相关试卷

1、为满足市民需求，我市在一小岛两侧开辟了两条跑步路线：① $A \to B \to C \to D$ ， ② $A \to E \to D$ ．经勘测，点 $B$ 在点 $A$ 的北偏东 $30 °$ 方向6千米处，点 $B$ 在点 $C$ 的西北方向6千米处，点 $D$ 在点 $A$ 的正东方向，点 $D$ 在点 $C$ 的正南方向，点 $E$ 在点 $A$ 的南偏东 $15 °$ 方向，点 $E$ 在点 $D$ 的西南方向．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{6} \approx 2.45$ ）

(1)、求 $C$ ， $D$ 之间的距离（结果保留整数）；

(2)、时间原因，小黎决定选择一条较短路线进行锻炼，请通过计算说明她应该选择路线①还是路线②（结果保留整数）

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2、某公园有一景观湖泊，围绕湖泊修建了如图所示的步道，已知点 $A$ 在点 $C$ 的正南方，点 $B$ 在点 $C$ 的东南方向，在点 $A$ 的北偏东 $30^{°}$ 方向上，点 $D$ 在点 $A$ 的正西方，在点 $C$ 的南偏西 $60^{°}$ 方向上，若 $A B = 300 m$ ．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

(1)、求 $B C$ 的长度（精确到0.1m）；

(2)、周末小聪和爸爸到公园游玩，小聪选择沿路线 $A \to D \to C$ 慢跑到点 $C$ ，他的平均速度是 $120 m / min$ ，爸爸选择沿路线 $A \to B \to C$ 散步到点 $C$ ，他的平均速度为 $60 m / min$ ，若两人同时出发，请通过计算说明小聪和爸爸谁会先到达点 $C$ ．

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3、某数学研学小组将完成测量古塔大门上方匾额高度的任务，如图1是悬挂巨大匾额的古塔，如图2，线段 $B C$ 是悬挂在墙壁 $A M$ 上的匾额的截面示意图，已知 $B C = 1$ 米， $∠ M B C = 37 °$ ，起始点D处看点C ，仰角 $∠ A D C = 45 °$ ，继续向前行走，在点E处看点B ，仰角 $∠ E B = 53 °$ ，且D到E走了 $2.4$ 米，作 $C N ⊥ A M$ ．（ $s i n 37 ° \approx 0.6$ ， $c o s 37 ° \approx 0.8$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ）

(1)、 $C N =$ ； $B N =$ ．

(2)、求匾额下端距离地面的高度 $A B$ ．

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4、若 $a$ 为锐角．

(1)、求证：① $sin α = cos (90^{\circ} - α)$ ；② ${sin}^{2} α + {cos}^{2} α = 1$ ；

(2)、试求： ${sin}^{2} 1 ° + {sin}^{2} 2 ° + \dots + {sin}^{2} 45 ° + \dots + {sin}^{2} 88 ° + {sin}^{2} 89 °$ 的值．

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5、同角三角函数关系： ${s i n}^{2} A + {c o s}^{2} A =$ ； $t a n A = \frac{s i n A}{c o s A}$

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6、阅读下列材料：

(1)、如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ 、 $∠ B$ 、 $∠ C$ 所对的边分别为a、b、c ，求证： $\frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C}$ ；

(2)、如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知 $∠ A = 67 °$ ， $∠ B = 53 °$ ， $A C = 80$ 米，求 $A B$ 的长（结果保留根号．参考数据： $s i n 53 ° \approx 0.8$ ， $s i n 67 ° \approx 0.9$ ）

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7、【问题提出】已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积．
【性质探究】

(1)、探究一：
如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = b$ ， $B C = a$ ， $∠ B = α$ ，
$∵$ 在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$
$∴ s i n α =$ .
$∴ A C = b \cdot s i n α$
$∴ S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} B C \cdot A C =$ .

(2)、探究二：
在 $△ A B C$ 中， $A B = b$ ， $B C = a$ ， $∠ B = α (α < 90 °)$ ，求 $△ A B C$ 的面积（用 $a$ 、 $b$ 、 $α$ 表示）．

(3)、【性质应用】
在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 7$ ， $∠ B = 30 °$ ，则平行四边形 $A B C D$ 的面积为．

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8、

(1)、计算： $\sqrt{2} \cdot cos 45 ° - {sin}^{2} 60 ° + tan 45 °$

(2)、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 5$ ， $A C = 12$ ，求 $∠ A$ 的余弦值和正切值．

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9、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 2$ ， $t a n B = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $B C$ 的长；

(2)、求 $c o s A$ 的值．

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10、下列结论（其中 $α$ 是锐角）：① $sin α + cos α \leq 1$ ；② $cos 2 α = 2 cos α$ ；③当 $0 ° < α < β < 90 °$ 时， $0 < sin α < sin β < 1$ ；④ $sin α = cos α tan α$ ．其中正确的有．

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11、若 $30 ° < α < β < 90 °$ ，则 $\sqrt{{(c o s β - c o s α)}^{2}} - |c o s β - \frac{\sqrt{3}}{2}| + |1 - c o s α| =$ ．

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12、已知 $\frac{1}{2} <cos α < sin 80 °$ ，则锐角 $α$ 的取值范围是（）

A、 $30 ° < α < 80 °$ B、 $10 ° < α < 80 °$ C、 $60 ° < α < 80 °$ D、 $10 ° < α < 60 °$

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13、已知在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $45 ° < ∠ B < 60 °$ ，设 $c o s B = n$ ，那么 $n$ 的取值范围是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2} < n < 1$ B、 $\frac{1}{2} < n < \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $0 < n < \frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2} < n < \frac{\sqrt{3}}{2}$

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14、 $△ A B C$ 中， $∠ A, ∠ B$ 均为锐角，且 $|t a n B - \sqrt{3}| + {(2 s i n A - \sqrt{3})}^{2} = 0$ ，则 $△ A B C$ 的形状是．

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15、计算： ${s i n}^{2} 45 ° \cdot c o t 60 ° - c o s 30 \cdot {t a n}^{2} 30 ° =$ ．

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16、如图， $∠ A O B = 60 °$ ，以点 $O$ 为圆心，适当长为半径画弧，交 $O A$ ， $O B$ 于点 $C$ ， $D$ ，连接 $C D$ ，则 $t a n ∠ O C D$ 的值为．

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17、下列式子中不成立的是（）

A、 $\sqrt{2} c o s 45 ° = 2 s i n 30 °$ B、 $s i n 30 ° \cdot c o s 60 ° = \frac{1}{2} {s i n}^{2} 45 °$ C、 $c o s 45 ° - s i n 45 ° = 0$ D、 $3 s i n (30 ° + 30 °) = s i n 30 ° + s i n 30 °$

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18、估计 $4 s i n 60 °$ 的值在（）

A、2与3之间 B、3与4之间 C、4与5之间 D、5与6之间

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19、 $△ A B C$ 中， $∠ A$ 、 $∠ B$ 都是锐角，且 $s i n A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $c o s B = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）．

A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定

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20、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B A D + ∠ B C D = 180 °$ ， $A C = 10$ ， $s i n ∠ A C D = \frac{4}{5}$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为．

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