相关试卷

1、阅读下列材料，完成相应任务．
台球中的数学
如图1是台球桌面实物图，图2是抽象出的数学图形，一个球在桌面上的点 $E$ 处滚向桌边 $A D$ ，碰到 $A D$ 上的点 $F$ 后反弹，再碰到 $B C$ 边上的点 $G$ 后，再次反弹进入底袋点 $D$ ．已知长方形桌面 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ 3 = ∠ 4$ ．

(1)、如图2，求证： $E F ∥ G D$ ；

(2)、如图3，若球在桌面的点 $E$ 处，经过两次反弹后碰到 $A D$ 边上的点 $H$ 处， $∠ 2 + ∠ 3 = 90 °$ ，请你判断 $E F$ 与 $G H$ 的位置关系，并说明理由．

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2、如图，将三角形 $A B C$ 整体向下平移 $3$ 个单位长度，再向左平移 $5$ 个单位长度得到三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ ．

(1)、画出平移后的图形三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ ，并写出三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 各顶点的坐标；

(2)、求出三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积．

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3、计算： $\sqrt{9} + \sqrt[3]{- 8} - \sqrt{\frac{1}{4}}$

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4、在平面直角坐标系中，点 $M$ 在第二象限，到 $x$ 轴， $y$ 轴的距离分别为 $6 ， 4$ ，则点 $M$ 的坐标为．

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5、一个正方形的面积是8，估计它的边长大小在（）

A、1与2之间 B、2与3之间 C、3与4之间 D、4与5之间

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6、如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，叶片“顶部” $A ， B$ 两点的坐标分别为 $(0, 3) ， (- 1, 1)$ ，则叶杆“底部”点 $C$ 的坐标为（　　）

A、 $(- 2, 4)$ B、 $(4, - 2)$ C、 $(3, 0)$ D、 $(- 1, 3)$

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7、如图，点 $E$ 在 $B C$ 的延长线上，下列条件不能判定 $A B ∥ C D$ 的是（）

A、 $∠ 3 = ∠ 4$ B、 $∠ B = ∠ 5$ C、 $∠ 5 = ∠ D$ D、 $∠ D + ∠ D A B = 180 °$

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8、甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能大致用平移来分析其形成过程的是（）

A、 B、 C、 D、

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9、下列各数中，是无理数的是（）

A、 $- 3$ B、 $0$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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10、（1）如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 10$ ，将 $A D$ 沿 $D F$ 折叠， $A$ 的对应点 $E$ 恰好落在 $B C$ 边上．若 $sin ∠ D E C = \frac{3}{5}$ ，求 $B E$ ．
（2）如图2，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 边上的一点， $∠ A D E = 2 ∠ B A E$ ， $sin ∠ D E C = \frac{8}{17}$ ， $B E = 2$ ，求 $A B$ ．
（3）如图3，在（2）的条件下， $F$ 是射线 $E A$ 上的一点，且 $A F = \frac{1}{2} A E$ ，求 $\frac{C P}{P F}$ ．

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11、太阳灶是利用凹面镜会聚光的性质把太阳能收集起来，用于做饭、烧水的一种器具．目前应用最广泛的聚光式太阳造是利用镜面反射汇聚阳光，如图1，这种太阳灶的镜面设计，可以看成是抛物线绕其对称轴旋转一周所得的旋转抛物面，其原理是，如图2，若有一束平行光沿对称轴方向射向这个抛物面，则反射光线都会集中反射到一特殊点（即抛物线的焦点）的位置，于是形成聚光，达到加热的目的．若抛物线的表达式为 $y = a x^{2}$ ，则抛物线的焦点为 $(0, \frac{1}{4 a})$ ．

(1)、已知在平面直角坐标系中，某款太阳灶抛物线的表达式为 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ ，则焦点的坐标是______；

(2)、如图3，用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与 $y$ 轴重合，顶点与原点重合，若太阳灶采光面的直径 $A B$ 为1.5米，凹面深度 $C D$ 为0.25米，求抛物线的表达式______；

