相关试卷

1、综合与实践

［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图1），需找到合适的切割线．

［模型］已知矩形 $A B C D$ （数据如图2所示）．作一条直线 $M N$ ，使 $M N$ 与 $B C$ 所夹的锐角为 $45 °$ ，且将矩形 $A B C D$ 分成周长相等的两部分．

［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．

如图3，嘉嘉的思路如下：

①连接 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ；

②过点 $O$ 作 $E F ⊥ B C$ ，分别交 $B C$ ， $A D$ 于点 $E$ ， $F$

……

如图4，淇淇的方法如下：

①在边 $B C$ 上截取 $B G = A B$ ，连接 $A G$ ；

②作线段 $G C$ 的垂直平分线 $l$ ，交 $B C$ 于点 $M$ ；

③在边 $A D$ 上截取 $A N = G M$ ，作直线 $M N$ ．

［探究］根据以上描述，解决下列问题．

(1)、图2中，矩形

A B C D

的周长为；

(2)、在图3的基础上，用尺规作图作出直线

M N

（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）；

(3)、根据淇淇的作图过程，请说明图4中的直线

M N

符合要求．

(4)、［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．

如图5，若直线 $P Q$ 将矩形 $A B C D$ 分成周长相等的两部分，分别交边 $A D$ ， $B C$ 于点 $P$ ， $Q$ ，过点 $B$ 作 $B H ⊥ P Q$ 于点 $H$ ，连接 $C H$ ．

①当 $∠ P Q C = 45 °$ 时，求 $t a n ∠ B C H$ 的值；

②当 $∠ B C H$ 最大时，直接写出 $C H$ 的长．

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2、一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在 $0 ~ 100 ℃$ （本题涉及的温度均在此范围内），原长为 $l m$ 的铜棒、铁棒受热后，伸长量 $y (m)$ 与温度的增加量 $x (℃)$ 之间的关系均为 $y = α l x$ ，其中 $α$ 为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数 $α_{C u} = 1.7 \times 1 0^{- 5}$ （单位： $/ ℃$ ）；原长为2.5m的铁棒从 $20 ℃$ 加热到 $80 ℃$ 伸长了 $1.8 \times 1 0^{- 3} m$ ．

(1)、原长为0.6m的铜棒受热后升高 $50 ℃$ ，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）．

(2)、求铁的线膨胀系数 $α_{F e}$ ；若原长为1m的铁棒受热后伸长 $4.8 \times 1 0^{- 4} m$ ，求该铁棒温度的增加量．

(3)、将原长相等的铜棒和铁棒从 $0 ℃$ 开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高 $20 ℃$ ，求该铁棒温度的增加量．

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3、如图1，图2，正方形 $A B C D$ 的边长为5．扇形 $O E F$ 所在圆的圆心 $O$ 在对角线 $B D$ 上，且不与点 $D$ 重合，半径 $O E = 2$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $A D$ ， $C D$ 上， $D E = D F$ $(D E \geq 2)$ ，扇形 $O E F$ 的弧交线段 $O B$ 于点 $M$ ，记为 $\overset{⌢}{E M F}$ ．

(1)、如图1，当 $A E = 3$ 时，求 $∠ E M F$ 的度数；

(2)、如图2，当四边形 $O E M F$ 为菱形时，求 $D E$ 的长；

(3)、当 $∠ E O F = 150 °$ 时，求 $\overset{⌢}{E M F}$ 的长．

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4、某工厂生产 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四种产品．为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质．经研究，该工厂做出了甲、乙两种调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响．
下面是该工厂这四种产品的部分信息：
a．调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．
b．各产品单件成本的核算情况统计表及说明．
A
B
C
D
调整前单件成本/（元/件)
18
26
20
36
调整后单件成本/（元/件)
方案甲
13
32
m
40
方案乙
16
n
18
32
说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同．
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、求调整前 $A$ 产品的年产量；

(2)、直接写出 $m$ ， $n$ 的值；

(3)、若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低．

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5、如图．四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $E$ ， $A C = A D$ ， $∠ A C B = ∠ A D B$ ，点 $F$ 在 $E D$ 上， $∠ B A F = ∠ E A D$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ A F D$ ；

