相关试卷

1、在一次科学探究实验中，小明将半径为 $5 cm$ 的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形．

(1)、取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线 $O B$ 长为 $6 cm$ ，开口圆的直径为 $6 cm$ ．当滤纸片重叠部分三层，且每层为 $\frac{1}{4}$ 圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明；

(2)、假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为 $6 cm$ ，开口圆的直径为 $7.2 cm$ ，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？

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2、粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图， $⊙ O$ 是粒子真空室， $C 、 D$ 是两个加速电极，高速飞行的粒子 $J$ 在 $A$ 点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过 $\overset{⌢}{C D}$ 时被加速，达到一定的速度在 $B$ 点引出，粒子注入和引出路径都与 $⊙ O$ 相切．已知： $A B = 16 km$ ，粒子注入路径与 $A B$ 夹角 $a = 53 °$ ， $\overset{⌢}{C D}$ 所对的圆心角是 $60 °$ ．

(1)、求粒子 $J$ 在环形运动过程中，粒子 $J$ 到 $A B$ 的最远距离；

(2)、比较 $\overset{⌢}{C D}$ 与 $A B$ 的长度哪个更长；

(3)、若粒子 $J$ 被注入粒子加速器后，三次经过 $\overset{⌢}{C D}$ 被加速后被引出粒子加速器，求粒子 $J$ 在粒子加速器内飞行距离．（相关数据： $t a n 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ）

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3、综合与实践
“转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题：
问题情境：
如图1，一只蚂蚁从点 $A$ 出发沿圆柱侧面爬行到点C ，其最短路线正是侧面展开图中的线段 $A C$ ，若圆柱的高 $A B$ 为 $2 cm$ ．底面直径 $B C$ 为 $8 cm$ ．
问题解决：

(1)、判断最短路线的依据是；

(2)、求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线 $A C$ 的长（结果保留根号和 $π$ ）；
拓展迁移：
如图2， $O$ 为圆锥的顶点， $M$ 为底面圆周上一点，点 $P$ 是 $O M$ 的中点，母线 $O M = 8$ ，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点 $P$ 出发绕圆锥侧面爬行回到点 $P$ 时所经过的路径的痕迹．

(3)、请求出蚂蚁爬行的最短距离．

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4、如图，野兽派建筑的代表作，南非中兰德，中央水塔，由 $G A P P A r c h i t e c t s & U r b a n D e s i g n e r s$ 修建于1996年．它的造型是一个倒立的圆锥，底面圆的半径是20米，母线长为60米．

(1)、求这个圆锥的侧面积．

(2)、求此圆锥侧面扇形的圆心角．

(3)、现在在圆锥的底面上A处有一位攀岩高手，他要挑战从A出发沿着圆锥水塔的侧面绕一圈回到A点，则他爬动的最短距离是米．

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5、如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径 $E F$ 长为 $5 c m$ ，母线 $O E (O F)$ 长为 $5 c m$ .在母线 $O F$ 上的点 $A$ 处有一块爆米花残渣，且 $F A = 2 c m$ ，一只蚂蚁从杯口的点 $E$ 处沿圆锥表面爬行到 $A$ 点，则此蚂蚁爬行的最短距离为 $c m$ ．

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6、已知圆锥的底面积为 $9 {πcm}^{2}$ ，母线长为 $5 c m$ ，则圆锥的侧面积是（）

A、 $4.5 {πcm}^{2}$ B、 $\frac{45}{2} π {cm}^{2}$ C、 $45 {cm}^{2}$ D、 $15 {πcm}^{2}$

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7、在平面直角坐标系xOy中， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (1,2)$ ， $B (5,5)$ ， $C (5,2)$ ，将 $△ A B C$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ．

(1)、画出旋转后的 $△ A B^{'} C^{'}$ ；

(2)、直接写出点 $B^{'}$ 的坐标；

(3)、直接写出线段 $A B$ 在变换到 $A B^{'}$ 的过程中扫过的区域的面积．（结果保留 $π$ ）

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8、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (3,3)$ ， $B (4,0)$ ， $C (0, - 1)$

(1)、以点C为旋转中心，把 $△ A B C$ 逆时针旋转 $90 °$ ，画出旋转后的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ；

(2)、在（1）的条件下，
①线段 $C A$ 扫过的图形面积为；
②点B经过的路径长为．

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9、在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (- 2,1)$ ， $B (- 4,5)$ ， $C (- 5,2)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于y轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、画出 $△ A B C$ 关于原点O成中心对称的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

