相关试卷

1、如图，已知在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ，直线 $a$ 经过直角顶点 $C$ ，直线 $b$ 与 $A B$ 边相交于点 $D$ ，且 $a ∥ b$ ．若 $∠ 1 = 25 °$ ，则 $∠ 2 =$ ．

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2、如图，是第14届国际数学教育大会（ICME－14）会标，广泛传播了数学元素：勾股定理、偶数和奇数、八进制和二进制等．“ICME－14”下方四个中国传统卦写的十进制的数 2020，表示大会召开的年份，此外，“ $2020$ ”的二进制代码是： $11111100100$ ．由于COVID－19的大流行，ICME－14不得不推迟，新标志右下角的四个三元组代表二进制 $11111100101$ ，则代表的十进制是（）

A、2021 B、2022 C、2023 D、2024

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3、传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，如图是采用六边形窗格，其轮廓是正六边形，则这个正六边形的一个内角为（）

A、 $135 °$ B、 $120 °$ C、 $150 °$ D、 $160 °$

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4、若关于x的一元二次方程 $(1 - k) x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 有实数根，则k的取值范围是（）

A、 $k \leq 2$ B、 $k < 2$ 且 $k \neq 1$ C、 $k \geq 2$ D、 $k \leq 2$ 且 $k \neq 1$

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5、一组数据 $6$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $2$ 、 $3$ ，众数为3，那么这组数据的中位数是( )

A、2 B、3 C、4 D、5

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6、在平面直角坐标系中，点 $P (a, b)$ 在第二象限或第四象限，则 $a$ 、 $b$ 的关系是( )

A、 $a + b > 0$ B、 $a b > 0$ C、 $a + b < 0$ D、 $a b < 0$

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7、下列计算正确的是( )

A、 $- 7 a b + 6 a b = a b$ B、 ${(- a b)}^{3} = - a b^{3}$ C、 ${(a b)}^{8} \div {(a b)}^{2} = a^{4} b^{4}$ D、 ${(- a^{3})}^{2} \cdot a^{5} = a^{11}$

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8、二十四节气是上古农耕文明的产物，它是上古先民顺应农时，通过观察天体运行，认知一岁中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系，下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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9、小于 $2$ 的无理数是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $π$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\frac{3}{2}$

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10、综合与探究
【定义】如图1，点 $C$ 把线段 $A B$ 分成两条线段 $A C$ 和 $B C$ ，如果 $A B = \sqrt{2} A C$ ，那么称点 $C$ 为线段 $A B$ 的 $\sqrt{2}$ 分割点．

(1)、【理解】如图2，在等腰 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C A = C B = 2$ ，点 $P$ 是 $A B$ 的 $\sqrt{2}$ 分割点，求 $A P$ 的长；

(2)、【应用】如图3，在等腰 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C A = C B$ ，点 $P$ 是 $A B$ 的 $\sqrt{2}$ 分割点，点 $D$ 在 $A B$ 的上方， $△ A P D ∽ △ C P B$ ， $A D$ 与 $C P$ 相交于点 $E$ ， $P D$ 与 $B C$ 相交于点 $F$ ，求证： $△ C P B ∽ △ C F P$ ；

(3)、【拓展】如图4，在等腰 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C A = C B$ ，点 $G$ ， $H$ 同时从点 $A$ 出发，分别以 $1$ 个单位 $/$ 秒和 $\sqrt{2}$ 个单位 $/$ 秒的速度沿 $A C$ ， $A B$ 方向运动，以 $G H$ 为边向右作 $△ G H D ∽ △ C H B$ ，直线 $G D$ 与 $C B$ ， $C H$ 分别交于点 $M$ ， $N$ ，当点 $G$ 运动至 $A C$ 的 $\sqrt{2}$ 分割点时，直接写出 $\frac{G D}{G M}$ 的值．

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11、综合与实践
【实验目的】探究竖直上抛运动中，抛出的第一个小球在后面小球相遇时经历的时间规律．
【实验原理】竖直上抛运动中，小球的速度 $v$ （米/秒）与运动时间 $t$ （秒）的关系式为 $v = v_{0} - g t$ ，小球距离抛出点的竖直距离 $y$ （米）与运动时间 $t$ （秒）的关系式为 $y = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$ ，其中 $v_{0}$ ， $g$ 是常数， $v_{0}$ 代表小球抛出时的初速度， $g$ 的值取 $10$ 米/秒 $^{2}$ ；
【实验过程】将小球从抛出点以恒定的初速度竖直上抛，每隔 $1$ 秒抛出一球．（空气阻力忽略不计，小球在上升与下降过程中相遇时不互相碰撞）
【实验数据】第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离 $y$ （米）与运动时间 $t$ （秒）的关系图象是顶点为 $(3, 45)$ ，经过原点的抛物线（如图所示）．
【实验任务】