(2)、若 $B E = F E$ ，求证： $A C ⊥ B D$ ．

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6、

(1)、一道习题及其错误的解答过程如下：
计算： $(- 6) \times (\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{5}{6})$ ．
解： $(- 6) \times (\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{5}{6})$
$= - 6 \times \frac{1}{2} + 6 \times \frac{2}{3} - 6 \times \frac{5}{6}$ 第一步
$= - 3 + 4 - 5$ 第二步
$= - 4$ ．第三步
请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．

(2)、计算： $| 2 - \sqrt{2} | - (- 2)^{2} \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{4})$ ．

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7、

(1)、解不等式 $2 x \leq 6$ ，并在如图所给的数轴上表示其解集；

(2)、解不等式 $3 - x < 5$ ，并在如图所给的数轴上表示其解集；

(3)、直接写出不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x \leq 6 \\ 3 - x < 5 \end{array}$ 的解集．

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8、2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字 $1 - 12$ 对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字 $0 - 12$ 对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为．
（参考数据： $s i n 15 ° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ ， $s i n 75 ° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ ）

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9、甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为 $a$ ， $b$ ．如图，将甲纸条的 $\frac{1}{3}$ 与乙纸条的 $\frac{2}{5}$ 叠合在一起，形成长为81的纸条，则 $a + b =$ ．

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10、平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为 $n$ ．若 $n$ 为整数，则 $n$ 的值可以为．（写出一个即可）

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11、计算： $2 a^{2} + 4 a^{2} =$ ．

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12、在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形 $E F G H$ 与正方形 $O A B C$ 的顶点均为整点．若只将正方形 $E F G H$ 平移，使其内部（不含边界）有且只有 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个整点，则平移后点 $E$ 的对应点坐标为（）

A、 $(\frac{7}{5}, \frac{11}{5})$ B、 $(\frac{8}{5}, \frac{23}{10})$ C、 $(\frac{3}{2}, 2)$ D、 $(\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$

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13、如图，将矩形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 折叠，点 $A$ 落在 $A^{'}$ 处， $A^{'} D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ．将 $△ C D E$ 沿 $D E$ 折叠，点 $C$ 落在 $△ B D E$ 内的 $C^{'}$ 处，下列结论一定正确的是（）

A、 $∠ 1 = 45 ° - α$ B、 $∠ 1 = α$ C、 $∠ 2 = 90 ° - α$ D、 $∠ 2 = 2 a$

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14、在反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 中，若 $2 < y < 4$ ，则（）

A、 $\frac{1}{2} < x < 1$ B、 $1 < x < 2$ C、 $2 < x < 4$ D、 $4 < x < 8$

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15、如图，在五边形 $A B C D E$ 中， $A E ∥ B C$ ，延长 $B A$ ， $B C$ ，分别交直线 $D E$ 于点 $M$ ， $N$ ．若添加下列一个条件后，仍无法判定 $△ M A E ∽ △ D C N$ ，则这个条件是（）

A、 $∠ B + ∠ 4 = 180 °$ B、 $C D ∥ A B$ C、 $∠ 1 = ∠ 4$ D、 $∠ 2 = ∠ 3$

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16、若 $a = - 3$ ，则 $\frac{a^{2} + 12 a + 36}{a^{2} + 6 a} =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、3 D、6

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17、抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有 $1$ ， $2$ ， $3$ 中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为 $\frac{1}{2}$ ，出现数字2的概率为 $\frac{1}{3}$ ，则该木块不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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18、若一元二次方程 $x (x + 2) - 3 = 0$ 的两根之和与两根之积分别为 $m$ ， $n$ ，则点 $(m, n)$ 在平面直角坐标系中位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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19、一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左主视图视图为（）

A、 B、 C、 D、

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20、“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7cm和4cm，笔的实际长度为14cm，则该化石的实际长度为（）

A、2cm B、6cm C、 $8 c m$ D、10cm

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		A	B	C	D
调整前单件成本/（元/件)		18	26	20	36
调整后单件成本/（元/件)	方案甲	13	32	m	40
调整后单件成本/（元/件)	方案乙	16	n	18	32