(3)、如图4，在（2）的条件下， $M N$ 为平行于 $y$ 轴的入射光线， $N F$ 为反射光线， $N$ 为切点， $F$ 为焦点，当 $∠ M N G = ∠ F N G = 22.5 °$ 时，求点 $N$ 的横坐标；

(4)、如图5，在（1）的条件下，点 $E$ 是焦点， $α$ 表示太阳灶边缘（最远程）反射光同对称轴的夹角，当 $α$ 为 $45 °$ 时，求点 $B$ 的坐标．

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12、如图，在 $△ A B C$ 中，以 $A B$ 上一点 $O$ 为圆心， $O A$ 为半径的 $⊙ O$ 与 $B C$ 、 $A B$ 相交于 $D$ 、 $E$ ，连接 $A D$ ．

(1)、从以下三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题，并写出你的证明过程．
① $A D$ 平分 $∠ B A C$ ；② $∠ A C B = 90 °$ ；③直线 $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线．你选择的条件是______，结论是______（填序号）；

(2)、在（1）的条件下，若 $∠ B = 30 °$ ， $B E = 2$ ，求图中阴影部分的面积．

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13、“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实双减政策，丰富学生的课余活动，开设了书法社团，计划为学生购买A， $B$ 两种型号“文房四宝”共40套．已知某文化用品店每套 $B$ 型号的“文房四宝”的标价比A型号的“文房四宝”的标价高 $30 %$ ，若按标价购买共需花费4300元，其中购买A型号“文房四宝”花费3000元．

(1)、求每套 $A$ 型号的“文房四宝”的标价．

(2)、该中学的课余活动进行得如火如荼，另一所学校也打算购入A， $B$ 两种型号的工具开展相关活动．考虑到购买较多，店主同意该中学按A型号“文房四宝”八折， $B$ 型号“文房四宝”满20套送一套的优惠价，已知A， $B$ 两种型号的“文房四宝”每套进价分别为50元和105元，学校购买了A型号“文房四宝”50套，若通过此单生意，该店获利不低于2100元，则该校至少买了多少套 $B$ 型“文房四宝”？

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14、某学校为了了解学生在课堂中的专注度，在全校范围内随机抽取了一些学生进行“我的课堂时间管理”问卷调查，设计的问题：你在课堂中的专注度时间为多少？答案选项为： $A$ ． $0 \leq x < 10$ ， $B$ ． $10 \leq x < 20$ ， $C$ ． $20 \leq x < 30$ ， $D$ ． $30 \leq x < 40$ ，将调查结果整理后绘制如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：

(1)、本次调查总人数为______人；

(2)、请把条形统计图补充完整；

(3)、请估计该校1600名学生中课堂专注度在20分钟及以上的人数为______人；

(4)、为了提高该校学生在课堂中的专注度时间，假如你是该校学生，请给出一条合理化建议．

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15、先化简，再求值： $(\frac{1}{x - 2} + 1) \div \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 2 x}$ ，其中 $x = 2$ ．

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16、计算： ${(π - 2024)}^{0} - \sqrt{9} + 3 tan 30 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ．

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $A C = 5$ ， $sin ∠ B A C = \frac{3}{5}$ ， $\frac{B D}{C D} = \frac{3}{5}$ ，则 $A D =$ ．

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18、如图，已知 $Rt △ A B O$ 中， $A O = 6$ ， $tan ∠ B A O = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $△ A B C$ 与 $△ A B O$ 关于 $A B$ 所在直线对称，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 恰好经过点 $C$ ，则 $k =$ ．

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19、随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要是由黑、白两种小正方形组成，现对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个白色小正方形和一个黑色小正方形的概率为．

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20、如图，菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 45 °$ ， $D H ⊥ A B$ 垂足为 $H$ ，点 $P$ 在线段 $D H$ 上，过点 $P$ 作 $M N ∥ A B$ ， $S_{△ D M P} = S_{△ H N P}$ ，则 $\frac{D P}{P H}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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