(1)、求出第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离 $y$ （米）与运动时间 $t$ （秒）的关系式，并写出小球抛出时的初速度 $v_{0}$ 的值；

(2)、①请在图中坐标系中画出第二个与第三个小球抛出后离抛出点的竖直距离 $y$ （米）与运动时间 $t$ （秒）的关系图象；
②从第一个小球抛出到第一个小球落回抛出点之间最多能抛出几个小球（包含第一个小球）？请通过计算加以说明；

(3)、观察图像，求第一个小球抛出后与第 $n (n > 1)$ 个小球相遇时经历的时间 $T$ （秒）与 $n$ 的关系式．

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12、如图，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 经过点C，连接 $A C$ ， $B C$ ．过点O作 $O E ∥ B C$ ，交 $A C$ 于点E，交 $⊙ O$ 于点D，过点D作 $D F ∥ A C$ ，交 $A B$ 的延长线于点F．

(1)、求证： $D F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、连接 $B D$ ，若 $A C = 8$ ， $O D = 5$ ，求 $△ B D F$ 的面积．

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13、已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形，且 $A B < A D$ ，点F是 $A D$ 上一点， $A F = A B$ ．

(1)、如图1，点E在 $B C$ 上，连接 $A E$ ， $E F$ ，在不添加新的辅助线的前提下，请增加一个条件：_________，使得四边形 $A B E F$ 是菱形；

(2)、如图2，请在 $B C$ 上求作与点B，C不重合的两点G，H，连接 $A G$ ， $H F$ ，使得四边形 $A G H F$ 是菱形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

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14、2026年年初，一款玩偶产品以其独特的情绪价值爆火，广受年轻人的青睐．已知这种产品需要多种原料，记其中两种原料分别为 $A$ ， $B$ ．某企业购进了这两种原料 $A$ ， $B$ ，其中购进 $48$ 千克 $A$ 材料和 $20$ 千克 $B$ 材料的总价与购进 $24$ 千克 $A$ 材料和 $32$ 千克 $B$ 材料的总价相同，设这两种材料的单价分别为 $x$ ， $y$ （单位：元/千克）．

(1)、试求x，y之间的等量关系；

(2)、当购进 $48$ 千克 $A$ 材料和 $20$ 千克 $B$ 材料的总价为 $8.8$ 万元时，求x，y的值．

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15、随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为 $420 k m$ ．该汽车租赁公司有 $A$ ， $B$ ， $C$ 三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为 $300$ 元/辆， $380$ 元/辆， $500$ 元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下：
【整理数据】

(1)、小明共调查了_________辆 $A$ 型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图；

(2)、在 $A$ 型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“ $390 k m$ ”对应的圆心角度数为 $°$ ；

(3)、【分析数据】
型号
平均里程（ $k m$ ）
中位数（ $k m$ ）
众数（ $k m$ ）
$A$
$400$
$400$
$410$
$B$
$432$
$m$
$440$
$C$
$453$
$450$
$n$
由上表填空： $m =$ ， $n =$ ；

(4)、【判断决策】
结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由．

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16、计算： $\sqrt{9} + 2 cos 30 ° + ∣ \sqrt{3} - 2 ∣ + {(- 1)}^{2026}$ ．

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17、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 内接正 $n$ 边形的一条边，若 $∠ A C B = 144 °$ ，则 $n =$ ．

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18、如图，在边长为 $6$ 的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是边 $B C$ 的中点，连接 $A E$ ，以点 $E$ 旋转中心将线段 $A E$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $F E$ ，连接 $A F$ ， $F E$ 交边 $C D$ 于点 $G$ ， $H$ ，则 $G H$ 的长为（）．

A、 $3$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $2$ D、 $\frac{3}{2}$

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19、已知某产品的利润为 $80$ 元 $/$ 件，每天销量为 $240$ 件，通过市场调研，发现该产品在此基础上售价每上升 $2$ 元 $/$ 件时，每天销量下降 $4$ 件．设某天的售价上升 $m$ 元 $/$ 件时，该天的利润达 $20000$ 元，则可列方程( )

A、 $(80 + 2 m) (240 - 4 m) = 20000$ B、 $(80 + m) (240 - 4 m) = 20000$ C、 $(80 + 2 m) (240 - 2 m) = 20000$ D、 $(80 + m) (240 - 2 m) = 20000$

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20、下列运算正确的是（　　）

A、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ D、 ${(a - 3)}^{2} = a^{2} - 9$

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型号	平均里程（ $k m$ ）	中位数（ $k m$ ）	众数（ $k m$ ）
$A$	$400$	$400$	$410$
$B$	$432$	$m$	$440$
$C$	$453$	$450$	$n$