相关试卷

1、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点O， $B D = 12$ ，过点O作 $E F ⊥ B D$ 分别交 $B C 、 A D$ 于点E、F，若 $∠ A D B = 30 °$ ，则 $E F$ 的长为．

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2、平行四边形 $A B C D$ 的对角线交点在原点，若 $A (- 1, 2)$ ，则点 $C$ 的坐标是．

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3、已知点 $B (1, 3)$ 是直线 $y = k x + b (k < 0)$ 上一点，则 $k x + b > 3$ 的解集是．

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4、若分式 $\frac{1 - x^{2}}{1 + x}$ 的值等于0，则 $x$ 的值为．

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5、代数式 $\frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$ 有意义，则x取值范围为．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $\frac{1}{2} ∠ C A B$ 得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，点 $B$ ， $C$ 的对应点分别为点 $B^{'} C^{'}$ ， $B^{'} C^{'}$ 与边 $A C$ 相交于点 $D$ ．若 $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，则线段 $C^{'} D$ 的长为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $4 - \sqrt{3}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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7、如图，点 $E$ 在 $▱ A B C D$ 的边 $B C$ 上， $B E = C D$ ．若 $∠ E A C = 20 °$ ， $∠ B + ∠ D = 80 °$ ，则 $∠ A C D$ 的度数为（）

A、75° B、80° C、90° D、105°

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8、下列给出的条件中，能判定四边形 $A B C D$ 是平行四边形的是（）

A、 $∠ A : ∠ B : ∠ C : ∠ D = 1 : 1 : 2 : 2$ B、 $A B = A D$ ， $C B = C D$ C、 $A B = C D$ ， $A D = B C$ D、 $∠ B = ∠ C$ ， $∠ A = ∠ D$

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9、某市为应对人口老龄化，计划在老旧社区改建养老服务中心，让老人真正感觉到“老有所依，幸福常伴”．现有甲、乙两个施工队，已知甲队单独完成所需时间比规定时间多10天，乙队单独完成所需时间是规定时间的 $1.5$ 倍．若两队合作，恰好按规定时间完成．求规定时间是多少天？设规定时间是 $x$ 天，依题意列方程为（）

A、 $\frac{1}{x - 10} + \frac{1}{1.5 x} = \frac{1}{x}$ B、 $\frac{1}{x + 10} + \frac{1}{1.5 x} = \frac{1}{x}$ C、 $\frac{1}{x - 10} + \frac{1}{1.5 x} = 1$ D、 $\frac{1}{x + 10} + \frac{1}{1.5 x} = 1$

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10、下列各式中，是分式方程的是（）

A、 $x + \frac{x}{π} = 3$ B、 $\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x}$ C、 $\frac{2 x - 5}{4} + \frac{x}{3} = \frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{x - 2} = \frac{1}{x - 1}$

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11、下面四款新能源汽车的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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12、高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间 $t (s)$ 和高度 $h (m)$ 近似满足公式 $t = \sqrt{\frac{h}{5}}$ （不考虑阻力的影响）．物体从 $60 m$ 的高空落到地面的时间是（）

A、 $2 \sqrt{3} s$ B、 $3 \sqrt{2} s$ C、 $6 \sqrt{2} s$ D、12s

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13、下列几组数，是勾股数的是（）

A、 $1$ ， $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ B、 $1$ ， $2$ ， $3$ C、 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ D、 $5$ ， $12$ ， $13$

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14、
综合与探究
【问题背景】
如图①，在四边形 $A D B C$ 中， $∠ A C B = ∠ A D B = 90 °$ ， $A D = B D$ ，探究线段 $A C$ ， $B C$ ， $C D$ 之间的数量关系．
小吴同学探究此问题的思路是：将 $△ B C D$ 绕点 $D$ ，逆时针旋转 $90 °$ 到 $△ A E D$ 处，点 $B$ ， $C$ 分别落在点 $A$ ， $E$ 处（如图②），易证点 $C$ ， $A$ ， $E$ 在同一条直线上，并且 $△ C D E$ 是等腰直角三角形，所以 $C E = \sqrt{2} C D$ ，从而得出结论： $A C + B C = \sqrt{2} C D$ ．
【简单应用】
（1）在图①中，若 $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = 3 \sqrt{2}$ ，则 $C D =$ ________．
（2）如图③，有一个圆形公园 $⊙ O$ ，直径 $A B$ 是贯穿公园 $⊙ O$ 的一条小路，出口点 $C$ 、 $D$ 在公园 $⊙ O$ 上，且 $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{B D}$ ，线段 $B C$ 也是一条小路，若路 $A B = 1300$ 米， $B C = 1200$ 米，现在要在出口 $C$ 、 $D$ 之间挖一条小河 $C D$ ，小河 $C D$ 最短是多少米？
【拓展规律】
（3）如图④， $∠ A C B = ∠ A D B = 90 °$ ， $A D = B D$ ，若 $A C = a$ ， $B C = b (a < b)$ ，求 $C D$ 的长（用含 $a$ ， $b$ 的代数式表示）．
（4）如图⑤， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点 $P$ 为 $A B$ 的中点，若点 $E$ 满足 $4 A E = A C$ ， $C E = C A$ ，点 $Q$ 为 $A E$ 的中点，则线段 $P Q$ 与 $A C$ 的数量关系是________．（直接写出答案）