(3)、画出 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $90 °$ 后的 $△ A_{3} B_{3} C_{3}$ ，并求出点C旋转到 $C_{3}$ 的路径长为_▲_，线段 $A C$ 扫过的面积是_▲_．

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10、如图，已知 $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 8$ ， $B C = 5$ ，半径为2的 $⊙ O$ 从点 $A$ 出发，沿 $A \to B \to C$ 方向滚动到点 $C$ 时停止，圆心 $O$ 运动的路程是．

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11、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ B A C = 40 °$ ， $A C = 6$ ．将 $Rt △ A B C$ 绕 $A C$ 的中点O逆时针旋转，点A ， B ， C的对应点分别为点D ， E ， F ．当点E与点C第一次重合时，点A运动路径的长为（）

A、 $\frac{4}{3} π$ B、 $\frac{8}{3} π$ C、 $2 π$ D、 $8 π$

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12、如图所示，有一长为 $4 cm$ ，宽为 $3 cm$ 的长方形木板在桌面上作无滑动翻滚（顺时针方向），木板上的顶点 $A$ 的位置变化为 $A \to A_{1} \to A_{2}$ ，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿 $A_{2} C$ 与桌面成 $30 °$ 角，则点 $A$ 翻滚到 $A_{2}$ 时，共走过的路径长为（）

A、 $10 πcm$ B、 $3.5 πcm$ C、 $4.5 πcm$ D、 $2.5 πcm$

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13、如图，点A ， B ， C在 $⊙ O$ 上，若 $∠ B A C = 45 °, O B = 2$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $π - 4$ B、 $\frac{2 π}{3} - 1$ C、 $π - 2$ D、 $\frac{2 π}{3} - 2$

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14、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $C D = 2 ， ∠ D B C = 30 °$ ．若将 $B D$ 绕点B旋转后，点D落在 $B C$ 延长线上的点E处，点D经过的路径 $\overset{⌢}{D E}$ ，则图中阴影部分的面积是（）

A、 $\frac{2}{3} π - 2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{1}{3} π - \sqrt{3}$ C、 $\frac{4}{3} π - 2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{4}{3} π - 4 \sqrt{3}$

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15、抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图， $A C$ ， $B D$ 分别与 $⊙ O$ 相切于点 $C$ ， $D$ ，延长 $A C$ ， $B D$ 交于点 $P$ ．若 $∠ P = 135 °$ ， $⊙ O$ 的半径为 $8 cm$ ，则图中 $\overset{⌢}{C D}$ 的长为 $cm$ ．（结果保留 $π$ ）

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16、如图，用一个半径为 $10$ cm的定滑轮拉动重物上升，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动．若重物上升 $5 π$ cm，则滑轮旋转的角度为 $°$ ．

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17、如图，正五边形 $A B C D E$ 的边 $A B$ ， $A E$ 与 $⊙ O$ 分别相切于点 $M$ ， $N$ ，点 $P$ 在 $\overset{⌢}{M N}$ 上，连接 $P M$ ， $P N$ ，则 $∠ M P N$ 的度数为．

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18、如图， $A C$ 圆 $O$ 内接正六边形的一边，点 $B$ 在弧 $A C$ 上，且 $B C$ 是圆 $O$ 内接正八边形的一边．此时 $A B$ 是圆 $O$ 内接正 $n$ 边形的一边，则 $n$ 的值是（）

A、12 B、16 C、20 D、24

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19、如图，正六边形 $A B C D E F$ 内接于 $⊙ O$ ，点M在 $\overset{⌢}{A B}$ 上，则 $∠ C M E$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $36 °$ C、 $45 °$ D、 $60 °$

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20、如图，已知直线 $y = \frac{4}{3} x + 4$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过 $A$ ， $C$ 两点，且与 $x$ 轴的另一个交点为 $B$ ，对称轴为直线 $x = - 1$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、 $D$ 是第二象限内抛物线上的动点，设点 $D$ 的横坐标为 $m$ ，求三角形 $A C D$ 面积 $S$ 的最大值及此时 $D$ 点的坐标；

(3)、若点 $P$ 在抛物线对称轴上，是否存在点 $P$ ， $Q$ ，使以点 $A$ ， $C$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是以 $A C$ 为对角线的菱形？若存在，请求出 $P$ ， $Q$ 两点的坐标．

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