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1、如图， $△ A B C$ 为等腰三角形， $A B = A C$ ， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线，点P在 $A D$ 上，连接 $P B 、 P C$ ，若 $P B = 13, P D = 5$ ，则 $C D$ 的长为（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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2、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3、已知 $a > 5$ ，下列不等式一定成立的是（）

A、 $- a > - 5$ B、 $5 - a > 0$ C、 $2 a > 10$ D、 $a > 6$

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4、如图 1，已知抛物线 $C : y = \frac{1}{4} x^{2}$ ，点 $F (0, 1)$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $A, B$ 两点，过点 $F$ 且与 $l$ 垂直的直线交抛物线 $C$ 于 $D, E$ 两点，其中 $B, D$ 在 $y$ 轴右侧， $M, N$ 分别为 $A B, D E$ 的中点．

(1)、证明：直线 $M N$ 过定点．

(2)、如图 2，设 $G$ 为直线 $A E$ 与直线 $B D$ 的交点，连结 $G M 、 G N$ ，
① 证明： $S_{△ G M N} = \frac{1}{4} S_{四边形 A E B D}$ ；
② 求 $△ G M N$ 面积的最小值．

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5、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $B D$ 上的两点，且 $∠ B A E = ∠ D C F$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 为平行四边形；

(2)、若 $∠ E A F = 90 °$ ， $∠ B D C = 2 ∠ B C E$ ．
① 求证： $E F = A B$ ；
② 若 $B D$ 平分 $∠ A D C$ ， $A E = 2$ ，求 $B D$ ．

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6、“地摊经济”一时兴起，小明计划在夜市销售一款产品，进价40元/件，售价110 元/件，每天可以销售 20 件，每销售一件需缴纳摊位管理费用 $a$ $(a > 0)$ 元．未来 30 天，这款产品将开展 “每天降价1元”的夏日大促活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该产品单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳摊位管理费用后的利润随天数 $t$ （ $t$ 为正整数）的增大而增大， $a$ 的取值范围应为．

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7、将矩形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 对折，点 $B$ 落在点 $E$ 处， $B F ⊥ C E$ ， $B F$ 与 $A C$ 交于点 $G$ ，若 $A G = 3$ ， $F G = 1$ ，则 $A B =$ ．

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8、如果 $m$ ， $n$ 是正实数，方程 $x^{2} + m x + 4 n = 0$ 和方程 $x^{2} + 4 n x + m = 0$ 都有实数解，那么 $m + n$ 的最小值是．

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9、如图， $△ O A C$ 和 $△ B A D$ 都是等腰直角三角形， $∠ A C O = ∠ A D B = 90^{\circ}$ ，反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 在第一象限的图象经过点 $B$ ，则 $△ O A C$ 与 $△ B A D$ 的面积之差为．

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10、无论 $m$ 为何实数，二次函数 $y = x^{2} + (m - 1) x + m$ 的图象总是过定点．

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11、若 $\sqrt{9 - n}$ 是整数，则满足条件的正整数 $n$ 共有个．

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12、在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ，连接对角线 $A C, A C ⊥ A B$ ，点 $E$ 为边 $A B$ 上一点，连接 $C E, C E$ 平分 $∠ A C B$ ， $A C$ 与 $D E$ 交于点 $F$ ，若点 $F$ 恰为 $D E$ 中点，且 $A D = 5, C D = 7$ ，则 $D E =$ （）

A、 $\sqrt{74}$ B、 $\sqrt{97}$ C、11 D、12

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13、如图， $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ，角平分线 $B D$ 、 $C E$ 交于点 $I$ ， $I F ⊥ C E$ 交 $C A$ 于 $F$ ， $I H ⊥ A B$ 于 $H$ ，下列结论：① $∠ D I F = 45 °$ ；② $C F + B E = B C$ ；③ $A E + A F = 2 A H$ ；④ $S_{四边形 Δ B E D C} = 2 S_{△ I B C}$ ，其中正确结论的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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14、若当 $- 4 \leq x \leq 2$ 时，二次函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} - m x + 1 (m > 0)$ 的最小值为0，则 $m =$ （）

A、 $- \frac{9}{4}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\sqrt{2}$ 或 $\frac{3}{2}$

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15、如图，直线 $y = k_{1} x + b$ 与双曲线 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 交于 $A (2, m)$ ， $B (4, n)$ 两点，则不等式 $k_{1} x < \frac{k_{2}}{x} + b$ 的解为（）

A、 $2 < x < 4$ B、 $- 4 < x < - 2$ C、 $x < - 4$ 或 $x > - 2$ D、 $- 4 < x < - 2$ 或 $x > 0$

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16、在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点 $M (x_{1}, y_{1})$ 和点 $N (x_{2}, y_{2})$ ，若 $x_{1} = x_{2}$ ，则 $M N ∥ y$ 轴，且线段 $M N$ 的长度为 $|y_{1} - y_{2}|$ ，若 $y_{1} = y_{2}$ ，则 $M N ∥ x$ 轴，且线段 $M N$ 的长度为 $|x_{1} - x_{2}|$ ．
【实践操作】
（1）若点 $M (- 1, 1)$ ， $N (2, 1)$ ，则 $M N ∥ x$ 轴， $M N$ 的长度为______；
【拓展应用】
（2）如图，在平面直角坐标系中， $A (- 4, 0)$ ， $B (0, 2)$ ， $C (0, - 3)$
①如图1， $△ A B C$ 的面积为______；
②如图2，点D在线段 $A B$ 上，将点D沿x轴正方向向右平移3个单位长度至E点，若 $△ A C E$ 的面积等于14，求点 $D$ 坐标．

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17、 $△ A B C$ 在平面直角坐标系中的位置如图．

(1)、将 $△ A B C$ 向左平移4个单位长度，向下平移2个单位长度，画出平移后的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$

(2)、写出下列各点的坐标： $A^{'}$ _____； $B^{'}$ ______； $C^{'}$ _____，

(3)、若点 $P (a, b)$ 是 $△ A B C$ 内部一点，则平移后 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 内的对应点 $P^{'}$ 的坐标为______．

(4)、求 $△ A B C$ 的面积．

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18、（1）解方程： $6 x - 6 = 20 - 7 x$
（2）先化简，再求值： $(- 2 a b + 3 a) - 2 (2 a - b) + 2 a b$ ，其中 $a = 3$ ， $b = 1$ ．

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19、计算： $|2 - \sqrt{3}| + \sqrt{{(- 3)}^{2}} - {(- 1)}^{2025} + \sqrt[3]{- 27}$ ．

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20、如图，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ 3= ∠ 4$ ，若进入潜望镜的光线与离开潜望镜的光线是互相平行的，当 $∠ 1 = 69 °$ ，则 $∠ 3 =$ °．

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