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15、如图1，在平面直角坐标系xOy中，点 $P (m, n)$ 满足： $\sqrt{m + n - 8} + |m - n| = 0$ ，过点P分别向x轴，y轴引垂线段，垂足分别为A，B两点，点C是线段 $O A$ 上一点，点D是线段 $P A$ 上一点，连接线段 $B C$ ， $B D$ ．

(1)、当点D在线段 $B C$ 的垂直平分线上且 $O C = P D$ 时，请判断 $△ B C D$ 的形状并说明理由；

(2)、如图2，过点C作 $B C$ 的垂线交 $B D$ 的延长线于点K且 $B C = C K$ ，连接 $A K$ ，求 $∠ P A K$ 的度数；

(3)、在第（2）问的前提下，连接 $C D$ ；
①求证： $C D = O C + P D$ ；
②令 $C D = x$ ， $O C = a$ ， $P D = b$ ，若a，b，t满足 $\{\begin{matrix} 2 a + 3 b = 17 + 7 t \\ a - 2 b = - 9 - 7 t \end{matrix}$ ；问：是否存在实数m，使得代数式 $x + m t$ 的值为定值，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

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16、【长沙市华益中学以公仆仁毅为魂，培育胸怀天下的担当；让生命温暖而幸福，构建浸润心灵的港湾，在华益这里，每个梦想都被悉心呵护，每段青春都能璀璨生辉！】我们约定：如果 $\{\begin{array}{l} x = x_{0} \\ y = y_{0} \end{array}$ 是关于x，y的二元一次方程 $a x + b y = c (a \neq 0, b \neq 0)$ 的一组解，我们不妨把这样的解写成点的坐标的形式 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ ，并把这样的点称为该方程的“解点”，若将“解点” $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 作关于x轴对称，得到对称点 $P_{1}$ ，再将 $P_{1}$ 向左移2个单位，向上移4个单位，得到点 $P_{2}$ ，若此时点 $P_{2}$ 也是二元一次方程 $a x + b y = c$ 的一个“解点”，则把 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 称为“温暖点”， $P_{2}$ 称为“幸福点”，一般地，一个二元一次方程存在无数个“解点”．

(1)、判断正误(真命题的打√，假命题的打×)
①点 $(2, - 4)$ 是二元一次方程 $3 x + 2 y = 2$ 的一个“解点”(                            )；
②若点 $M (m, m - 2)$ 是二元一次方程 $2 x - y = 7$ 的一个“解点”，则点M与点 $(9, - 11)$ 关于y轴对称．(                            )；
③点 $(2, 0)$ 是二元一次方程 $2 x + y = 4$ 的“温暖点”(                            )．

(2)、已知点 $T (a, b)$ 既是方程 $x - y = 1$ 的“解点”又是方程 $x + 2 y = 10$ 的“解点”，求关于x，y的二元一次方程 $a x + b y = 6$ 的“幸福点”；

(3)、已知 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 是二元一次方程 $a x + b y = c (a \neq 0, b \neq 0)$ 的“温暖点”．
①请用含有字母a，b，c的代数式表示 $x_{0}$ ；
②若 $x_{0} = 2$ ，且 $b + c = 3 a - 1$ ， $b \leq 0$ ， $c \geq 0$ ，求a的取值范围．

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17、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ B = 90 °$ ， E为 $A B$ 的中点， $D E$ 平分 $∠ A D C$ ．

(1)、求证： $C E$ 平分 $∠ B C D$ ；

(2)、求证： $A D + B C = C D$ ．

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18、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $Δ A B C$ 的三个顶点的坐标分别是 $A (- 5, 3)$ ， $B (- 3, 1)$ ， $C (- 2, 2)$ ，将 $Δ A B C$ 先向下平移5个单位长度，然后向右平移6个单位长度，再作关于 $x$ 轴对称的图形，得到 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．
（1）写出点 $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ 的坐标；
（2）在平面直角坐标系 $x O y$ 中画出 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
（3）求 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积．

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19、长沙市某学校七年级在寒假期间开展“心怀感恩，孝敬父母”的实践活动，倡导学生在假期中帮助父母做家务，开学以后，校学生会随机抽取了部分学生，就寒假“平均每天帮助父母做家务所用时长”进行了调查，如图是根据相关数据绘制的不完整的统计图(每组包含最小值，不包含最大值)：
根据上述信息，回答下列问题：

(1)、在本次随机抽取的样本中，调查的学生总人数是人；在扇形统计图中，“ $20 ~ 30 min$ ”所在扇形对应的圆心角的度数为．

(2)、补全上面的频数分布直方图(请在矩形上方标上频数，不随手画图)

(3)、如果该校共有学生 $3500$ 人，请你估计“平均每天帮助父母做家务所用时长不少于 $30 min$ ”的学生有多少人．

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20、长沙市某教育单位为了全面了解本市2025年初中毕业学业考试学生对数学卷的答题情况，从全市 $10.5$ 万名考生中随机抽查了10个考场(每个考场均有30名)学生进行分析，则这次调查中的样本容量是．

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