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1、下列二次根式是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{9}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{8}$

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2、在平面直角坐标系中，点 $A (m ， n)$ 满足 $n = \sqrt{m - 4} - \sqrt{4 - m} + 2$ ．

(1)、直接写出点 $A$ 的坐标．

(2)、如图①，将线段 $O A$ 沿 $y$ 轴向下平移 $a$ 个单位长度后得到线段 $B C$ （点 $O$ 与点 $B$ 对应），当点 $D$ 在原点 $O$ 下方时，过点 $C$ 作 $C D$ $⊥$ $y$ 轴于点 $D$ ．若 $4 O D = 3 B D$ ，求 $a$ 的值．

(3)、如图②，点 $E (0 ， 5)$ 在 $y$ 轴上，连接 $A E$ ．将线段 $O A$ 沿 $y$ 轴向上平移 $3$ 个单位长度后得到线段 $F G$ （点 $O$ 与点 $F$ 对应）， $F G$ 交 $A E$ 于点 $P$ ， $y$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使 $S_{△ A P Q} = 6$ ？若存在，请求出 $Q$ 点的坐标；若不存在，请说明理由．

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3、先阅读下列知识，然后回答后面的问题∶
二元一次方程组 $\{\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{matrix}$ 的解的情况有以下三种：当 $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ 时，方程组有无数个解；当 $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ 时，方程组无解；当 $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ 时，方程组有唯一解．

(1)、判断二元一次方程组 $\{\begin{matrix} x + y = 2 \\ 2 x + 2 y = 4 \end{matrix}$ 的解的情况：___________；判断二元一次方程组 $\{\begin{matrix} 2 x + y = 1 \\ 4 x - 2 y = 3 \end{matrix}$ 的解的情况：___________．

(2)、小明在解下面的二元一次方程组时，碰到了一个非常“严重”的问题，发现“ $10 = 8$ ”，他知道这是不可能的，但是又找不到错误的原因，请你解释一下．
解方程组： $\{\begin{array}{l} 2 x + y = 5 ① \\ 4 x + 2 y = 8 ② \end{array}$
解：由①得 $y = 5 - 2 x$ ，代入②得 $4 x + 2 (5 - 2 x) = 8$ ，得 $10 = 8$

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4、某校组织全校学生进行了一次数学知识竞赛，根据竞赛结果，抽取了200名学生的成绩（得分均为正整数，满分为100分，大于80分的为优秀）进行统计，绘制了如下尚不完整的统计图表．
请结合图表解决下列问题．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值，并将频数分布直方图补充完整．

(2)、若该校共有1000名学生，请估计本次数学知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数．

(3)、你怎样评价这个学校的竞赛成绩？

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5、若点 $P (a, a - 5)$ 到 $x$ 轴的距离为 $m_{1}$ ，到 $y$ 轴的距离为 $m_{2}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时， $m_{1} + m_{2} =$ 　　；

(2)、若点P在第一象限，且 $m_{1} + m_{2} = 7$ ，求出点 $P$ 的坐标．

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6、解不等式组 $\{\begin{array}{l} 3 x + 5 > 1 - x \\ \frac{5 - x}{3} \leq 3 - x \end{array}$ ，并把解集在数轴上表示出来．

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7、计算： $\sqrt{9} - （ - 1 ）^{2024} - \sqrt[3]{27} - |1 - \sqrt{2}|$

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8、对 $x$ 、 $y$ 定义一种新运算 $T$ ，规定： $T (x, y) = a x y + b x - 4$ （其中 $a$ 、 $b$ 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如： $T (0, 1) = a \times 0 \times 1 + b \times 0 - 4 = - 4$ ，若 $T (2, 1) = 2$ ， $T (- 1, 2) = - 8$ ，则下列结论正确的有．
（1） $a = 1$ ， $b = 2$ ；
（2）若 $T (m, n) = 0$ ， $(n \neq - 2)$ ，则 $m = \frac{4}{n + 2}$ ；
（3）若 $T (m, n) = 0$ ，则 $m$ 、 $n$ 有且仅有2组正整数解；
（4）若 $T (k x$ ， $y) = T (k y$ ， $x)$ 对任意有理数 $x$ 、 $y$ 都成立，则 $k = 1$ ．

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9、已知 $\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$ 是二元一次方程组 $\{\begin{cases} m x + n y = 8 \\ n x - m y = 1 \end{cases}$ 的解，则3m﹣n的值为．

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10、若 $a$ ， $b$ 为两个连续的正整数 $a <$ $\sqrt{46}$ $< b$ ，则 $a + b =$ ．

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11、如图，边长为 $\sqrt{7}$ 的正方形 $A B C D$ 的顶点 $A$ 在数轴上，且点 $A$ 表示的数为1，若点 $E$ 在数轴上，(点 $E$ 在点 $A$ 的右侧)且 $A B = A E$ ，则点 $E$ 所表示的数为( )

A、 $\sqrt{7}$ B、 $1 + \sqrt{7}$ C、 $2 + \sqrt{7}$ D、 $3 + \sqrt{7}$

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12、笛卡尔是法国著名数学家，他于1637年发明了现代数学的基础工具——平面直角坐标系．平面直角坐标系的引入，使得我们可以用几何方法研究代数问题，又可以用代数方法研究几何问题，主要体现的数学思想是（）

A、方程思想 B、数形结合思想 C、公理化思想 D、分类思想

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13、如图，老师在黑板上建立平面直角坐标系，并把课本放在如图所示的位置，则一定没有被课本遮住的点是（）

A、 $(1, 3)$ B、 $(3, 1)$ C、 $(- 1, - 1)$ D、 $(- 1, 2)$

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14、西帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生．在 $π$ ， $1. \dot{3}$ ， $0.020020002$ ， $- 5$ ， $\frac{2}{3}$ 中，无理数的个数是（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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15、如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x + b$ 的图像经过点 $A (- 2, 6)$ ，且与 $x$ 轴相交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $D$ ，与正比例函数 $y = 3 x$ 的图像相交于点 $C$ ，点 $C$ 的横坐标为 $1$ ．

(1)、直接写出点 $C$ 的坐标及一次函数 $y = k x + b$ 解析式；

(2)、直接写出不等式 $k x + b - 3 x > 0$ 的解集；

(3)、 $M$ 为射线 $C B$ 上一点，过点 $M$ 作 $y$ 轴的平行线交 $y = 3 x$ 于点 $N$ ，当 $M N = O D$ 时，请求出点 $M$ 的坐标．

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16、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A C$ 与 $B D$ 相交于点O，且O是 $B D$ 的中点．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形；

(2)、若 $△ O A B$ 是等边三角形，且 $A B = 4$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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17、已知，一次函数的图象经过点（﹣3，7）和点（2，﹣3）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）求该函数图象与x轴的交点坐标．

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18、计算： $- 1^{2024} - \sqrt{27} \div \sqrt{3} + (\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)$ ．

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19、在平面直角坐标系中，已知一次函数 $y = - 5 x - 6$ 的图像经过 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ ， $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ 两点，若 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1}$ $y_{2}$ ．（填“＞”，“＜”或“＝”）

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20、如图，某小区物业想对小区内的三角形广场 $A B C$ 进行改造，已知 $A C$ 与 $B C$ 的夹角为120°， $A C = 10 m$ ， $B C = 14 m$ ，则需要改造的三角形广场面积为（）

A、 $35 m^{2}$ B、 $70 m^{2}$ C、 $35 \sqrt{3} m^{2}$ D、 $70 \sqrt{3} m^{2}$

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