$0.55$
超过200千瓦时，但不超过400千瓦时的部分
$0.6$
超过400千瓦时的部分
$0.8$

(1)、设该市一户居民某月用电量 $x$ 千瓦时，当月的电费 $y$ 元，写出 $y$ 与 $x$ 的关系式：
当 $200 < x \leq 400$ 时，_____；当 $x > 400$ 时，_____；

(2)、某户居民七月份用电量为260千瓦时，求该户这个月的电费；

(3)、某户居民八月份缴电费170元，那么该户居民八月份用电量为多少千瓦时？

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14、如图，在 $△ A B C$ 中， $C D ⊥ A B$ 于点D， $A C = 4$ ， $B C = 3$ ， $D B = \frac{9}{5}$ ．

(1)、求 $C D$ 的长；

(2)、求 $A D$ 的长；

(3)、求证： $△ A B C$ 是直角三角形．

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15、已知点 $P (2 a - 2, a + 5)$ ，解答下列各题．

(1)、若点P在x轴上，求点P的坐标；

(2)、若点Q的坐标为 $(4, 5)$ ，直线 $P Q ∥ y$ 轴，求点P的坐标；

(3)、若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求 $a^{2025}$ 的立方根．

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16、已知x﹣2的平方根是±1，2x+y+17的立方根是3，
（1）求x，y的值；
（2）求x²+y²的平方根；
（3）若将平面坐标系内点P(x，y)先向左再向下分别平移 $\sqrt{10}$ 个单位，则对应点 $P^{'}$ 在第　象限．

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17、计算：

(1)、 $(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5}) + {(\sqrt{3} - 1)}^{2}$ ；

(2)、 ${(\sqrt{2} - 1)}^{0} - \sqrt{18} + |\sqrt{2} - 1| + \frac{7}{\sqrt{8} - 1}$ ；

(3)、 $\frac{\sqrt{12} + \sqrt{27}}{\sqrt{3}} - \sqrt{{(\sqrt{3} - 2)}^{2}} - |- \sqrt{6}|$ ；

(4)、 ${(x + 2)}^{2} - \frac{16}{49} = 0$ ．

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18、若最简二次根式 $\sqrt{3 a - 5}$ 与 $\sqrt{a + 3}$ 是同类二次根式，则a= ．

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19、若 $a < 2 \sqrt{7} < b$ ，其中a、b为两个连续的整数，则ab的值为

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20、在函数 $y = x^{2}$ 中，当 $x = 3$ 时，函数值为；当函数值为4时，自变量x的值为．

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一户居民一个月用电量的范围	电费价格/（元/千瓦时）
不超过200千瓦时的部分	$0.55$
超过200千瓦时，但不超过400千瓦时的部分	$0.6$
超过400千瓦时的部分	$0.8$